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24/5/2011 1 Limite e Continuidade Prof. Edmilson M Souza 24/5/2011 2 24/5/2011 3 f(x)=2x+1 Observando as tabelas, podemos verificar que: “à medida que x vai se aproximando de 1, os valores de f(x) vão aproximando-se de 3”. A noção de proximidade pode ficar mais precisa utilizando valor absoluto. O número 3 é chamado limite de f(x) quando x está próximo de 1. Limites Sabemos que f(x) não está definida para x=1. Suponhamos que, poralgum motivo, desejássemos saber o que acontece com a função nasproximidades de x=1.Vamos estudar o comportamento da função f(x), quando a variável x seaproxima cada vez mais do valor 1, neste caso, dizemos que “x tende a1”, denotado por x→1.Existem dois “caminhos” pelos quais x pode tender ao valor 1:- Por valores maiores que x: neste caso dizemos que “x tende a 1 peladireita”, e denotamos por: x→1+- Por valores menores que x: neste caso dizemos que “x tende a 1 pelaesquerda”, e denotamos por: x→1- 24/5/2011 4 1(x→1- )x→1+ f(x)x0,5 1,50,8 1,80,9 1,90,999 x → 1- x → 1- f(x)x1,5 2,51,3 2,31,01 2,011,001 2,001 x → 1+ x → 1+ f(x) → 2 1,999 f(x) → 2 1 2 (( ) ( Limite lateral à esquerda Limite lateral à direita Quando o limite lateral à direita é igual ao limite lateral àesquerda, ou seja: Dizemos que existe o limite para x tendendo a 1 e escrevemos: O qual lemos: limite da f(x) para x tendendo a 1 é igual a 2. 24/5/2011 5 Definição de Limites • Seja f(x) definida em um intervalo aberto em torno de a (um número real), exceto talvez em a. c a d • Dizemos que f(x) tem limite L quando x tende a a e escrevemos OBS: Um intervalo aberto de raio 3 em torno de x0 = 5 estará dentro do intervalo aberto (2, 10). Figures 1.13: Um 24/5/2011 6 se para todo > 0, existe um número correspondente > 0 , tal que |x-a|< |f(x)-L|< , para todos os valores de x. Lxf ax )(lim Definição: Seja f(x) definida num intervalo I, contendo a, exceto, possivelmente, no próprio a. Dizemos que o limite de f(x) quando x aproxima-se de a é L e escrevemos se, para todo ε>0, existe um δ>0, tal que |f(x)-L|<ε sempre 0<|x-a|<δ. 24/5/2011 7 Definição de Limite • Definição de Limite y L + L L - 0 a - a a + x O limite de uma função y = ƒ(x), quando x tende a “a“, a R , indicado por lim ƒ(x) é a constante real “L “, se para qualquer , R, 0, por menor que seja, existir , R, £ > 0, tal que: I x – a I < I ƒ(x) - L I < . Reformulando a definição de limites, teremos: Significa que, existe um tal que x está no intervalo aberto então f(x) está no intervalo aberto lim ( ) x a f x L 0 0 a a x a ( , ) e , L L ( , ). 24/5/2011 8 Relação entre e na definição de limite. No exemplo, f(x) = 5x-3, L = 2, x0=1. 24/5/2011 9 Limite 2)35(lim 1 x x 235)( xLxf 5 1 15 55 x x x No exemplo, f(x) = 5x-3, L = 2, x0=1. Exemplo: Usando a definição de limite, mostre que: 24/5/2011 10 Limites LateraisLimites Lateral à Direita: Seja f:A→B. O limite da função f(x)quando x tende ao valor “a” pela direita, ou seja, quando x tendeao valor “a” por valores maiores que “a”, é denotado por: Limites Lateral à Esquerda: Seja f:A→B. O limite da função f(x)quando x tende ao valor “a” pela esquerda, ou seja, quando xtende ao valor “a” por valores menores que “a”, é denotado por: TEOREMA: O LIMITE EXISTE !!! Limites Laterais 24/5/2011 11 Como fazer isso na prática?Como consigo andar pela direita ou pela esquerda?Regra prática para calcular limites lateraisLimite Lateral à Direita )a+ha f(a)=b ) x f(x) h→0 (a-h a f(a)=b ) x f(x) h→0 Limite Lateral à Esquerda 24/5/2011 12 24/5/2011 13 Exemplo: Para a função na figura, temos: e x xxf )( 1)(lim 0 x xxf x 1)1(limlim)(lim 000 xxx x xxf 24/5/2011 14 EXEMPLOS EXEMPLOS [1] Continuação 24/5/2011 15 EXEMPLOS EXEMPLOS [2] Continuação 24/5/2011 16 EXEMPLOS [2] Continuação EXEMPLOS 24/5/2011 17 EXEMPLOS 24/5/2011 18 EXEMPLOS EXEMPLOS 24/5/2011 19 Exemplo – Limites da Função no Gráfico da Figura Em x = 0: 1)(lim 0 xfx )(lim 0 xfx e )(lim 0 xfx não existem. A função não é definida à esquerda de x = 0. Em x = 1: 0)(lim 1 xfx ainda que f(1) = 1, ,1)(lim 1 xfx )(lim 1 xfx não existe. Os limites à direita e à esquerda não são iguais. Em x = 2: 1)(lim 2 xfx 1)(lim 2 xfx 1)(lim 2 xfx ainda que f(2) = 2 24/5/2011 20 Propriedades dos Limites • Se L, M, a, c são números reais e n inteiro eLxf ax )(lim ,)(lim Mxg ax Propriedade dos limites Propriedades P1) O limite da função identidade f(x) = x, quando x tende a “a”, é igual a “a”. Exemplo: ax ax lim 3lim 3 x x 24/5/2011 21 Propriedade dos limites P2) O limite de uma função constante f(x) = K, quando x tende a “a”, é igual a própria constante: Exemplo: KK ax lim 44lim 2 x Propriedade dos limites P3) O limite da soma é igual a soma dos limites (caso esses limites existam): Exemplo: )(lim)(lim)()(lim xgxfxgxf axaxax 1552.325limlim3lim 5lim3limlim)53(lim 2 22 2 2 22 2 2 2 2 xxx xxxx xx xxxx 24/5/2011 22 Propriedade dos limites P4) O limite da diferença é igual a diferença dos limites (caso esses limites existam): Exemplo: 622.2limlim2 lim2lim)2(lim 2 2 2 2 2 2 2 2 2 xx xxxx xx xxx )(lim)(lim)()(lim xgxfxgxf axaxax Propriedade dos limites P5) O limite do produto é igual ao produto dos limites (caso esses limites existam): Exemplo: )(lim).(lim)()(lim xgxfxgxf axaxax 93.3lim.lim.lim)(lim 333 2 3 xxxxx xxxx 24/5/2011 23 Propriedade dos limites P6) O limite do quociente é igual ao quociente dos limites (caso esses limites existam): Exemplo: )(lim )(lim )( )(lim xg xf xg xf ax ax ax 10 1 727 53 )7(lim )5(lim 7 5lim 3 3 3 33 x x x x x x x Propriedade dos limites P7) O limite da potência de uma função (f(x))n, onde n é um número inteiro positivo, é igual a potência do limite da função (caso exista): Exemplo: n ax n ax xfxf ))(lim())((lim 813))2(lim()2(lim 443 1 43 1 xxxx xx 24/5/2011 24 Propriedade dos limites P8) O limite da raiz de uma função , é a raiz do limite da função, se o limite existe e é maior ou igual a zero: Exemplo: n ax n ax xfxf )(lim)(lim n xf )( 51)2(4)2()14(lim14lim 44 2 4 2 xxxx xx Regra do logaritmo: Regra do seno (o mesmo vale para o cosseno) Regra da exponencial: 0)(limlog ))(lim(log))((loglim xfseL xfxf axc axccax Lxfxf axax sen))(limsen()(senlim Lxfxf ax ccc ax )(lim)(lim 24/5/2011 25 Limites de Funções Polinomiais Teorema 2 – Os Limites de Funções Polinomiais podem ser obtidos por Substituição: Se 0 1 1 ...)( axaxaxPn n n n então ....)()(lim 0 1 1 acacacPxPcx n n n n Exemplo – Limite de Uma Função Polinomial 322246496 224164)32(3 2)2()2()2(4)2(3 243 245 245 2 lim xxxx x 24/5/2011 26 Limites de Funções Racionais Teorema 3 – Os Limites de Funções Racionais podem ser obtidos por Substituição, caso o limite do denominador não seja zero: Se e são polinômios e , então )(xP )(xQ 0)( cQ )( )( )( )(lim cQ cP xQ xP cx Exemplo – Limite de Uma Função Racional 0 6 0 5)1( 3)1(4)1( 5 34 2 23 2 23 1 lim x xx x 24/5/2011 27 Exemplo 3 – Cancelando um Fator Comum xx xx x 2 2 1 2lim Solução: Não podemos substituir x = 1 porque isso resulta em um denominador zero. Testamos o numerador para ver se este também é zero em x = 1. Também é, portanto apresenta o fator (x – 1) em comum com o denominador. Cancelar o (x – 1) resulta em uma fração mais simples, com os mesmos valores da original para x 1: 3 1 212 )1( )2)(1(2 2 2 x x xx xx xx xx Se x 1 Exemplos 4: Eliminando algebricamente o fator nulo no denominador: • Criando e cancelando um fator comum: . 22 1 202 1 22 1lim22lim 22 lim 22 22lim22lim 22 2222lim22lim 00 000 00 hh h hh h hh h h h h h h h h h hh hhh hh 24/5/2011 28 24/5/2011 29 Limites envolvendo infinito Limite de f(x) quando x tende a “mais infinito” Considere, por exemplo, a função Perceba que, quando x tende a +, isto é, quando x cresce indefinidamente, os valores a função f(x) tendem a se aproximar cada vez mais de 0. x xf 1)( 01lim xx 24/5/2011 30 Limites Envolvendo o Infinito Definições Limites com x 1. Dizemos que f(x) possui o limite L quando x tende ao infinito e escrevemos: Lxf x )(lim 2. Dizemos que f(x) possui o limite L com x tendendo a menos infinito e escrevemos: se, à medida que x se distancia da origem no sentido positivo, f(x) fica cada vez mais próximo de L. Lxf x )(lim se, à medida que x se distancia da origem no sentido negativo, f(x) fica cada vez mais próximo de L. 24/5/2011 31 Exemplo 1 – Limites de 1/x e k quando x Demonstre que (a) (b) 011 limlim xx xx kkk xx limlim Solução: (a) Podemos observar que y = 1/x se aproxima cada vez mais de zero à medida que o valor de x se afasta da origem, tanto para o lado positivo quanto para o negativo. (b) Não importa quanto o valor de x se afaste da origem, a função Constante y = k sempre tem exatamente o valor k. Exemplo: 24/5/2011 32 Teorema 4 – Regras para Limites quando x Se L, M e k são números reais e Lxf x )(lim ,)(lim Mxg x e então 1. Regra da Soma: MLxgxf x ))()((lim 2. Regra da Subtração: MLxgxf x ))()((lim 3. Regra do Produto: MLxgxf x ))()((lim 4. Regra da Multiplicação por Constante: Lkxfk x ))((lim 5. Regra do Quociente: 0, )( )(lim M M L xg xf x 6. Regra da Potenciação: Se r e s são inteiros, , então0s srsr x Lxf ))((lim Desde que srL seja um número real. 24/5/2011 33 Exemplo 2 – Usando o Teorema 4 xx xxx 1515 limlimlim 505 (a) Regra da Soma Limites Conhecidos xxx xx 1133 limlim 2 xx xxx 113 limlimlim 0003 (b) Regra do Produto Limites Conhecidos Cálculo de Limites de Funções Racionais Proposição: 24/5/2011 34 Cálculo de Limites de Funções Racionais Proposição: Cálculo de Limites de Funções Racionais Proposição: 24/5/2011 35 Exemplos Exemplos 24/5/2011 36 Exemplos Exemplo 5 – Numerador e Denominador de Mesmo Grau )/2(3 )/3()/8(5 23 385 2 2 2 2 limlim x xx x xx xx 3 5 03 005 Divida o numerador e o denominador por x2. 24/5/2011 37 Exemplo 6 – Grau do Numerador Maior que o Grau do Denominador )/4(7 )/3(2 47 32 limlim 2 x xx x x xx Divida o numerador e o denominador por x. O numerador agora tende a ao passo que o denominador tende a 7, então a razão . Limites envolvendo infinito Limite de f(x) quando x tende a “mais infinito” Considere, por exemplo, a função Perceba que, quando x tende a +, isto é, quando x cresce indefinidamente, os valores a função f(x) tendem a se aproximar cada vez mais de 0. x xf 1)( 01lim xx 24/5/2011 38 Limites envolvendo infinito Exemplo: Calcule o limite, se existir, de: Não basta apenas substituir “x” por “”, pois ao fazer isto, teria uma indeterminação do tipo 14 13lim x x x Limites envolvendo infinito Exemplo: Portanto o método aqui consiste em dividir o numerador e o denominador por x: Para calcular o limite de f(x) quando x tende a menos infinito, o raciocínio é análogo. 4 3 04 03 1lim4lim 1lim3lim 14lim 13lim 14 13 lim 14 13lim x x x x x x x x xx xx x x xx 24/5/2011 39 Limites envolvendo infinito Expressões indeterminadas Considere o seguinte limite: Se fôssemos resolver de acordo com as ferramentas já conhecidas chegaríamos ao seguinte resultado: 3 27lim 3 3 x x x 0 0 33 273 3 27lim 33 3 x x x Limites envolvendo infinito Expressões indeterminadas Mas vejamos o gráfico desta função: x f(x) 2,7 2,8 2,9 3,0 3,1 3,2 3,3 24,39 25,24 26,11 27 27,91 28,84 29,79 L 24/5/2011 40 Limites envolvendo infinito Apesar da função não estar definida no ponto x=3, quando nos aproximamos de x=3, f(x) se aproxima de 27. Portanto: Mas como se resolve a equação algébrica de modo a chegar a este valor? 27 3 27lim 3 3 x x x Limites Infinitos 24/5/2011 41 Limites Infinitos Limites Infinitos Exemplo 24/5/2011 42 Símbolos de Indeterminação Símbolos de Indeterminação Exemplo: 24/5/2011 43 Produtos notáveis Com os PRODUTOS NOTÁVEIS!!! Neste exemplo, Logo, podemos reescrever a função do seguinte modo: Basta então calcular: )93)(3(27 23 xxxx 93 )3( )93)(3()( 2 2 xx x xxxxf 2793lim 2 3 xx x Produtos notáveis - Revisão Diferença de quadrados Exemplos: )).((22 bababa 2222 ..)).(( bababbaababa )4).(4(16 xxx )3).(3(9 ayayay )94).(32).(32()94).(94(8116 xxxxxx 24/5/2011 44 Produtos notáveis Trinômio quadrado perfeito Exemplos: 222 2)( bababa 2)2(22244 aaaaa 23232336 )34(33).4(2)4(92416 yyyyy 222 2)( bababa 22222 2)).(()( bababbaababababa 22222 2)).(()( bababbaababababa Não confundir o quadrado da diferença (a-b)2, com a diferença de quadrados a2-b2. Produtos notáveis Soma e Diferença de Cubos Exemplos: )).(( 2233babababa )42).(2()22.).(2(8 2223 xxxxxxx )252016).(54(5)4(12564 2333 aaaaa )).(( 2233 babababa 24/5/2011 45 Produtos notáveis Cubo perfeito Exemplos: 32233 33)( babbaaba 3322323 )2(22.32.38126 xxxxxxx 3322332 )3(.3.3.3.3392727 aaaaaaa 32233 33)( babbaaba Não confundir o cubo da soma (a+b)3, com a soma e cubos a3+b3; Nem o cubo da diferença (a-b)3, com a diferença de cubos a3-b3. Limites Fundamentais Daremos a seguir três proposições que caracterizam os chamados limites fundamentais. Estaremos tratando de casos particulares de indeterminações do tipo 1,0/0 e .0 Proposição 1: 1senlim 0 x x x Proposição 2: e x x x 11lim Onde e é o número irracional neperiano cujo valor aproximado é 2,718281828459... . 24/5/2011 46 Proposição 1: Usando 1 senlim 0 Mostre que 5 2 5 2senlim 0 x x x x x x x xx 5)5/2( 2sen)5/2( 5 2sen limlim 00 x x x 2 2sen 5 2 lim 0 5 2)1( 5 2 Agora a equação (1) se aplica a θ = 2x Proposição 2: Provar que ex x x 1 0 )1(lim Em primeiro lugar provaremos que ex x x 1 0 )1(lim De fato, fazendo x = 1/t temos quando . Logo,t 0x e t x t t x x 11)1( limlim /1 0 Da mesma forma, prova-se que ex x x 1 0 )1(lim Portanto, ex x x 1 0 )1(lim 24/5/2011 47 24/5/2011 48 Proposição 3: a x a x x ln1lim 0 ).1,0( aa (Prova no livro – Flemming e Gonçalves , Cálculo A, pág 125.) Exemplo 1: x ba xx x lim 0 Temos, x b ab x ba x x x x xx x 1 limlim 00 24/5/2011 49 x b a b x x x x 1 limlim 00 b aln1 b aln Exemplo 2 12 11 1 lim x ae xx x Neste exemplo, utilizamos artifícios de cálculo para aplicarmos a Proposição 3. )1)(1( )1()1( 1 11 1 2 11 1 limlim xx ae x ae xx x xx x 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 limlimlim x a x e x x x x xx . 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 limlim x a x e x x x x 24/5/2011 50 Fazemos t = x – 1 e consideramos que, quando , , temos1x 1x 0t 0t, . Portanto, t a t e x ae t t t t xx x 11 2 1 1 limlimlim 002 11 1 )ln(ln 2 1 ae ).ln1( 2 1 a Continuidade de Funções 24/5/2011 51 Continuidade de Funções Continuidade de Funções 24/5/2011 52 Continuidade Definição – Continuidade em um Ponto Ponto interior: Uma função y = f(x) é contínua em um ponto interior c de seu domínio quando: ).()(lim cfxf cx Extremidades: Uma função y = f(x) é contínua na extremidade esquerda a ou é contínua na extremidade direita b de seu domínio quando: )()(lim afxf ax ou )()(lim bfxf bx respectivamente Teste de Continuidade Uma função f(x) será contínua em x = c se e somente se ela obedecer às três condições seguintes: 1. f(c) existe (c está no domínio de f) 2. existe (f tem um limite quando ))(lim xfcx cx 3. (o limite é igual ao valor da função))()(lim cfxfcx 24/5/2011 53 Exemplo Exemplo 24/5/2011 54 24/5/2011 55 Propriedades de Funções Contínuas Se as funções f e g são contínuas em x = c, então as seguintes combinações são contínuas em x = c. 1. Somas: f + g 2. Diferenças: f - g 3. Produtos: f . g 4. Constantes Múltiplas: k . f, para qualquer número k 5. Quocientes: f / g, uma vez que g(c) 0 24/5/2011 56 Propriedades de Funções Contínuas Composta de Funções Contínuas Se f é contínua em c e g é contínua em f(c), então a composta fg é contínua em c. 24/5/2011 57 Propriedades de Funções Contínuas Propriedades de Funções Contínuas 24/5/2011 58 Exemplo Exemplo 24/5/2011 59
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