Apostila_Analise_Marginal_e_Taxas_Relacionadas

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UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA 
INSTITUTO DE HUMANIDADES, ARTES E CIÊNCIAS 
BACHARELADO EM CIÊNCIA E TECNOLOGIA 
DISCIPLINA: CIÊNCIA E TECNOLOGIA II 
PROF. ADEMAR NOGUEIRA DO NASCIMENTO 
 
 
APLICAÇÃO ECONÔMICA DE DERIVADAS: ANÁLISE MARGINAL 
 
 
CUSTO MARGINAL 
 
Em Economia a variação de uma quantidade em relação à outra pode ser descrita por 
qualquer dos dois conceitos: o de Média ou o de Marginal. O conceito de média, expressa a 
variação de uma quantidade sobre um conjunto específico de valores de uma segunda 
quantidade, enquanto que o conceito de marginal, é a mudança instantânea na primeira 
quantidade que resulta de uma mudança em unidades muito pequenas na segunda quantidade. 
 
Suponha que C(q) seja o custo total de produção de q unidades de um certo produto. A 
função C é chamada de função custo total (como já vimos nas aulas anteriores). Em 
circunstâncias normais q e C(q) são positivas.Note que, como q representa o número de unidades 
de um produto, q tem que ser inteiro não negativo, de modo que tenhamos as condições de 
continuidade para a função C. 
 
O custo médio da produção de cada unidade do produto é obtido dividindo-se o custo 
total pelo número de unidades produzidas; isto é, , onde CM é chamada função 
custo médio. 
 
Suponhamos que o número de unidades de uma determinada produção seja 
1q
, e que ela 
tenha sido alterada por 
q
. Então a variação no custo total é dada por 
)()( 11 qCqqC 
, e a 
variação média no custo total em relação a variação no número de unidades produzidas é dada 
por: 
)(
)()( 11 I
q
qCqqC


 
 
Os economistas usam o termo Custo Marginal para limite do quociente (I) quando 
q
 
tende a zero, desde que o limite exista. Esse limite é a derivada de C em 
1q
; portanto a definição 
de custo marginal será: 
 
Se C(q) é o custo de produção de q unidades de um certo produto, então o Custo 
Marginal é dado por 
)(' qC
, caso exista. A função C’ é chamada Função Custo Marginal e 
freqüentemente é uma boa aproximação do custo de produção de uma unidade adicional. 
 
Na definição acima, 
)(' qC
 pode ser interpretada como a taxa de variação do custo total. 
 
 
Exemplo: 
 
Suponha que o custo total ao se fabricar q unidades de brinquedos seja de 
1053)( 2  qqqC
. 
a) Deduza a fórmula do custo marginal. 
b) Qual é o custo marginal de 50 unidades produzidas? 
c) Qual é o custo real de produção do 51º brinquedo? 
 
Resolução: 
 
a) A função custo marginal é C’(q)=6q+5 
 
b) O custo marginal para q=50 é dado por C’(50), e C’(50) = 6(50) + 5 =305. Logo, a taxa de 
variação do custo total, quando 50 brinquedos são fabricados é de R$ 305,00/brinquedo. 
 
c) O custo real de fabricação do 51° brinquedo é dado por C(51) - C(50), sendo que o seu 
cálculo, é: C(51) - C(50)=8068-7760=308, então o custo real de fabricação do 51° 
brinquedo é de R$ 308,00. 
 
Note que as respostas dos itens b e c diferem por R$ 3,00, isto é, o custo marginal é 
próximo do custo real de produção de uma unidade adicional. Esta discrepância ocorre porque o 
custo marginal é a taxa de variação instantânea de C(q) em relação a uma unidade de variação 
em q. Logo, C’(50) é o custo aproximado da produção do 51º brinquedo. 
 
Observe que o cálculo de C’(50), no exemplo, é mais simples do que o de C(51) – C(50). 
Os economistas freqüentemente aproximam o custo da produção de uma unidade adicional 
usando a função custo marginal. Mais claramente, C’(n) é o custo aproximado da (n+1) ésima 
unidade depois que as n primeiras unidades tiverem sido produzidas. 
 
As respostas dos itens b e c do exemplo anterior são muito próximas por causa da 
proximidade dos pontos (50; C(50)) e (51; C(51)), e porque esses pontos pertencem a uma porção 
praticamente linear da curva de custo. Para tais pontos, o coeficiente angular da secante é uma 
boa aproximação do coeficiente angular da tangente. Como usualmente se obtém esta 
aproximação e sendo mais fácil, de maneira geral, calcula-se o custo marginal como aproximação 
do custo real de produção de uma unidade adicional, como já dissemos acima. 
 
De maneira geral, em Economia, Análise Marginal se refere ao uso de derivadas de 
funções para estimar a variação ocorrida no valor da variável dependente, quando há um 
acréscimo de 1 unidade no valor da variável independente. 
 
Exemplo 2: 
Suponha que C(q) seja o custo total de produção de q unidades de canetas, e 
.82)( 2  qqqCT
 Ache as funções: 
 
a) Custo total marginal (CMg); b) Custo total médio; b) Custo médio marginal (
gCM
) 
 
Resolução: 
 
a) CMg = CT’(q), ou seja: CMg = 4q+1; b)
q
q
q
qq
qTC
8
12
82
)(
2



; c) 
2
' 8))((
q
qCTCMg 
 
 
Exercícios 
 
1) Suponha que o custo total de fabricação de q unidades de um certo produto seja 
 C(q) = 3q²+q+500 
a) Use análise marginal para estimar o custo de fabricação da 41ª unidade. 
b) Calcule o custo real de fabricação da 41ª unidade. 
 
2) Suponha que C(q) seja o custo total de fabricação de q livros, e C(q) = 110+4q+0,02q². 
a) Deduza a fórmula do CMg. 
b) Estime o custo de fabricação do 101° livro. 
c) Qual o custo real de fabricação do 101° livro? 
RECEITA MARGINAL 
 
Se R(q) é a receita total obtida quando q unidades de um produto são demandadas, então 
a Receita Marginal é dada por , caso exista. A função R’(q) é chamada Função Receita 
Marginal e frequentemente é utilizada para aproximar a receita pela venda da unidade adicional, 
ou seja, 
 
R’(q) pode ser positiva, negativa ou nula, e pode ser interpretada como a taxa de variação 
da receita total quando q unidades são demandadas. 
 
Exemplo 3: 
 
O ganho total diário pela fabricação de refrigerantes é de R(q) = 240q+0,05q² reais, onde q 
é o número de unidades produzidas diariamente. Atualmente, o fabricante está produzindo 80 
unidades por dia e pretende elevar este número em 1 unidade. 
 
a) Estime o ganho adicional produzido pela 81ª unidade. 
b) Calcule o ganho adicional real produzido pela 81ª unidade. 
 
Resolução: 
 
a) R’(q) = 240+0,10q 
R’(80) = 240+0,10 x 80 
R’(80) = 248 
 
Estima-se que o ganho adicional produzido pela 81ª unidade seja de R$ 248,00. 
 
b) R(81)-R(80) = (19440+328,05) – (18200+300) 
R(81)-R(80) = 19768,05-19520 = 248,05 (ganho obtido pela 81ª unidade é de R$ 248,05). 
 
Exemplo 4: 
 
Seja R(q) = -2q²+1800q a função receita diária, para a fabricação de fogões, onde q é o número 
de unidades produzidas diariamente. Atualmente, o fabricante está produzindo 400 fogões por dia 
e pretende elevar este número pra 401. 
a) Use análise marginal para estimar o ganho adicional produzido pelo 401ª. 
b) Qual a diferença entre o ganho real e o aproximado calculado no item (a)? 
 
Resolução: 
 
a) R’(q) = -4q+1800, logo: R’(400) = -1600+1800 = 200 (ganho estimado é de R$ 200,00). 
 
b) R(401)-R(400) = 400198-400000= 198 (ganho real); a diferença será de R$ 2,00. 
 
Observe que a derivada da função Receita assume valores diferentes em outros pontos, o que 
significa que, são diferentes os acréscimos em R correspondentes à acréscimos de 1 unidade em 
q. Por exemplo: se q = 100, R’(100) = 1400, e se Q = 600, R’(600) = -600 (decréscimo). Este valor 
negativo é esperado, pois o gráfico de R é uma parábola com concavidade voltada para baixo, e a 
partir de q = 450 a curva da Receita começa a decrescer. 
Exercício: 
 
3) Suponha que a receita total diária pela fabricação de cintos de couro é de R(q) = -q²+80q, 
onde q é o número de cintos produzidos diariamente. O fabricante está produzindo 20 
cintos por dia. 
a) Faça uma estimativa do ganho adicional produzido pelo 21° cinto. 
b) Verifique o que ocorrerá ao ser produzido o 51° cinto.Use Análise Marginal. 
 
PROBLEMAS DE TAXAS RELACIONADAS 
(Aplicação de Regra da Cadeia e Taxas de Variação) 
 
Em muitas situações práticas, a quantidade em estudo é dada como função de uma 
variável que, por sua vez, é uma função de uma outra variável. Assim, suponha que, por exemplo, 
em uma certa indústria C seja o custo total de produção de q unidades, e C=f(q). Além disso, 
suponha que q unidades sejam produzidas durante as t horas desde o início da produção e q=g(t). 
Se conhecemos 
dt
dq
, a taxa de variação do número de unidades produzidas em t horas e 
dq
dc
, a 
taxa de variação do custo em relação à produção, é evidente que poderíamos determinar 
dq
dc
 a 
taxa de variação do custo total de produção naquele intervalo de tempo. Este cálculo pode ser 
feito aplicando-se o seguinte Teorema: 
 
Se y é uma função de u e 
du
dy
 existe, e se u é uma função de x e existe 
dx
dy
, então y é uma 
função de x e 
dx
dy
 existe e é dada por 
.
dx
du
du
dy
dx
dy

 
 
 
Exemplo 5: 
 
Considerando-se que em uma indústria automobilística o custo total de s unidades seja dado por 
1000.2.
4
1
)( 2  ssqCT
, e que se s carros são produzidos durante t horas desde o início da 
produção, dado por S(t) = 3t²+50t, pede-se determinar a taxa de variação do custo total em 
relação ao tempo, 2 horas após o início da produção. 
 
Estrutura da solução: 
 
Nesse caso, deseja-se calcular 
dt
dc
 , para t = 2. Deve-se, portanto, aplicar a regra da cadeia 
conforme abaixo: 
 
.
dt
ds
ds
dc
dt
dc

 
 
Pede-se ao aluno complementar a resolução do problema, realizando os cálculos necessários. 
 
 
Exercícios Complementares 
 
 
1) Suponha que h(x) unidades de fuzis sejam produzidas diariamente quando x máquinas são 
usadas, e h(x) = 2000x+40x²-x³. Estime a variação na produção diária se o número de 
máquinas usadas for aumentando 20 para 21. 
 
2) Suponha que seja a Receita total recebida da venda de x mesas. 
Determine a receita marginal quando 40 mesas são vendidas. Qual a receita efetiva da 
venda da 41ª mesa? 
 
3) Estima-se que a produção semanal de uma fábrica seja, Q(x) = x³+60x²+1200x unidades, 
onde x é o número de empregados dessa fábrica. Atualmente, 30 operários trabalham 
nessa fábrica. Com essas informações, pede-se: 
 
a) A taxa de variação instantânea da produção em relação ao número de operários. 
b) Estimar a variação semanal da produção resultante do emprego de mais um operário. 
c) Calcular o valor exato da variação de produção referida no item b. 
 
4) Numa certa fábrica, o custo total de fabricação de q unidades é C(q) = 0,2q²+q+900 reais. 
Sabe-se que, aproximadamente, q(t) = t²+100t unidades produzidas às t primeiras horas de 
jornada de trabalho. Qual será a taxa de variação, em relação ao tempo de custo total de 
fabricação uma hora após o início do trabalho diário? 
 
5) Um importador de café brasileiro calcula que consumidores locais comprarão 
aproximadamente quilogramas de café por semana, quando o preço 
brasileiro for de p dólares por quilograma. Estima-se que daqui a t semanas o preço do 
café importado será p(t) = 0,02t²+0,1t+6 dólares por quilograma. Qual será a taxa de 
variação da demanda semanal de café daqui a dez semanas? 
 
 
6) Quando um fabricante de móveis produz x cadeiras por semana, o custo total e a receita 
total semanal são C(x) = 3000+40x e , respectivamente. Se a produção 
semanal atual é 200 cadeiras e ela está aumentando a uma taxa de 10 cadeiras por 
semana, pede-se calcular a taxa de variação semanal em relação às seguintes variáveis 
econômicas: 
 
a) Custo total; b) Receita total; c) Lucro total.