ListaLimitesComGabaritoV1

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Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Escola de Cieˆncias e Tecnologia (ECT)
Bacharelado em Cieˆncias e Tecnologia (BCT)
ECT1101 - Fundamentos de Matema´tica - 2010.1
LIMITES E CONTINUIDADE
Lista de Exerc´ıcios
1. Para a func¸a˜o f (x) ilustrada abaixo, encontre
os seguintes limites ou explique por que eles
na˜o existem:
a) lim
x→1
f (x)
b) limx→2 f (x)
c) limx→3 f (x)
2. Quais das seguintes afirmac¸o˜es sobre a func¸a˜o
y = f (x) ilustrada a seguir sa˜o verdadeiras e
quais sa˜o falsas?
a) lim
x→0
f (x) existe.
b) lim
x→0
f (x) = 0
c) lim
x→0
f (x) = 1
d) lim
x→1
f (x) = 1
e) lim
x→1
f (x) = 0
3. Calcule a taxa me´dia de variac¸a˜o da func¸a˜o
f (x) = 3x− 2
no intervalo [2, P ] com P = 3. Conforme faze-
mos P se aproximar de 2 a taxa de variac¸a˜o
me´dia atinge um valor-limite. Determine este
valor-limite.
4. Calcule a taxa me´dia de variac¸a˜o da func¸a˜o
f (x) = x3 + 1
no intervalo [−1, P ] com P = 0. Conforme
fazemos P se aproximar de −1 a taxa de
variac¸a˜o me´dia atinge um valor-limite. Deter-
mine este valor-limite.
5. Limites que representam taxa de variac¸a˜o in-
stantaˆnea
lim
h→0
f (x+ h)− f (x)
h
aparecem frequentemente no ca´lculo. Deter-
mine este limites para as seguintes casos:
(a) f (x) = x2, no ponto x = −2.
(b) f (x) = 3x− 4, no ponto x = 2.
(c) f (x) = 1/x, no ponto x = 3.
(d) f (x) =
√
x+ 1, no ponto x = 0.
6. Usando as propriedades de limites determine o
valor dos seguintes limites:
a) lim
x→7
(2x+ 5)
b) lim
t→6
8 (t− 5) (t− 7)
1
c) lim
y→−5
y2
5− y
d) lim
h→0
3√
3h+ 1 + 1
e) lim
x→5
x− 5
x2 − 25
f) lim
t→1
t2 + t− 2
t2 − 1
g) lim
y→1
5y3 + 8y2
3y4 − 16y2
h) lim
x→−2
−2x− 4
x3 + 2x2
i) lim
y→0
5y3 + 8y2
3y4 − 16y2
j) lim
v→2
v3 − 8
v4 − 16
k) lim
x→4
4x− x2
2−√x
l) lim
x→1
x− 1√
x+ 3− 2
m) lim
x→−2
x+ 2√
x2 + 5− 3
7. Se
√
5− 2x2 ≤ f (x) ≤
√
5 + 2x2 para −1 ≤
x ≤ 1, determine lim
x→0
f (x) (Sugesta˜o: use o
teorema do confronto).
8. Seja a func¸a˜o
h (x) =
 x
2, x < 2
3, x = 2
2, x > 2
Mostre que
a) lim
x→2
h (x) 6= 4
b) lim
x→2
h (x) 6= 3
c) lim
x→2
h (x) 6= 2
9. Usando as propriedades de limites laterais de-
termine o valor dos seguintes limites:
a) lim
x→−0,5−
√
x+ 2
x+ 1
b) lim
x→1−
(
1
x+ 1
)(
x+ 6
x
)(
3− x
7
)
c) lim
h→0+
√
h2 + 4h+ 5−√5
h
d) lim
h→0−
√
6−√5h2 + 11h+ 6
h
e) lim
t→−2−
(x+ 3)
|x+ 2|
x+ 2
f) lim
t→−2+
(x+ 3)
|x+ 2|
x+ 2
g) lim
t→1+
√
2x (x− 1)
|x− 1|
h) lim
t→1−
√
2x (x− 1)
|x− 1|
10. Represente graficamente a func¸a˜o
f (x) =

√
1− x2, 0 ≤ x < 1
1, 1 ≤ x < 2
2, x = 2
e depois responda as seguintes questo˜es:
(a) Quais sa˜o o domı´nio e a imagem de f?
(b) Em quais pontos c, existe limx→c f (x)?
(c) Em quais pontos existe apenas o limite a`
esquerda?
(d) Em quais pontos existe apenas o limite a`
direita?
11. Represente graficamente a func¸a˜o
f (x) =
 x, − 1 ≤ x < 0 ou 0 < x ≤ 11, x = 0
0, x < −1 ou x > 1
e depois responda as seguintes questo˜es:
(a) Quais sa˜o o domı´nio e a imagem de f?
(b) Em quais pontos c, existe limx→c f (x)?
(c) Em quais pontos existe apenas o limite a`
esquerda?
(d) Em quais pontos existe apenas o limite a`
direita?
12. Calcule o valor dos seguintes limites envol-
vendo infinitos:
a) lim
x→∞pi −
2
x2
b) lim
x→∞
3− (2/x)
4 +
(√
2/x2
)
c) lim
r→∞
r + sen r
2r + 7− 5 sen r
d) lim
x→−∞ e
xcos
(
1
x
)
e) lim
x→∞
3x2 + e−x
sen (1/x)− 2x2
f) lim
x→−∞
9x4 + x
2x4 + 5x2 − x+ 6
g) lim
x→∞
10x5 + x4 + 31
x6
h) lim
x→∞
2 +
√
x
2−√x
i) lim
x→∞
2x5/3 − x1/3 + 7
x8/5 + 3x+
√
x
13. Determine os seguintes limites:
a) lim
x→0+
1
3x
b) lim
x→7
4
(x− 7)2
c) lim
x→0−
−1
x2 (x+ 1)
d) lim
x→0−
2
x1/5
e) lim
r→(pi/2)−
tg x
f) lim
x→0−
(1 + cosec x)
14. Determine
lim
1
x2 − 4
quando
(a) x→ 2+ (b) x→ 2−
(c) x→ −2+ (d) x→ −2−
15. Determine
lim
(
x2
2
− 1
x
)
quando
(a) x→ 0+ (b) x→ 0−
(c) x→ 3
√
2 (d) x→ −1
16. Determine
lim
(
x2 − 3x+ 2
x3 − 2x2
)
quando
(a) x→ 0+ (b) x→ 2+
(c) x→ 2− (d) x→ 2
17. Usando os limites fundamentais
lim
x→0
sen x
x
= 1 e lim
x→∞
(
1 +
1
x
)x
= e
calcule:
a) lim
x→0
sen 3x
4x
b) lim
x→0
tg 2x
x
c) lim
x→0−
x+ xcos x
sen x cos x
d) lim
x→0
sen x
sen 2x
e) lim
x→0
sen (sen x)
senx
f) lim
x→0
sen 3x cotg 5x
x2
g) lim
n→∞
(
1 +
2
n
)n
h) lim
n→∞
(
1 +
1
n
)n+3
i) lim
n→∞
(
1 +
3
n
)n+2
j) lim
n→∞
(
n+ 7
n+ 4
)n
18. Determine os seguintes limites:
a) lim
x→+∞
(x+ 1)3
x3 + 1
b) lim
x→−∞
x2 − 6x+ 8
3x+ 1
c) lim
x→−∞
10000x+ 8
3x2 + 4x+ 1
d) lim
x→∞
√
x√
x+
√
x+
√
x
e) lim
x→−∞
2x2 − 3x− 4√
x4 + 1
f) lim
x→−∞
ex
e−x
g) lim
x→2
x2 − 4
x2 − 3x+ 2
h) lim
x→−1
x2 − 1
x2 + 3x+ 2
i) lim
h→0
(x+ h)3 − x3
h
j) lim
x→1
1
x− 1 −
3
1− x2
k) lim
x→7
2−√x− 3
x2 − 49
l) lim
x→7
3−√5 + x
1−√5− x
m) lim
x→3
√
x2 − 2x+ 6−√x2 + 2x− 6
x2 − 4x+ 3
n) lim
x→+∞
(√
x2 − 5x+ 6− x
)
o) lim
x→+∞x ·
(√
x2 + 1− x
)
p) lim
x→3
senx
x
q) lim
x→0
sen5x
sen2x
r) lim
x→+∞
sen3x
5x
s) lim
x→+∞x · sen
(pi
x
)
t) lim
x→pi4
senx− cosx
1− tgx
u) lim
x→0
1−√cosx
x2
v) lim
x→0
tg2x
sen3x
w) lim
x→0
(
sen2x
x
)1+x2
x) lim
x→−∞
(
x+ 3
2x+ 5
)x2
y) lim
x→+∞
(
1
x2
) 2x
x+1
z) lim
x→0
(1 + senx)
1
x
19. Determine os seguintes limites:
a) lim
x→+∞
(
x− 1
x+ 3
)x+2
b) lim
x→0
(cosx)
1
x
c) lim
x→0
(cosx)
1
x2
d) lim
x→−∞
(
ln(1 + ex)
x
)
e) lim
x→0−
∣∣senx∣∣
x
f) lim
x→0+
∣∣senx∣∣
x
g) lim
x→−2−
x
x+ 2
h) lim
x→−2+
x
x+ 2
i) lim
x→−1+
∣∣x+ 1∣∣
x+ 1
j) lim
x→−1−
∣∣x+ 1∣∣
x+ 1
k) lim
x→0+
1
1 + e
1
x
l) lim
x→0−
1
1 + e
1
x
m) lim
x→+∞x · [ln(x+ 1)− ln(x)]
20. Esboce o gra´fico da func¸a˜o
f (x) =

x2 − 1, −1 ≤ x < 0
2x, 0 < x < 1
1, x = 1
−2x+ 4, 1 < x < 2
0, 2 < x < 3
e responda as seguintes perguntas:
(a) Existe f (−1)? Existe limx→−1+ f (x)?
Existe f (−1) = limx→−1+ f (x)?
(b) f e´ cont´ınua em x = −1?
(c) Existe f (1)? Existe limx→1 f (x)? Existe
f (1) = limx→1 f (x)?
(d) f e´ cont´ınua em x = 1?
(e) f e´ definida em x = 2? f e´ cont´ınua em
x = 2?
(f) Para quais valores de x, f e´ cont´ınua?
(g) Qual valor deve ser atribu´ıdo a f (2) para
tornar a func¸a˜o estendida cont´ınua em
x = 2?
(h) Para qual valor f (1) deve ser mudado
para remover a descontinuidade?
21. Em quais intervalos as func¸o˜es abaixo sa˜o
cont´ınuas?
a) f(x) =
1
x− 2 − 3x
b) f(x) =
x+ 4
x2 − 3x− 10
c) f(x) =
∣∣x− 1∣∣+ senx
d) f(x) =
2 + x
cosx
e) f(x) =
√
2x+ 3
f) f(x) =
x · tgx
x2 + 1
22. Defina h (2) de maneira que estenda
h (t) =
t2 + 3t− 10
t− 2
para torna´-la cont´ınua em t = 2.
23. Para qual valor de a temos que
f (x) =
{
x2 − 1, x < 3
2ax, x ≥ 3
e´ cont´ınua em qualquer x?
Gabarito
1. a) Na˜o existe.
c) Existe.
2. a) Verdadeiro.
c) Falso.
e) Falso.
3. Taxa me´dia: 3; taxa instantaˆnea 3.
5. a) −4.
c) −19 .
6. a) 19.
c) 5/2.
e) 1/10.
g) −1.
i) −1/2.
k) 16.
m) −3/2.
7.
√
5.
8. a) Demonstrac¸a˜o utilizando limites laterais.
c) Demonstrac¸a˜o utilizando limites laterais.
9. a)
√
3.
c) 2√
5
.
e) 1.
f) −1.10. a) D = [0, 2] e Im = [0, 1] ∪{2}.
b) ]0, 1[ ∪ ]1, 2[.
c) x = 2.
d) x = 0.
12. a) pi.
c) 1/2.
e) −3/2
g) 0.
i) ∞.
13. a) ∞.
c) −∞.
e) ∞.
14. a) ∞.
b) −∞.
c) −∞.
d) ∞.
16. a) −∞.
b) 14 .
c) 14 .
d) 14 .
17. a) 34 .
c) 2.
e) 1.
g) e2.
i) e3.
18. a) 1.
c) 0.
e) 2.
g) 43 .
i) 3x2.
k) − 114 .
m) − 13 .
o) 12 .
q) 52 .
s) pi.
u) 12 .
w) 2.
y) 0.
z) e.
19. a) e−4.
b) 1
c) e−1
e) −1.
g) ∞.
i) 1.
k) 0.
m) 1.
20. a) Sim; Sim; Sim.
b) Sim.
c) Sim; Sim; Na˜o.
d) Na˜o.
e) Na˜o; Na˜o.
f) [−1, 0[ ∪ ]0, 1[ ∪ ]1, 2[ ∪ ]2, 3[.
g) f (2) = 0.
h) f (1) = 2.
21. a) Qualquer x exceto x = 2.
c) S = {x ∈ R} .
e) S =
{
x ∈ R|x ≥ −32
}
.
23. a = 43 .