apostila prof valdecir

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PELOTAS - UFPEL
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA
Prof. Valdecir Bottega
http://minerva.ufpel.edu.br/~valdecir.bottega/
MAT301 - CÁLCULO 1
1. Introdução
1.1 Números Reais R
Conjuntos numéricos:
- Números Naturais: N = 1, 2,3, . . . 
- Números Inteiros: Z = . . . ,−2,−1,0, 1,2, . . . 
- Números Racionais: Q = x\x = mn , com m ∈ Z, n ∈ Z∗
- Números Irracionais: Q ′ . Não podem ser escritos em termos de uma fração.
Ex.: π,e, 2 , . . .
- Números Reais: R = Q ′ ∪ Q
1.2 Intervalos:
- Intervalo aberto limitado: a,b = x ∈ R\a < x < b. Representação gráfica:
- Intervalo fechado limitado: a,b = x ∈ R\a ≤ x ≤ b.Representação gráfica:
- Intervalo semi-aberto ou semi-fechado limitado: a,b = x ∈ R\a < x ≤ b
a,b = x ∈ R\a ≤ x < b
- Intervalo aberto ilimitado: a,∞ = x ∈ R\x > a
−∞, b = x ∈ R\x < b
- Intervalo fechado ilimitado: a,∞ = x ∈ R\x ≥ a
−∞,b = x ∈ R\x ≤ b
1.3 Valor Absoluto:
Seja a ∈ R :
|a | = a, se a ≥ 0
−a, se a < 0
|a | = da, 0 = distância do ponto a até a origem.
|a − b | = da,b = distância entre a e b.
|a − b | = a − b, se a ≥ b
b − a, se b > a
Propriedades:
1) |x| < a  −a < x < a
2) |x| > a  −a > x ou x > a
Ex.: |x| < 2 , ou seja, dx, 0 < 2.
Se x = 1, então d1,0 = 1, mas d−1,0 = 1 também! Logo, −2 < x < 2.
1.4 Desigualdades:
i) a < b ⇔ b − a é positivo
ii) a > b ⇔ a − b é positivo
iii) a ≤ b ⇔ a < b ou a = b
iv) a ≥ b ⇔ a > b ou a = b
1
Inequações do 1∘ Grau:
Exemplos: Determine todos os intervalos que satisfaçam as inequações abaixo. Faça a representação gráfica:
i) 7 < 5x + 3 ≤ 9 Resp.: 4/5, 6/5
ii) |7x − 2| < 4 Resp.: −2/7,6/7
iii) 2 > −3 − 3x ≥ −7 Resp.: −5/3,4/3
iv) |x + 12| > 7 Resp.: −∞,−19 ∪ −5,∞
Inequações do 2∘ Grau:
Exemplos:
1) x2 − x − 2 > 0 Resp.: −∞,−1 ∪ 2,∞
2) x2 − 4x + 3 ≤ 0 Resp.: 1,3
3) x2 + 2x ≥ 0 Resp.: −∞,−2 ∪ 0,∞
4) x2 + 6x + 5 < 0 Resp.: −5,−1
LISTA DE EXERCÍCIOS 1:
Resolva as desigualdades e exprima a solução em termos de intervalos:
1. 2x + 5 < 3x − 7 2. 3 ≤ 2x − 35 < 7 3. x
2 − x − 6 < 0
4. x2 − 2x − 5 > 3 5. x2x + 3 ≥ 5 6. |x + 3| < 0.01
7. |2x + 5| < 4 8. |6 − 5x| ≤ 3 9. |3x − 7| ≥ 5
10. |−11 − 7x| > 6 11. −5 ≤ 3x + 4 < 7 12. |6x − 7| > 10
13. 0 < 3x + 1 ≤ 4x − 6 14. |5 − 2x| ≥ 7 15. −6 < 3x + 3 ≤ 3
16. |x − 4| ≤ 16 17. 1 < x − 2 < 6 − x 18.x − 7 ≥ −5 ou x − 7 ≤ −6
19.x < 6x − 10 ou x ≥ 2x + 5 20.2x − 1 > 1ou x + 3 < 4 21.1 ≤ −2x + 1 < 3
22.x + 3 < 6x + 10 23. |2x − 3| > 4 24.2 < 5x + 3 ≤ 8x − 12
25.|2x − 3| ≤ 5
RESPOSTAS:
1. (12,∞ 2. [9,19) 3. (-2,3)
4. (-∞,−2 ∪ 4,∞ 5. (-∞,−5/2 ∪ 1,∞ 6. (-3.01,-2.99)
7. (-9/2,-1/2) 8. [3/5,9/5] 9. (-∞, 2/3 ∪ 4,∞
10. (-∞,−17/7 ∪ −5/7,∞ 11. [-3,1) 12. (−∞,−1/2 ∪ 17/6,∞
13. [7,∞ 14. (-∞,−1 ∪ 6,∞ 15. (-3,0]
16. [-12,20] 17. (3,4) 18.−∞, 1 ∪ 2,∞
19.−∞,−5 ∪ 2,∞ 20.−∞, 1 ∪ 1,∞ 21.(-1,0]
22.−7/5,∞ 23. −∞,−1/2 ∪ 7/2,∞ 24.5,∞
25.[-1,4]
2. Funções
2.1. O que é uma função?
Podemos definir função da seguinte maneira:
Uma grandeza y é uma função de outra grandeza x, se a cada valor de x estiver associado um único valor de y.
Dizemos que y é a variável dependente e x é a variável independente. Escrevemos y = fx, onde f é o nome da
função.
O domínio da função é o conjunto dos possíveis valores da variável independente.
2
A imagem é o conjunto correspondente de valores da variável dependente.
Uma função pode ser representada por tabelas, gráficos e fórmulas.
exemplo: No verão de 1990, a temperatura, no estado do Arizona, ficou alta durante todo o tempo (tão alta, de fato, que
algumas empresas aéreas decidiram que talvez não fosse seguro aterrissar seus aviões lá). As altas diárias de temperatura
na cidade de Phoenix, de 19 a 29 de junho são dadas na tabela abaixo:
Data 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
Temperatura oC 43 45 46 45 45 45 49 50 48 48 42
Tabela 1. Temperatura em Phoenix, Arizona, junho de 1990
Trata-se de uma função: cada data tem uma única temperatura mais alta, associada a ela.
2.2. Gráfico de uma função:
O gráfico da função f em um plano xy é o conjunto de pontos x,y, onde x pertence ao domínio de f e y é o valor
correspondente fx de f.
-2 -1 1 2 3
10
20
x
f(x)
2.3. Tipos de Funções:
1) Funções polinomiais:
a) Função Linear: fx = mx + b
onde x é a variável independente e m e b são constantes (números reais).
⋅ A constante m é a inclinação da reta determinada por y = fx.
⋅ b é a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo vertical.
⋅ zero ou raiz da função é a abscissa do ponto em que a reta corta o eixo horizontal.
Observe que:
⋅ Se m = 0, a função linear fx = b é uma função constante. Desenhe seu gráfico!
⋅ Se b = 0, então temos fx = mx. Trata-se de um conjunto de retas com inclinação m, todas passando na origem 0,0.
Por exemplo: y = −2x, y = −x, y = − 12 x, y =
1
2 x, y = x, y = 2x.
-4 -2 2 4
-4
-2
2
4
x
y
3
Coeficiente Angular de uma reta: O coeficiente angular ou inclinação de uma reta não vertical pode ser determinado, se
conhecermos dois de seus pontos, a partir da expressão:
m =
y2 − y1
x2 − x1
Equação de uma reta de coeficiente angular conhecido:
y − y1 = mx − x1 
Exemplo 1: A equação da reta que passa pelo ponto 3,−2 e tem coeficiente angular 23 é? Resposta: y =
2
3 x − 4.
Exemplo 2: Determine a equação da reta que passa pelos pontos −3,−5 e 2,−2. Resposta: y = 35 x −
16
5 .
Exemplo 3: Dada a função fx = 2x + 4, esboce o gráfico da função, mostrando os interceptos vertical e horizontal.
Resp.:
-2 -1 0 1 2
2
4
6
8
x
y
Exemplo 4: A média de pontos obtidos num teste psicotécnico aplicado em determinada empresa vem decrescendo
constantemente nos últimos anos. Em 2000, a média foi de 582 pontos, enquanto que em 2005, a média foi de 552 pontos.
a) Defina a função do valor da média em relação ao tempo. Resposta: y = −6x + 582
b) Se a tendência atual se mantiver, qual foi a média de pontos obtida em 2010? Resposta: 522 pontos
c) Em que ano, a média é de 534 pontos, nestas condições? Resposta: Em 2008.
LISTA DE EXERCÍCIOS 2:
1) Faça o gráfico da função abaixo, determinando o domínio, a imagem e as raízes de cada função:
a) y = −1
b) y = 2 − x
c) y = x2 + 1
Respostas:
a. D = ℜ, Im = −1 b. D = ℜ, Im = ℜ c. D = ℜ, Im = ℜ.
2) Determine a equação da reta que passa pelo ponto (-2,1) e cujo coeficiente angular é . Resposta: y = x2 + 2.
3) Determine a equação da reta que passa pelos pontos (-3,-5) e (2,-2). Resposta: y = 3x − 165 .
4) Dados os pontos A−2,4 e B2,−1, calcule:
a) A inclinação da reta que liga os pontos A e B;
b) A equação da reta que passa pelos pontos A e B;
c) O intercepto vertical e o intercepto horizontal da reta obtida em (b);
d) o esboço do gráfico.
5) Alex é vendedor em uma loja de programas de computador, a CompHouse, e seu salário é composto de um valor fixo
de R$900,00 mais uma comissão de R$10,00 por programa vendido. Bruno é vendedor na loja concorrente, a SoftMouse,
e recebe um fixo de R$440,00 mais R$30,00 por programa vendido.
a) Escreva uma expressão para o salário recebido, em função do número de programas vendidos, para cada vendedor.
b) No mês de fevereiro, Alex vendeu 19 programas. Quanto recebeu de salário?
c) No mesmo mês, Bruno recebeu salário de R$1220,00. Quantos programas vendeu?
d) Em março, Alex e Bruno venderam a mesma quantidade de programas, mas Bruno recebeu salário maior que Alex.
Quantos programas, no mínimo, cada um vendeu? Esboce o gráfico das duas funções no mesmo sistema de eixos para
uma melhor análise.
4
6) Uma empresa de aluguel de automóveis oferece carros a R$ 40,00 por dia e 15 centavos o quilômetro rodado. Os
carros do seu concorrente estão a R$ 50,00 por dia e 10 centavos o quilômetro rodado.
(a) Para cada empresa, obtenha uma fórmula que dê o custo de alugar o carro por um dia em função da distânciapercorrida.
(b) No mesmo sistema de eixos, esboce os gráficos de ambas as funções.
(c) Como você deve decidir que empresa está com o aluguel mais barato?
b) Função Quadrática:
Uma função quadrática é da forma fx = ax2 + bx + c
Exemplo 1: Esboce o gráfico de fx = x2 − 1. Resposta:
-4 -2 2 4
-1
1
2
3
4
5
x
y
Observação: Esta curva é chamada parábola. Uma parábola pode ter a concavidade voltada para cima (a > 0) ou
concavidade voltada para baixo (a < 0).
Elementos da Parábola:
Raízes: Calcula-se por Báskhara (são os valores onde a parábola intercepta o eixo x). −b ± b
2 − 4ac
2a .
Vértice: é onde se encontra o valor máximo (se a < 0) ou o valor mínimo (se a > 0) da função.
xv = − b2a e yv = −
Δ
4a = −
b2 − 4ac
4a .
Exemplo 2: Esboce o gráfico de fx = x2 + 2x − 3, mostrando os elementos da parábola, o domínio e a imagem.
Exemplo 3: Esboce o gráfico de fx = −x2 + 5x − 6, mostrando os elementos da parábola, o domínio e a imagem.
Resposta:
Exemplo 2: Exemplo 3:
-4 -2 2
5
10
x
y 0 1 2 3 4 5
-6
-4
-2
0
x
y
Exemplo 4: A temperatura de uma certa região em função do tempo x é Cx = −0, 15x2 + 3, 8x + 12 graus centígrados.
a) Qual era a temperatura às 14 horas? Resposta: 35,8 ∘C.
b) De quanto a temperatura aumentou ou diminuiu entre 19 e 22 horas? Resposta: Diminuiu 7,05∘C.
c) Função Cúbica:
fx = ax3 + bx2 + cx + d
Exemplo 1: Esboce o gráfico de fx = x3. Resposta:
5
-2 -1 1 2
-5
5
x
y
Exemplo 2: Suponha que o custo total, em reais, para fabricar q unidades de um certo produto seja dado pela função:
Cq = 127 q
3 + 5q2 + 125q + 250.
a) Calcule o custo de fabricação de 20 unidades.
Resposta: C20 = 127 20
3 + 5202 + 12520 + 250 = 5.046, 30; R$ 5.046,30.
b) Calcule o custo de fabricação da 20a. unidade.
C19 = 127 19
3 + 5192 + 12519 + 250 = 4.684, 00
C20 − C19 = 5.046, 30 − 4.684,00 = 362. 3 Resposta: R$ 362,26
Observação: Vejamos o caso particular, das funções polinomiais da forma y = fx = xn:
1) para n ímpar: x,x3,x5,x7.
-3 -2 -1 1 2 3
-15
-10
-5
5
10
15
x
y
∙ Identifique-as, escolhendo uma cor diferente para cada uma delas.
∙ O que você observa?
2) para n par: x2,x4,x6
-2 -1 1 2
-5
5
10
x
y
∙ O que você observa?
LISTA DE EXERCÍCIOS 3:
1) Um tomate é jogado verticalmente para o alto, no instante t = 0, com velocidade de 15 metros por segundo. Sua altura
y, acima do solo, no instante t (em segundos), é dada pela equação y = −5t2 + 15t. Faça uma análise da função quadrática
definida por esta equação, isto é:
∙ esboce um gráfico da posição versus tempo;
∙ determine os zeros desta função e interprete o que representam;
∙ determine as coordenadas do ponto mais alto da curva e interprete o que este ponto representa;
∙ responda: durante quanto tempo ocorreu o movimento do tomate ?
2) O lucro de uma empresa é expresso por Lx = −x2 + 4x + 5, onde x é a quantidade de produtos vendidos num mês.
a)Determine a quantidade na qual o lucro é máximo. Resposta: 2
6
b)Qual é o valor máximo para o lucro? Resposta: 9.
c) O lucro ou o prejuízo da empresa se forem vendidos 10 produtos num mês. Resposta: prejuízo de $ 55.
d) Faça o gráfico.
3) Esboce os gráficos das funções e determine seus zeros:
(a) hx = 10 − x2 (b) lx = x2 − 2x + 4
4) Uma caixa retangular de base quadrada, tem volume 125. Expresse a área A, de sua superfície total, como função da
aresta x , de sua base.
(Lembre-se: o volume de uma caixa retangular pode ser obtido pelo produto da área de sua base pela altura, a área da
superfície total de uma caixa retangular é obtida pela soma das áreas de todas as suas faces).
5) Expresse a área de um quadrado como função de seu perímetro.
6) Considere o gráfico abaixo para responder as perguntas a seguir.
-10
-5
0
5
10
y
-10 -5 5 10
x
(a) Quantos zeros tem a função? Dê suas localizações aproximadas.
(b) Dê valores aproximados para f2 e f4.
(c) A função é crescente ou decrescente na vizinhança de x = −1 ? E na vizinhança de x = 3 ?
(d) O gráfico é côncavo para cima ou para baixo na vizinhança de x = 5 ? E na vizinhança de x = −5 ?
(e) Dê os intervalos (aproximados) onde a função é crescente.
7) Se fx = x2 + 1, encontre:
(a) ft + 1 (b) ft2 + 1 (c) f2 (d) 2ft (e) ft2 + 1
8) Esboce o gráfico de uma função definida para x ≥ 0 com as seguintes propriedades. (Existem várias respostas
possíveis.)
(a) f0 = 2.
(b) fx é crescente para 0 ≤ x < 1.
(c) fx é decrescente para 1 < x < 3.
(d) fx é crescente para x > 3.
(e) fx → 5 quando x → ∞.
9) Relacione as seguintes fórmulas com os gráficos apresentados a seguir:
( ) y = −x ( ) y = x3 − 4x − 2 ( ) y = −28 + 34x − 9x2
( ) y = −x2 + x − 2 ( ) y = x2 + 2 ( ) y = 2x − 6
7
-4 -2 2 4
-6
-4
-2
2
x
y
(1)
-3 -2 -1 1 2 3
-6
-4
-2
2
4
6
x
y
(2)
-4 -2 2 4
-4
-2
2
4
x
y
(3)
-4 -2 2 4
-4
-2
2
4
x
y
(4)
1 2 3 4
-4
-2
0
2
4
x
y
(5)
-4 -2 2 4
-1
1
2
3
4
5
x
y
(6)
10) Uma empresa de aluguel de automóveis oferece carros a R$ 40,00 por dia e 15 centavos o quilômetro rodado. Os
carros do seu concorrente estão a R$ 50,00 por dia e 10 centavos o quilômetro rodado.
(a) Para cada empresa, obtenha uma fórmula que dê o custo de alugar o carro por um dia em função da distância
percorrida.
(b) No mesmo sistema de eixos, esboce os gráficos de ambas as funções.
(c) Como você deve decidir que empresa está com o aluguel mais barato ?
2) Função Módulo: fx = |ax + b |
Exemplo 1: Esboce o gráfico de fx = |x|.
Exemplo 2: Esboce o gráfico de fx = |x − 1|.
Exemplo 3: Esboce o gráfico de fx = |2x + 1|.
Respostas:
Exemplo 1: Exemplo 2: Exemplo 3:
-4 -2 0 2 4
2
4
x
y
-2 0 2 4
1
2
3
4
x
y
-4 -2 0 2
2
4
6
x
y
3) Função Racional: fx = pxqx
Exemplo 1: Esboce o gráfico de fx = 1x .
Exemplo 2: Esboce o gráfico de fx = 1
x − 2 .
Exemplo 3: Esboce o gráfico de fx = 1
x + 2 .
Respostas:
8
Exemplo 1: Exemplo 2: Exemplo 3:
-4 -2 2 4
-4
-2
2
4
x
y
-2 2 4
-10
-5
5
10
x
y
-4 -2 2
-10
-5
5
10
x
y
Exemplo 4: Supõe-se que a população de uma certa comunidade, daqui a x anos, será de Px = 30 − 5
x + 2 milhares.
a) Daqui a 10 anos, qual será a população da comunidade? Resposta: 29,58 mil habitantes.
b) De quanto a população crescerá durante o 10o ano? Resposta: 30 habitantes.
c) Ao longo desse tempo, o que acontecerá ao tamanho da população? Resposta: Crescerá até 30 mil habitantes.
4) Função Raiz Quadrada: fx = ax + b
Exemplo 1: Esboce o gráfico da função fx = x .
Exemplo 2: Esboce o gráfico da função fx = x − 3 .
Respostas:
1)
0 1 2 3 4
0
1
2
x
y
2)
4 6 8
-1
0
1
2
3
x
y
5) Funções Trigonométricas:
Os primeiros estudos sobre Trigonometria tiveram origem nas relações entre lados e ângulos num triângulo e datam de
muito tempo.(Trigonon : triângulo e metria : medição). Nosso objetivo principal, agora, é o estudo de
funções trigonométricas. Podemos definí-las usando o círculo unitário, que é a definição que as torna periódicas ou com
repetições. Essas funções são muito importantes, pois inúmeros fenômenos que ocorrem em nossa volta são periódicos: o
nível da água em uma maré, a pressão sangüinea em um coração, uma corrente alternada, a posição das moléculas de ar
transmitindo uma nota musical, todos flutuam com regularidade e podem ser representados por funções trigonométricas.
Medida de arcos de circunferência
Usamos, basicamente, duas unidades de medidas para arcos de circunferência:
∙ Grau
Um grau corresponde a 1360 da circunferência onde está o arco a ser medido.
∙ Radiano
Um radianocorresponde à medida do arco de comprimento igual ao raio da circunferência onde está o arco a ser medido.
É importante lembrar que o arco de uma volta mede 360∘ ou 2π rad π ≈ 3,14.
Exemplo: Quantos graus correspondem, aproximadamente, a um arco de 1rad ?
Definição 1: Considere um ângulo t, medido em radianos, num círculo de equação x2 + y2 = 1. Seu lado terminal
intercepta o círculo num ponto Px,y. O seno de t é definido como sendo a ordenada do ponto P e o co-seno de t é
definido como sendo a abscissa do ponto P. Isto é:
9
sent = y e cos t = x.
Sobre o círculo abaixo, de raio 1, marque um ponto P e identifique o seno e o co − seno do ângulo que ele representa, em
cada um dos seguintes casos:
a) P ∈ 1o quadrante b) P ∈ 2o quadrante c) P ∈ 3o quadrante d) P ∈ 4o quadrante
Observe que à medida que o ponto P movimenta-se sobre o círculo, os valores de sent e cos t oscilam entre −1 e 1.
Como consequência imediata da definição, temos que;
sen2t + cos2t = 1.
Veja, no mesmo sistema de eixos cartesianos, os gráficos das funções f e g , definidas, respectivamente, por
ft = sent e gt = cos t. Identifique cada uma delas.
-6 -4 -2 2 4 6 8
-1
1
x
y
A amplitude de uma oscilação é a metade da distância entre os valores máximo
e mínimo.
O período de uma oscilação é o tempo necessário para que a oscilação complete
um ciclo.
A amplitude de cos t e sent é 1 e o período é 2π.
Definição: Consideremos um número qualquer t , com cos t ≠ 0. A função tangente é definida por
tan t = sin t
cos t .
∙ Observe o gráfico da função f , definida por ft = tan t
-4 -2 2 4
-10
10
x
y
10
LISTA DE EXERCÍCIOS 4:
1) Relacione cada gráfico com a função que ele representa:
( 1 ) fx = 1 + senx ( 2 ) gx = senx − 2 ( 3 ) hx = sen2x
( 4 ) lx = 2senx ( 5 ) mx = 5sen2x ( 6 ) nx = −5sen x2
2 4 6
-2
-1
0
1
2
x
y
( )
2 4 6
-2
-1
0
1
2
x
y
( )
-4 -2 2 4
-6
-4
-2
2
4
6
x
y
( )
2 4 6
-3
-2
-1
0
1
2
3
x
y
( )
2 4 6
-3
-2
-1
0
1
2
3
x
y
( )
-2 2 4 6 8 10 12
-4
-2
2
4
x
y
( )
∙ Qual a amplitude e o período de cada uma das funções?
2) Idem para:
( 1 ) Fx = cos x + 2 ( 2 ) Gx = 1 − cos x ( 3 ) Hx = cos x2
( 4 ) Lx = cos x2 ( 5 ) Mx = 4cos 2x ( 6 ) Nx = 4cos
1
2 x
2 4 6
-1
0
1
x
y
( )
2 4 6 8 10 12
-4
-2
0
2
4
x
y
( )
-4 -2 2 4
-4
-2
2
4
x
y
( )
2 4 6
-3
-2
-1
0
1
2
3
x
y
( )
2 4 6
-2
0
2
x
y
( )
-10 -5 5 10
-4
-2
2
4
x
y
( )
11
3) Localize, no círculo trigonométrico, o ângulo de π2 e determine o seno , o cosseno e a tangente do mesmo.
4) Um disco realiza 33 rotações por minuto. Qual é o período de seu movimento ? R: 6033 = 1. 8182 s
5) Complete, determinando uma fórmula para descrever oscilações do tipo:
-4 -2 2 4 6
-3
-2
-1
1
2
3
x
y
fx =
-5 5 10
-1.0
-0.5
0.5
1.0
x
y
gx =
6) Determine o domínio, a imagem, a amplitude, o gráfico e o período das funções:
a)y = 2sinx Resp.:D = ℜ, Im = −2, 2, A= 2, período= 2π.
b)y = 2 + sinx Resp.:D = ℜ, Im = 1,3, A=1, período=2π.
c)y = sin3x Resp.:D = ℜ, Im = −1, 1,A=1, período=2π/3.
d)y = cos2x Resp.:D = ℜ, Im = −1, 1,A=1, período=π.
e)y = cosx + π/2 Resp.:D = ℜ, Im = −1, 1,A=1, período=2π.
f)y = 1 + 2 cosx + π Resp.:D = ℜ, Im = −1, 3,A=2, período=2π.
6) Função exponencial:
Definição: é uma função real, com base a positiva e diferente de 1, definida por fx = ax
Exemplo 1: Esboce o gráfico de fx = 2x.
Exemplo 2: Esboce o gráfico de fx =  12 x.
1)
-4 -2 0 2 4
10
20
30
x
y
2)
-4 -2 0 2 4
10
20
30
x
y
Exemplo 3: Um determinado veículo automotivo tem seu valor depreciado de tal forma que após t anos de utilização
porde ser descrito pela função Vt = 15.000e−0,08t + 600.
a) Qual era o preço do veículo novo? Resposta: 15.600
b) Quanto o veículo valerá após 10 anos? Resposta: 7.339,93
Exemplo 4: A função exponencial natural fx = ex é um caso particular da função exponencial de base a qualquer. Veja
esta função na calculadora científica. Calcule alguns valores de x, inclusive x = 1.
Exemplo 5: Se o custo anual y de manutenção de um computador está relacionado com o seu uso mensal médio x (em
centenas de horas) pela equação y = 35.000 − 25.000e−0,02x, qual é o custo anual de manutenção, em reais para o uso
mensal médio de 200 horas? Resposta: R$ 10.980,26
7) Função Logarítmica:
Definição: A função logarítmica de base a, a ≥ 1, é uma função real, definida por fx = logax .
Exemplo 1: Esboce o gráfico da função fx = log2x.
Exemplo 2: Esboce o gráfico da função fx = log 1
2
x.
Exemplo 3: A função logarítmica natural fx = lnx é um caso particular da função logarítmica de base a qualquer,
12
porque lnx = logex. Veja esta função na calculadora científica. Calcule alguns valores de x, inclusive x = 1. Esboce o
gráfico.
Respostas:
1)
1 2 3 4 5
-2
0
2
x
y
2)
1 2 3 4 5
-2
0
2
x
y
3)
2 4 6 8 10
-4
-3
-2
-1
0
1
2
x
y
Propriedades:
1) lnA.B = lnA + lnB
2) ln AB  = lnA − lnB
3) lnAr = r lnA
4) se logax = y então ay = x
5 Mudança de base: logab =
log b
log a =
lnb
lna
Exemplo 4: Uma máquina tem depreciação exponencial dada pela fórmula V = V0eat. Sabendo que, em 1995, seu valor
era de R$ 14.500,00 e em 2004 era de R$ 9.800, calcule seu valor em 1997. Resposta: R$ 13.291,00
LISTA DE EXERCÍCIOS 5:
1) A taxa segundo a qual um funcionário do correio classifica a correspondência é função de sua experiência. Calcula-se
que o funcionário, após t meses de trabalho, consiga classificar Qt = 700 − 400e−0,5t cartas por hora.
a) Quantas cartas um funcionário novo conseguirá classificar por hora?
b) Quantas cartas um funcionário com 6 meses de experiência classificará por hora?
2) Quando certa máquina tem ’t’ anos de utilização, seu valor de revenda é calculado pela função Vt = 480e−t/5 + 400.
a) Qual era o preço da máquina nova?
b) Quanto a máquina valerá após 8 anos?
8) Função par: f−x = fx
Exemplos:
1) Função módulo: fx = |x| 2) Função quadrática: fx = x2
-4 -2 0 2 4
2
4
x
y
-4 -2 0 2 4
10
20
x
y
9) Função Ímpar: f−x = −fx
Exemplos:
13
1) Função identidade: fx = x 2) Função cúbica: fx = x3
-4 -2 2 4
-4
-2
2
4
x
y
-3 -2 -1 1 2 3
-20
-10
10
20
x
y
10) Função periódica: fx = fx + T = fx + 2T =. . .
Exemplo: As funções trigonométricas: função seno e função cosseno.
11) Função definida por partes:
Há funções que são definidas por mais de uma expressão.
Exemplo 1:
fx =
2x + 3 se x < 0
x2 se 0 ≤ x < 2
1 se x ≥ 2
-2 -1 1 2 3
-2
2
4
x
y
Exemplo 2: A função valor absoluto |x| = x se x ≥ 0
−x se x < 0
é uma função definida por duas sentenças.
LISTA DE EXERCÍCIOS 6:
1. A função degrau de Heaviside, H, é definida por Hx =
0 se x < 0
1 se x ≥ 0
. Construa seu gráfico.
2. Considerando a função H, definida acima, determine a função Hx − 1 e construa seu gráfico.
3. Represente graficamente a função g, definida por gx =
0 se x < 1
1 se 1 ≤ x < 2
2 se 2 ≤ x < 3
3 se 3 ≤ x < 4
4 se x ≥ 4
e determine:
a) g−1 b) g1 c) g2,5 d) g4 e) g5
4. Construa o gráfico da função h, definida por hx = |x2 − 4| − 3 e responda às seguintes questões:
a) Quais os zeros de h ?
14
b) Quais os valores de x que tornam hx um número positivo ?
c) Quais os valores de x que tornam hx um número negativo ?
Resposta: Gráfico
-4 -2 2 4
-2
2
4
6
8
10
x
y
12) Função Composta:
Dadas duas funções f e g, a função composta de f e g ,denotada por f ∘ g é definidapor
f ∘ gx = fgx
Exemplo 1: Dadas as funções fx = x e gx = x − 1, encontre a composição de funções f ∘ gx.
Resposta: f ∘ gx = fx − 1 = x − 1
Exemplo 2: A análise das condições da água de uma pequena praia indica que o nível médio diário de substâncias
poluentes presentes no local será de Qp = 0,6p + 18,4 unidades de volume, quando a população for p milhares de
habitantes. Estima-se que, daqui a t anos, a população seja de pt = 6 + 0,1t2 mil habitantes.
a) Expresse o nível de substâncias poluentes em função do tempo. Resposta: Qt = 22 + 0,06t2
b) Qual será o nível de substâncias poluentes daqui a 2 anos? Resposta: 4,72 unidades de volume
c) Em quanto tempo, aproximadamente, o número de substâncias poluentes será de 5 unidades de volume? Resposta: 7
anos.
13) Função Inversa:
Exemplo 1: Encontre a função inversa de fx = 2x.
Solução: escrevendo y = 2x, então reslvemos a equação para x, 2x = y  x = y/2. Finalmente, trocamos x por y
temos: y = x/2.
Exemplo 2: As funções exponencial y = ex e logarítmica y = lnx são inversas.
Observe que o gráfico da função inversa é obtido refletindo-se o gráfico de fx em torno da reta y = x.
Exemplo 1:
-4 -2 2 4
-10
-5
5
10
x
y
Exemplo 2:
-2 -1 1 2
-6
-4
-2
2
4
6
x
y
Exemplo 3: Encontre a função inversa de fx = x3 + 2.
Solução: Escrevendo y = x3 + 2, então resolvemos a equação para x, x3 = y − 2  x = 3 y − 2 . Finalmente,
trocamos x por y, obtemos y = 3 x − 2 .
LISTA DE EXERCÍCIOS 7:
1) Construa o gráfico das funções:
a) fx = 5/2 b)fx = 2x + 1 c)fx = 5 − 3x
d)fx = −x2 + 8x − 7 e)fx = 2x + 1 f)fx = lnx + 1
Respostas:
15
a)
-4 -2 0 2 4
2
3
x
y
b)
-3 -2 -1 1 2 3
-5
5
x
y
c)
-2 2 4
-5
5
x
y
d)
2 4 6 8
-5
0
5
10
x
y
e)
-4 -2 0 2
2
4
x
y
f)
-2 -1 1 2 3
-4
-2
2
x
y
2) Um ciclista, com velocidade constante, percorre uma trajetória retilínea conforme o gráfico:
-1 0 1 2
2
4
6
x
y
Em quanto tempo percorrerá 15 Km? Resposta: 6 min.
3) Escreva a função do 2o grau representada pelo gráfico:
-1 1 2 3 4 5
5
x
y
Resposta:fx = x2 − 4x + 3
4)O custo para a produção de x unidades de certo produto é dado por C = x2 − 40x + 1600. Calcule o valor do custo
mínimo. Resposta: C = 1200.
5) Dada a função fx = |x − 2| − 1, construa o gráfico e dê o conjunto imagem de f. Resposta: Imf = y ∈ ℜ\y  −1.
6) Um estudo das condições ambientais de certa cidade indica que a taxa de poluição do ar será cp = 0.4p + 1 partes
por milhão, quando a população for p milhares de habitantes. Imagina-se que a população, daqui a t anos, seja dada pela
função pt = 8 + 0.2t2 milhares.
a) determinar a função da poluição do ar em função do tempo.
b) calcule a taxa de poluição do ar daqui a 3 anos. Resp.: 4,92 partes por milhão/ano
c) quando a taxa de poluição do ar alcançará 6,2 partes por milhão? Resp.: 5 anos
16
7) Encontre uma fórmula para a função inversa.
a) fx = 10 − 3x , b) fx = ex3 , c) fx = lnx + 3, d) y = 2x2 + 2.
Resposta: a) f−1x = − 13 x2 + 103 . b) f−1x = 3 lnx c) f−1x = ex − 3, d) f−1x = x−22 .
3. Limites
O conceito de limite é o alicerce sobre o qual todos os outros conceitos do cálculo estão baseados. Usamos a palavra limite
no nosso cotidiano para indicar, genericamente, um ponto que pode ser eventualmente atingido mas que jamais pode ser
ultrapassado.
Exemplos:
a) Injetando ininterruptamente ar em um balão de borracha, haverá um momento em que ele estoura. Isso porque existe
um Limite de elasticidade da borracha.
b) Um engenheiro ao construir um elevador estabelece o Limite de carga que este suporta.
c) No lançamento de um foguete, os cientistas devem estabelecer um Limite mínimo de combustível necessário para que
a aeronave entre em órbita.
É importante ter em mente que o limite pode ser um ponto que nunca é atingido mas do qual pode-se aproximar tanto
quanto desejar. Iniciaremos por estudá-los de uma forma intuitiva.
Limites descrevem o que acontece com uma função fx à medida que sua variável x se aproxima de um número
particular a. Para ilustrar este conceito, vejamos alguns exemplos:
Exemplo 1: Suponha que você quer saber o que acontece com a função fx = x2 + x − 2
x − 1 à medida que x se aproxima de
1. Embora fx não esteja definida em x = 1, você pode obter uma boa idéia da situação avaliando fx em valores de x
cada vez mais próximos de 1 , tanto à esquerda quanto à direita. Isto pode ser feito através de uma tabela de valores.
x fx
0.9 2. 9
0.99 2. 99
0.999 2. 999
0.9999 2. 999 9
donde podemos concluir que, para valores próximos de 1, à sua esquerda, fx se aproxima do número 3 e escrevemos:
lim
x→1−
fx = 3 ,
lendo: “o limite de fx quando x tende a 1 pela esquerda é 3
De forma análoga, investigamos o limite à direita. Vejamos:
x fx
1.1 3. 1
1.01 3. 01
1.001 3. 001
1.0001 3. 0001
donde podemos concluir que, para valores próximos de 1, à sua direita, fx se aproxima também do número 3 e
escrevemos:
lim
x→1+
fx = 3 ,
lendo: “o limite de fx quando x tende a 1 pela direita é 3".
Concluimos que:
lim
x→1
fx = 3
Graficamente temos:
17
-4 -2 2 4
-4
-2
2
4
x
y
Observe que o gráfico da função fx = x2 + x − 2
x − 1 representado acima é uma reta com um ”buraco” no ponto (1,3).
No caso da função fx = x2 + x − 2
x − 1 , a qual concluimos que x→1
lim fx = 3 tabelando valores à esquerda e à direita de
1, este também pode ser determinado de forma algébrica, ou seja,
x→1
lim fx =
x→1
lim x
2 + x − 2
x − 1 = x→1
lim x + 2x − 1
x − 1 = x→1
lim x + 2 = 1 + 2 = 3
Propriedades:
1) O limite é único.
2) Se lim
x→a
fx = L e lim
x→a
gx = M existem e c é um número real qualquer, então:
a) lim
x→a
fx ± gx = lim
x→a
fx ± lim
x→a
gx = L ± M
b) lim
x→a
c. fx = c lim
x→a
fx = cL
c) lim
x→a
fxgx = lim
x→a
fx lim
x→a
gx = LM
d) lim
x→a
fx
gx =
lim
x→a
fx
lim
x→a
gx
= LM , para M ≠ 0
e) lim
x→a
fxn = lim
x→a
fxn = Ln
f) lim
x→a
c = c
LIMITES LATERAIS:
- Limite pela direita: - Limite pela esquerda:
lim
x→a+
fx lim
x→a−
fx
Teorema 1: Se os limites à direita e à esquerda são diferentes lim
x→a−
fx = A e lim
x→a+
fx = B, então o limite lim
x→a
fx não
existe.
Notamos que no exemplo 1 obtivemos para a função fx = x2 + x − 2
x − 1 ,os limites laterais iguais, isto é,
x→1−
lim fx = 3 =
x→1+
lim fx e por este motivo afirmamos que
x→1
lim fx = 3. Nem sempre isso ocorre. Vejamos um segundo
exemplo.
Exemplo 2: Dada a função fx = x + 1 se x < 3
6 se x ≥ 3
, cujo gráfico está representado a seguir
-6 -4 -2 2 4 6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
18
temos:
x→3−
lim fx = 4 e
x→3+
lim fx = 6 logo, conclui-se que ∄
x→3
lim fx, pois os limites laterais são distintos.
Exemplo 3: Dada a função fx = 1x , vamos verificar o comportamento da função quando tomamos valores próximos de
x = 0. Embora fx não esteja definida em x = 0, pode-se obter uma idéia da situação avaliando fx em valores de x
cada vez mais próximos de 0 , tanto à esquerda quanto à direita, como foi feito no exemplo 1, através de uma tabela,
x fx
−0.1 −10
−0.01 −100
−0.001 −1000
−0.0001 −10000
−0.00001 −100000
donde podemos concluir que, para valores próximos de 0, à sua esquerda, fx decresce indefinidamente (sem limitação)
e escrevemos:
lim
x→0−
fx = −∞ ,
De forma análoga, investigamos o limite à direita.
x fx
0.1 10
0.01 100
0.001 1000
0.0001 10000
0.00001 100000
donde podemos concluir que, para valores próximos de 0, à sua direita, fx cresce indefinidamente (sem limitação) e
escrevemos:lim
x→0+
fx = +∞
Concluimos então que ∄
x→0
lim fx , usando o argumento de que os limites laterais são distintos.
O gráfico da função fx = 1x está abaixo representado
-4 -2 2 4
-4
-2
2
4
x
y
Observação 1: Devemos enfatizar que os símbolos +∞ e − ∞, como usados aqui, descrevem uma maneira particular
na qual o limite não existe; eles não são limites numéricos e, conseqüentemente, não podem ser manipulados usando
regras de álgebra. Por exemplo, não é correto escrever +∞  − +∞  = 0.
Observação 2: Se lim
x→a
fx , onde a não é ponto crítico ( a0 , por exemplo) ou ponto de descontinuidade, então o limite
existe e é fa. Caso contrário, devemos calcular os limites laterais.
19
Exemplo 4: Determine, se existir, o limite de:
a) lim
x→1
x
x − 1
b) lim
x→−2
x2 − 9
x + 2 :
c) Calcule lim
x→0
fx onde fx = −1, se x = 0
x, se x ≠ 0
Teorema 2: (Limite no infinito) Se n ∈ N , então lim
x→±∞
1
xn
= 0
Teorema 3: (Limite Infinito) Se n ∈ N , então lim
x→0+
1
xn
= ∞ e lim
x→0−
1
xn
=
+∞, se n é par
− ∞, se n é ímpar
OBS.: Se n é par, lim
x→0+
1
xn
= lim
x→0−
1
xn
, então lim
x→0
1
xn
existe.
Se n é ímpar, lim
x→0+
1
xn
≠ lim
x→0−
1
xn
, então lim
x→0
1
xn
não existe.
Exemplo.: y = 1
x2
-2 -1 1 2
5
10
x
y
Expressões Indeterminadas:
0
0 ,
∞
∞ , ∞ − ∞, 0
0
,∞0, 1∞
LISTA DE EXERCÍCIOS 8:
1) Explique com suas palavras o significado da equação
é possível diante da equação anterior que f2 = 3? Explique.
2) Para a função cujo gráfico é dado, determine o valor solicitado se existir. Se não existir, explique por quê.
20
3) Para a função cujo gráfico é dado, determine o valor solicitado se existir. Se não existir, explique por quê.
4) Para a função cujo gráfico é dado, determine o valor solicitado se existir. Se não existir, explique por quê.
5) Dado que
21
Encontre se existir, o limite. Se não existir, explique por quê.
6) Calcule os limites:
a) lim
x→∞
2x − 5
x + 8 Resp.: 2
b) lim
x→−∞
2x3 − 3x + 5
4x5 − 2
Resp.: 0
c) lim
x→3
x2 − 9
x − 3 Resp.: 6
d) lim
x→1
x − 1
x − 1 Resp.: 1/2
e) lim
x→2
x3 − 4x
x3 − 3x2 + 2x
Resp.: 4
f) lim
x→9
x − 9
x − 3
Resp.: 6
g) lim
x→1
x2 + x − 2
x − 1 Resp.: 3
7) Calcule os limites:
a)lim
x→3
 x − 5
x3 − 7
 l)lim
t→∞
 t
2 − 2t + 3
2t2 + 5t − 3

b)lim
t→2
 t
2 − 5
2t3 + 6
 m) lim
x→−∞
 5x
3 − x2 + x − 1
x4 + x3 − x + 1

c)lim
r→1
8r + 1
r + 3 n)limx→3+
x
x − 3 , limx→3−
x
x − 3 , limx→3 
x
x − 3 
d)lim
x→1
 x
2 − 1
x − 1  o)limy→0 
1 − 1 + y
7y 
e)lim
x→0

x + 2 − 2
x  p)limt→0 
4 − t + 22
9 − t + 32

f)lim
x→0
|x|
x q)limx→−1
x2 + 3x + 2
x + 1 
g)lim
x→0
 x
3 − x
x  r)limx→0 
3x + 12 − 1
x3 − 3x

h)lim
x→∞
 2x − 1
x − 2  s)limx→1 
x − 1
x − 1 
i)lim
x→∞
 2x
x2 − 1
 t)lim
h→0

x + h2 − x2
h 
j)lim
x→∞
x2 − 10x + 1 u)lim
x→∞
 −x
3 + 3x2
x3 − 1

k)lim
x→−2
 x
3 − 3x + 2
x2 − 4
 v)lim
x→0+
|x|
x2
, lim
x→0−
|x|
x2
, lim
x→0
|x|
x2
Respostas do exercício 7)
22
a)− 110 i)0 q)1
b)− 122 j)+∞ r)−2
c) 32 k)− 94 s) 12
d)2 l) 12 t) 2x
e) 1
2 2
m)0 u)−1
f)∄ n)+∞,−∞,∄ v)+∞,+∞,+∞
g)-1 o)− 114
h)2 p) 23
4. Continuidade
Um grupo importante de funções de uma variável real é o das funções contínuas, isto é, funções que têm limite, em
cada ponto de seu domínio, igual ao valor da função no ponto. O gráfico uma função contínua não tem quebras, saltos ou
furos, ou seja, pode ser traçado sem levantar a ponta do lápis do papel.
Def.: Dizemos que uma função f é contínua no ponto a, se as seguintes condições forem satisfeitas:
i) f é definida no ponto a
ii) lim
x→a
fx existe
iii) lim
x→a
fx = fa
Se f não satisfizer alguma destas condições, dizemos que a função f é descontínua em a ou que f tem uma
descontinuidade no ponto a.
Dizemos que uma função f é contínua em um intervalo, se f for contínua em todos os pontos desse intervalo.
Exemplo 1: fx = 1
x + 1 é contínua em x = −1?
-4 -2 2 4
-4
-2
2
4
x
y
Exemplo 2: fx =
1
x2
, se x ≠ 0
1 , se x = 0
é contínua em x = 0 ?
-4 -2 2 4
2
4
x
y
Exemplo 3: Em qual dos seguintes intervalos fx = 1
x − 2
é contínua?
a) [ 2, ∞ b) (-∞, +∞ c) (2, ∞ d) [1 , 2]
Teorema: Todos os polinômios são contínuos para todo valor de x. Uma função racional é contínua em qualquer ponto
onde ela é definida, isto é, em todos os pontos, exceto naqueles para os quais um ou mais de seus denominadores se
23
anulam.
Exemplos: fx = x3 + 3x − 1
-4 -2 2 4
-100
-50
50
100
x
y
é função contínua para todo x.
Assíntota Vertical:
A linha reta vertical x = a é chamada de assíntota vertical do gráfico da função f se pelo menos uma das seguintes
condições for válida:
i) lim
x→a+
fx = +∞
ii) lim
x→a−
fx = +∞
iii) lim
x→a+
fx = −∞
iv) lim
x→a−
fx = −∞
Assíntota Horizontal:
A linha reta horizontal y = b é chamada de assíntota horizontal do gráfico de uma função f se pelo menos uma das
seguintes condições for válida:
lim
x→+∞
fx = b ou lim
x→−∞
fx = b.
Traçado de Gráficos de Funções Racionais:
1o Passo: Se a função racional é dada como uma soma de quociente de polinômios, reunimos os termos num único
quociente de polinômios, tomando o mínimo múltiplo comum.
2o Passo: Determinar lim
x→∞
fx e lim
x→−∞
fx. Se esses limites são um número finito L, então y = L é uma assíntota horizontal.
3o Passo: Determinar os valores de x para os quais o numerador da função é zero. São os pontos onde o gráfico intercepta
o eixo dos x.
4o Passo: Determinar os valores de x para os quais o denominador da função é zero, que é onde a função tende a ∞ ou −∞,
determinando uma assíntota vertical.
5o Passo: Os valores de x encontrados no 3o e 4o passos são os pontos onde a função pode mudar de sinal. Esses pontos
determinam os intervalos. Determinamos, então, se a função é positiva ou negativa em cada um desses intervalos,
calculando seu valor num ponto de cada intervalo.
Exemplo: Ache as assíntotas horizontais e verticais do gráfico da função f e trace-o:
1) fx = 3x
x − 1 2) fx =
2x2 − 1
2x2 − 3x
3) yx = x2
x + 2
4) yx = x2 + 1
x2 − 1
5) yx = 3x
x2 − 4
6) yx = 2x2
9 − x2
Respostas:
24
1)
-4 -2 2 4
5
x
y
2)
-4 -2 2 4
-2
2
4
x
y
3)
-6 -4 -2 2 4
-20
-10
10
x
y
4)
-4 -2 2 4
-5
5
x
y
5)
-4 -2 2 4
-2
2
x
y
6)
-6 -4 -2 2 4 6
-5
5
x
y
LISTA DE EXERCÍCIOS 9:
1) Dados os gráficos de f(x) e g(x) abaixo, estabeleça os números nos quais as funções são descontínuas e explique por
quê.
f(x) g(x)
2) Faça o gráfico e determine, se existirem, os valores de x nos quais a função fx é descontínua:
a)fx =
x
x2 − 1
,se x ≠ ±1
0 ,se x = ±1
b)fx = 0 ,se x ≤ 0
x ,se x > 0
c)fx =
x2 − 4
x + 2 ,se x ≠ −2
1 ,se x = −2
d)fx = x + 3 ,se x ≠ 3
2 ,se x = 3
e)fx = x
2 − 4 ,se x < 3
2x − 1 ,se x ≥ 3
f)fx =
x + 6 ,se x ≤ −4
16 − x2 ,se −4 < x < 4
6 − x ,se x ≥ 4
g)fx = 2x − 1 ,se x ≠ 2
0 ,se x = 2
h)fx =
|x|
x ,se x ≠ 0
1 ,se x = 0
i)fx =
1
x + 5 ,se x ≠ −5
0 ,se x = −5
Gráficos:
25
a)
-3 -2 -1 1 2 3
-4
-2
2
4
x
y
b)
-4 -2 0 2 4
2
4
x
y
c)
-4 -2 2 4
-6
-4
-2
2
x
y
d)
-4 -2 2 4
5
x
y
e)
-2 2 4
-5
5
10
x
y
f)
-4 -2 2 4
-2
2
4
x
y
g)
-4 -2 2 4
-5
5
x
y
h)
-4 -2 2 4
-2
-1
1
2x
y
i)
-6 -4 -2 2
-2
2
x
y
3) Faça o gráfico e determine, se existirem, os valores de x, nos quais a função é descontínua:
a) fx =
3 − x , se x < 1
4 , se x = 1
x2 + 1 , se x > 1
b) fx = x
2 − 1 ,se x < 1
4 − x ,se x ≥ 1
c) fx =
1
x + 1 , se x > −1
1 , se x = −1
x + 1 , se x < −1
d) gx =
3 − x2 , se x < 1
1 , se x = 1
x + 1 , se x > 1
e) gx =
1
x2 − 1
, se x ≠ ±1
0 , se x = ±1
f) fx = 3x − 1 ,se x ≤ 1
3 − x ,se x > 1
g) gx = 1
x2 − x
h) yx = x2
x2 − 4
i) yx = x2
x2 − x − 2
Gráficos:
26
a)
-2 -1 0 1 2 3
5
10
x
y
b)
-4 -2 2 4
5
10
x
y
c)
-4 -2 2 4
-2
2
4
x
y
d)
-3 -2 -1 1 2 3
-4
-2
2
4
x
y
e)
-4 -2 2 4
-4
-2
2
4
x
y
f)
-4 -2 2 4
-2
2
x
y
g)
-4 -2 2 4
-5
5
x
y
h)
-4 -2 2 4
-5
5
x
y
i)
-4 -2 2 4
-5
5
x
y
5. Derivadas
Taxa de Variação de uma Função (Seções 2.7 e 2.9 pág. 149 a 173 Cálculo, 5a edição, vol. 1, Stewart)
Taxa de variação média
Sejam x e y quantidades variáveis e suponha que y depende de x, tal que y = fx, onde f é uma função conveniente.
Para calcularmos a taxa de variação de y por unidade de variação de x naturalmente começaremos por considerar uma
variação em x, digamos △x. Esta variação em x provoca uma variação em y, digamos △y. Desta forma, podemos definir
taxa de variação média como: Tvm =
△y
△x
Exemplo 1:A tabela abaixo dá a população P dos EUA (em milhões de habitantes) no século XIX, a intervalos t de 10
anos.
1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 1870 1880 1890 1900
5,3 7,2 9,6 12,9 17,1 23,2 31,4 38,6 50,2 62,9 76, 0
a) Qual a taxa de variação média da população dos EUA no período que vai de 1800 a 1850?
b) Qual a taxa de variação média da população dos EUA no período que vai de 1840 a 1850?
Velocidade Média
Por exemplo, se numa viagem você dirigir 150km em 3h, então, dividindo 150km por 3h, conclui-se que você dirigiu,
em média, 50km em 1h, isto é 50km/h. Isto não lhe indica, por exemplo, que após 1h de viagem você tenha percorrido
exatamente 50km. Você pode ter parado num sinal de trânsito ou pode ter viajado a 55km/h !
Na tentativa de resolver matematicamente este problema, suponhamos que podemos descrever a distância percorrida
por um objeto como uma função do tempo. Isto é, para cada valor do tempo t podemos associar um número d que
representa a distância percorrida pelo objeto. Por exemplo, dt = 2t + 1 é uma função que descreve o movimento de um
objeto que se move ao longo de uma reta em termos do tempo t. Assim, se t for medido em segundos (seg) e d em metros
27
(m), então, após 2seg, o objeto está a 5m (d2 = 2. 2 + 1) ao longo da linha de movimento; 3seg mais tarde, isto é,
quandot = 5seg, o objeto está a 11m ao longo da linha de movimento (d5 = 2.5 + 1).
A velocidade média, Vm, de um objeto em movimento é a razão (ou taxa) entre a distância percorrida pelo objeto e o
tempo gasto para percorrer esta distância.
No exemplo dado, no intervalo de tempo que vai dos 2seg aos 5seg temos:
Vm = △d△t =
11 − 5
5 − 2 = 2m/s ou Vm =
dt + △t − dt
△t =
d2 + 3 − d2
5 − 3 = 2m/s.
Exercício: Sabendo que um objeto movimenta-se ao longo de uma linha, de acordo com a equação d = 3t − 2, faça uma
análise deste movimento, no intervalo de tempo que vai de 3seg a 7seg, determinando:
a) △t ; b) △d;
c) a velocidade média Vm do objeto quando este se desloca do ponto em que está aos 3seg do início do movimento, ao
ponto em que está aos 7seg.
Velocidade Instantânea
Consideremos, agora, o problema de determinar a velocidade de um objeto em movimento, num determinado instante t , o
que significa determinar sua velocidade instantânea. O que podemos fazer, é imaginar intervalos de tempo △t cada vez
menores, para que as velocidades médias correspondentes possam dar-nos informações cada vez mais precisas do que se
passa no instante t. Somos, assim, levados ao conceito de velocidade instantânea Vt (ou taxa de variação instantânea
do deslocamento), no instante t, como sendo o limite de Vm, quando △t tende a zero, isto é
Vt = lim
△t→0
dt + △t − dt
△t
Exemplo 3: Sabendo que um objeto movimenta-se ao longo de uma linha, de acordo com a equação d = 3t − 2,
determine a velocidade instantânea para t = 3seg.
Exemplo 4:Uma bola é lançada de uma ponte, para o alto, e sua altura, y (em metros), acima do solo, t segundos depois, é
dada por y = −5t2 + 15t + 12.
a) A ponte fica a que altura acima do solo?
b) Qual é a velocidade média da bola durante o primeiro segundo?
c) Obtenha um valor aproximado para a velocidade em t = 1seg.
d) Esboce um gráfico da função e determine a altura máxima atingida pela bola. Qual deve ser a velocidade no instante em
que a bola atinge o topo?
e) Use o gráfico para determinar o instante t em que a bola atinge sua altura máxima.
Coeficiente Angular da Reta Tangente a uma Curva
Para calcular o coeficiente angular da reta tangente a f em x0, tomamos a reta secante passando por P = x0, fx0 e
um segundo ponto Q = x, fx qualquer. Aproximando x de x0 , a reta secante se aproxima da reta tangente.
28
Temos o coeficiente angular da reta secante:
ms =
Δf
Δx
=
fx − fx0
x − x0 , para x ≠ x0. Então, ao x → x0, teremos o coeficiente angular da reta tangente:
m = lim
x→x0
fx − fx0
x − x0 desde que o limite exista e seja finito.
Mudança de variável: se x − x0 = Δx  x = Δx + x0.
Assim, fx − fx0x − x0 =
fΔx + x0 − fx0
Δx
E, ao x → x0, Δx → 0 :
dfx0
dx = limx→x0
fx − fx0
x − x0 = limΔx→0
fΔx + x0 − fx0
Δx
Exemplo: Considere a função fx = x2
a) determine o coeficiente angular da reta tangente à curva da f, no ponto 1,1;
b) determine a equação da reta tangente à curva da f, no ponto 1,1;
c) construa o gráfico da curva da f e da reta tangente determinada, num mesmo sistema de eixos.
Observação: O coeficiente angular da reta tangente a f em x0 representa a taxa de variação instantânea de f em x0,
também chamado de derivada de f em x0.
dfx0
dx = limΔx→0
Δf
Δx
= lim
Δx→0
fΔx + x0 − fx0
Δx
. chamada fórmula de Leibniz.
Notações para a Derivada:
y ′, f ′x, Dxfx, Dxy, dfxdx ou
dy
dx .
Exemplos: Usando a fórmula de Leibniz, calcule a derivada das funções
1) fx = 2x + 1 em x = 2 :
2) fx = x2 em x = 1 : E em x = 2 ?
3) fx = 3x2 + 12 , em x = 2.
OBS.: Funções deriváveis são contínuas, mas nem toda função contínua é derivável.
Exemplo.: Usando a primeira fórmula estudada, calcule a derivada da função abaixo em x = 2 :
fx = 7 − x , se x > 2
3x − 1 , se x ≤ 2
A Derivada Como Uma Função:
Se considerarmos a derivada de f em x e fizermos x variar, obtemos a função derivada dfdx , onde
dfx
dx é o coeficiente
angular da reta tangente ao gráfico de f no ponto x, fx. dfxdx = limΔx→0
fx + Δx − fx
Δx
, obtida substituindo x0 por x.
Exemplo 1: Calcule a derivada de fx = 1x para x ≠ 0 :
Exemplo 2: Calcule a derivada de fx = 3x2 − 4 :
LISTA DE EXERCÍCIOS 10
1) Uma partícula move-se ao longo de uma reta horizontal, onde s cm é a distância orientada da partícula a partir do
ponto 0 em t segundos. Ache a velocidade instantânea vt cm/s em t segundos e então ache vt1 para o valor de t1 dado:
a) s = 3t2 + 1; t1 = 3 Resp.: 6t; 18
b) s = 14t ; t1 =
1
2 Resp.: −
1
4t2
;−1
29
c) s = 2t3 − t2 + 5; t1 = −1 Resp.: 6t2 − 2t; 8
d) s = 2t4 + t ; t1 = 0 Resp.:
8
4 + t2
; 12
2) Um objeto cai do repouso de acordo com a equação s = −16t2, onde s cm é a distância do objeto ao ponto de partida
em t segundos e o sentido positivo é para cima. Se uma pedra cai de um edifício com 256 cm de altura, ache
a) a velocidade instantânea da pedra 1s. depois de iniciada a queda; Resp.: −32 cm/s
b) a velocidade instantâneada pedra 2s. depois da queda; Resp.: −64 cm/s
c) quanto tempo leva para a pedra atingir o solo? Resp.: 4s
d) a velocidade instantânea da pedra quando ela atinge o solo. Resp.: −128 cm/s.
3) Uma bola de bilhar é atingida e movimenta-se em linha reta. Se s cm for a distância da bola de sua posição inicial após t
segundos, então s = 100t2 + 100t. Com qual velocidade a bola atingirá a tabela da posição inicial que está a 39 cm?
Resp.: 160 cm/s.
4) Se uma bola for impulsionada de tal forma que ela adquira uma velocidade inicial de 24 cm/s ao descer um certo plano
inclinado, então s = 24t + 10t2, onde o sentido positivo é o de descida do plano inclinado.
a) Qual será a velocidade instantânea da bola em t1 s.? Resp.: 24 + 20t1.
b) Quanto tempo levará para que a velocidade aumente para 48 cm/s? Resp.: 1,2 s.
5) Uma frente fria aproxima-se de uma região. A temperatura é T graus t horas após a meia-noite e
T = 0,1400 − 40t + t2 , 0 ≤ t ≤ 12.
a) Ache a taxa de variação média de T em relação a t entre 5h e 6h: R.: T=-2,9 graus/h
b) Ache a taxa de variação de T em relação a t às 5h: R.: -3 graus/h.
6) Uma bola é atirada verticalmente para cima a partir do chão, com velocidade inicial de 64 m/s. Se o sentido positivo da
distância do ponto de partida é para cima, a equação do movimento é s = −16t2 + 64t com t em segundos e s em metros.
a) Ache a velocidade instantânea da bola ao fim de 1s. R.: 32 m/s
b) Quantos segundos a bola leva para atingir o seu ponto mais alto? R.: 2 s
c) Qual a altura máxima atingida pela bola? R.: 64 m
d) Decorridos quantos segundos a bola atinge o solo? R.: 4 s
e) Ache a velocidade instantânea da bola quando ela chega ao chão. R.: -64 m/s.
Regras de Diferenciação (Capítulo 3 pag. 183, 5a edição, Cálculo Vol.1 James Stewart)
Derivada de funções polinomiais e exponenciais (seção 3.1 pag. 183)
Derivada da função constante:
d
dx c = 0
Derivada da potência de x :
d
dx x
n = n.xn−1, onde n ∈ Q
Derivada do produto de uma constante por uma função:
d
dx cv = c.
d
dx v
Derivada da soma ou diferença de funções:
d
dx u + v =
d
dx u +
d
dx v
Derivada da função Exponencial Natural:
30
d
dx e
x = ex
Derivada da função Logaritmo:
d
dx logax =
1
x lna ;
d
dx lnx =
1
x
Regra da Potência
d
dx a
x = ax lna
Exemplo: yx = 2x.
Solução: ddx 2
x = 2x ln2 = 2x. 0. 69
LISTA DE EXERCÍCIOS 11
Exercícios ímpares 3 ao 35, seção 3.1 pag. 191 do livro texto.
Respostas exercícios ímpares
31
Regra do Produto e do Quociente (seção 3.2 pag. 192)
Regra do produto: Se as funções f e g têm derivadas em x, então seu produto também tem derivada e vale:
d
dx fx. gx = fx
d
dx gx + gx
d
dx fx
Exemplo: ddx x
3 + 3x − 14x
1
2 − 6
Regra do quociente: Se as funções f e g têm derivadas em x e se gx não é zero, então o quociente fxgx também tem
uma derivada em x e vale:
d
dx 
fx
gx  =
gx dfxdx − fx
dgx
dx
gx2
Exemplo: Calcule a derivada de ddx 
x2
2x − 1  :
LISTA DE EXERCÍCIOS 12
1) Usando a definição de derivada (fórmula de Leibniz), calcule as seguintes funções:
a)fx = 2x2 + x, em x = 3 Resp.: f ′3 = 13
b)gx = 1
x + 2 , em x = 5 Rep.: g
′5 = − 149
c)hx = x + 5 , em x = 4 Resp.: h ′4 = 16
d)fx = − x24 Resp.: f
′x = − x2
e)fx = 5x − 3 Resp.: f ′x = 5
f)gx = x2 Resp.: g ′x = 2x
2) Calcule a derivada, usando a regra adequada:
1) yx = 5x3 − 6x2 + 7x Resp.: y ′x = 15x2 − 12x + 7
2) yx = x7 + 3x2 − 15 Resp.: y ′x = 7x6 + 6x
3) yx = 1x − 2x2 +
3
x3
Resp.: y ′x = − 1
x2
+ 4
x3
− 9
x4
32
4) yx = x + 2 Resp.: y ′x = 12 x
−
1
2
5) yx = x
2
3 − 3x
1
3 Resp.: y ′x = 23 x
−
1
3 − x
−
2
3
6) yx = 2 3 x − 3x Resp.: y ′x = 23 x
−
2
3 − 3
7) yx = 1 − x2
1 + x2
Resp.: y ′x = − 4x
1 + x22
8) yx = x2 + x + 1
1 − x3
Resp.: y ′x = x
4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 1
1 − x32
9) yx = x + 2
x − 3
Resp.: y ′x = − 3 − 2
x − 3 2
10) yx =  23 x
3 − x2x
1
2 + 2x Resp.:y ′x =  23 x
3 − x2 12 x
−
1
2 + 2 + 2x2 − 2xx
1
2 + 2x
Derivada de Funções Trigonométricas:(seção 3.4, pág. 210)
d
dx senx = cos x
d
dx tanx = sec
2x
d
dx cos x = −senx
d
dx cos secx = −cos secxcotx
d
dx tanx = sec
2x ddx secx = secx tanx
Exemplos
a) Diferencie y = x2senx.
b) Um objeto na extremidade de um mola vertical é esticado 4 cm além de sua posição no repouso e solto no instante
t = 0. Sua posição no instante t é s = ft = 4cos t. Encontre a velocidade no instante t e use-a para analisar o movimento
do objeto.
LISTA DE EXERCÍCIOS 13
Exercícios ímpares 1 ao 15, seção 3.4 pág. 215 do livro texto.
Respostas
33
Regra da Cadeia (para funções compostas, seção 3.5 pag. 217):
Na última unidade vimos como diferenciar polinômios e funções racionais. Mas, frequentemente, precisamos
diferenciar potências dessas funções. Por exemplo, se y = fx2, da derivada do produto de funções, dá
dy
dx =
d
dx fx. fx
= fx. f ′x + f ′x. fx
e, agrupando os termos, obtemos:
dy
dx = 2fxf ′x.
É surpresa que a derivada de fx2 não seja simplesmente 2fx, como poderíamos esperar por analogia com a
fórmula (2.2.2) Dxxn  = nxn−1, com n = 2? Há um fator adicional, f ′x, cuja origem pode ser explicada escrevendo-se
g = fx2, na forma
g = u2 com u = fx .
Então
dg
dx =
d
dx fx
2
,
dg
du = 2u = 2fx e
du
dx = f
′x ,
de modo que a forma da derivada na equação toma a forma
d
dx gux =
d
du gu.
d
dx ux
A equação acima - a regra da cadeia - é válida para duas funções diferenciáveis quaisquer y = gu e u = fx. Neste
caso, u ′x é chamada derivada da função interna.
Exemplo 1:
Se
y = 3x + 517 ,
não seria prático achar o desenvolvimento binomial da 17a potência de 3x + 5. O resultado seria um polinômio com 18
termos e alguns coeficientes teriam até 14 algarismos! Mas, se escrevermos
y = u17 com u = 3x + 5 ,
então
dg
du = 17u
16 e dudx = 3 .
Assim, a regra da cadeia fornece
34
d
dx 3x + 5
17 =
dy
dx =
dy
du .
du
dx = 17u
16 . 3
= 173x + 516. 3 = 513x + 516 .
Exemplo 2: a) yx = x2 + 4 , b) yx = x2x3 + 2x10, c) yx = 3x
x2 + 7
9
d) y = e2x e)
y = ln2x2
f) y = e−3x3x2 + 13 Resposta.: y ′ = −3e−3x3x2 + 13 + 18xe−3x3x2 + 12
A Regra da Cadeia para as funções trigonométricas
Se u = fx então:
d
dx senu = cos u. Dxu
d
dx cotgu = −cos ec
2u.Dxu
d
dx cos u = −senu.Dxu
d
dx secu = secu. tgu.Dxu
d
dx tgu = sec
2u.Dxu ddx cos ecu = −cos ecu. cotgu.Dxu
Exemplos: Calcule a derivada de:
1) y = cos2x R.: y ′ = −2cos xsenx
2) y = sen34x R.: y ′ = 12sen24xcos4x
LISTA DE EXERCÍCIOS 14
Exercícios ímpares 7 ao 35, seção 3.5 pag. 223 do livro texto.
 
35
 
Respostas
 
Diferenciação Implícita (seção 3.6, pág. 226)
Até agora, nossas funções envolvendo duas variáveis foram expressas, de maneira geral,na forma explícita y = fx.
Em outras palavras, uma das duas variáveis era dada isolada em função de outra. Por exemplo,
y = 3x − 7, s = −16t2 + 20t, u = 3cos w
estão todas escritas em forma explícita, e dizemos que, y, s e u são funções de x, t e w, respectivamente. Muitas funções,
no entanto, não são dadas de forma explícita, sendo definidas apenas implicitamente por determinada equação. Por
exemplo, a função y = 1x pode ser definida implicitamente pela equação xy = 1. Suponha que você quer achar
dy
dx
nessa equação. Acontece que isso é, de fato, razoavelmente simples, e você provavelmente começaria resolvendo a
equação para y (isto é, isolando y).
Forma implícita Forma explícita Derivada
xy = 1 y = 1x = x
−1 dy
dx = −x
−2 = −1
x2
36
Esse método funciona bem quandoé fácil isolar a variável dependente. No entanto, não podemos usá-lo nos casos em que
não sabemos isolar y como função de x. Por exemplo, como encontrar dydx na equação
x2 − 2y3 + 4y = 2
onde é difícil expressar y como função de x explicitamente? Para fazer isso, usamos diferenciação implícita, onde
supomos que y é uma função de x.
Para entender como encontrar dydx implicitamente, você precisa compreender que a derivação está sendo feita em relação
a x. Isso significa que, ao derivar termos envolvendo apenas x, derivamos como de hábito. Mas, ao derivar termos
envolvendo y, precisamos usar a Regra da Cadeia, já qie estamos supondo que y está definido, implicitamente, como
função de x.
Estude os próximos exemplos com atenção. Note, em particular, como a Regra da Cadeia é utilizada para introduzir o
termo dydx .
Exemplo 1:
Encontre dydx dado que y
3 + y2 − 5y − x2 = −4.
1. Derive ambos os lados da equação em relação a x. Não deixe de lembrar que, ao derivar termos que contém y, devemos
aplicar a Regra da Cadeia.
d
dx y
3 + y2 − 5y − x2  = ddx −4
d
dx y
3  + ddx y
2  − ddx 5y −
d
dx x
2  = ddx −4
3y2 dydx + 2y
dy
dx − 5
dy
dx − 2x = 0
2. Junte os termos contendo dydx no lado esquerdo da última equação obtida.
3y2 dydx + 2y
dy
dx − 5
dy
dx = 2x
3. Fatore dydx do lado esquerdo da equação.
dy
dx 3y
2 + 2y − 5 = 2x
4. Isole dydx na última equação.
dy
dx =
2x
3y2 + 2y − 5
Observações:
1.Note, que a diferenciação implícita produz uma expressão para dydx que contém x e y.
Exemplo 2:
Determine a inclinação da reta tangente ao gráfico de 3x2 + y2 2 = 100xy no ponto 3,1.
Para obter a inclinação pedida, vamos determinar dydx . Para maior praticidade, trocaremoa a notação
dy
dx por y
′
.
3x2 + y2 2 ′ = 100xy ′
32x2 + y22x + 2yy ′ = 100xy ′ + y1
12xx2 + y2 + 12yx2 + y2y ′ = 100xy ′ + 100y
12yx2 + y2y ′ − 100xy ′ = 100y − 12xx2 + y2
y ′12yx2 + y2 − 100x = 100y − 12xx2 + y2
y ′ = 100y − 12xx
2 + y2
12yx2 + y2 − 100x
37
Logo, a inclinação da tangente no ponto 3, 1 é:
m3, 1 = 1001 − 1233
2 + 12 
12132 + 12  − 1003
= 139 .
A curva 3x2 + y2 2 = 100xy dada neste exemplo é chamada lemniscata
-3
-2
-1
0
1
2
3
y
-3 -2 -1 1 2 3
x
Exemplo 3:
Determine dydx para senxy = 2x + 5.
derivando toda expressão senxy ′ = 2x + 5 ′, obtemos cosxyxy ′ + y. 1 = 2, depois isolamos y ′.
cosxyxy ′ + ycosxy = 2
xcosxy.y ′ = 2 − ycosxy
y ′ = 2 − ycosxy
xcosxy
Exercícios:
1 Encontre dydx dado que x
2 − 2y3 + 4y = 2.
2 a) Se x2 + y2 = 25, encontre dydx ;
b) Encontre uma equação tangente ao círculo x2 + y2 = 25 no ponto 3,4.
Derivada das funções trigonométricas inversas (pág. 231)
A função inversa da função seno é dada por:
y = sen−1x significa seny = x. Diferenciando seny = x implicitamente em relação a x obtemos cos y. dydx = 1 oudy
dx =
1
cos y .
Agora, usando a identidade triginimétrica cos2x + sen2x = 1 obtemos:
cos y = 1 − sen2y = 1 − x2 .
Portanto, ddx sen
−1x =
dy
dx =
1
cos y =
1
1 − x2
A fórmula para a derivada da função arco tangente é deduzida de forma similar.
y = tan−1x significa tany = x. Diferenciando tany = x implicitamente em relação a x obtemos sec2y. dydx = 1 ou
dy
dx =
1
sec2y
.
Agora, usando a identidade triginimétrica sec2x − tan2x = 1 obtemos:
sec2y = 1 + tan2y = 1 + x2.
Portanto, ddx tan
−1x =
dy
dx =
1
sec2y
= 1
1 + x2
.
38
LISTA DE EXERCÍCIOS 15
Ache dydx por derivação implícita:
1) x2 + y2 = 16 R. : dydx = −
x
y
2) x3 + y3 = 8xy R. : dydx =
8y − 3x2
3y2 − 8x
3) 1x + 1y = 1 R. :
dy
dx = −
y2
x2
4) x + y = 4 R. : dydx = −
y
x
5) x2y2 = x2 + y2 R. : dydx =
x1 − y2
yx2 − 1
6) y = sen−12x + 1 R. : dydx =
1
−x2 − x
7) y = cos−1e2x R. : dydx =
−2e2x
1 − e4x
Derivadas Superiores (Seção 3.7, pág. 235)
Derivada Segunda ou de Ordem 2:
A derivada segunda de uma função fx é a derivada de sua derivada (primeira) f ′x.
Notação: f"x = d
2fx
dx2
= ddx
dfx
dx
Exemplo 1: Calcule a derivada segunda de fx = x5 − 2x.
Derivadas de ordem superior:
Seja f uma função derivável: f ′ é a derivada primeira de f
f ′′ é a derivada segunda de f
f ′′′ é a derivada terceira de f
fn é a derivada enésima de f.
Exemplo 2: Ache todas as derivadas da função fx = x4 + x3 − x2 + 7.
Exemplo 3: Calcule d
3
dx3
2sinx + 3cos x − x3 :
Aceleração Instantânea:
É a taxa de variação instantânea da velocidade. Se v (velocidade) é dada em cm/s, a (aceleração) será dada em cm/s2.
v = dsdt e a =
dv
dt ou a =
d2s
dt2
Exemplo 4: Uma partícula está se movendo ao longo de uma reta horizontal, de acordo com a equação s = 1t − 2 t − 1 .
Ache a velocidade e a aceleração em função do tempo t.
Resposta: v = − 1
t2
− t − 1
−
1
2 e a = 2
t3
+ 12 t − 1
−
2
3 .
LISTA DE EXERCÍCIOS 16
1) Calcule a derivada segunda das seguintes funções:
39
1.1) yx = x6 Resp.: y ′′x = 30x4
1.2) yx = 2x Resp.: y ′′x = 4x3
1.3) yx = x4 − 3x3 + 2x + 1 Resp.: y ′′x = 12x2 − 18x
1.4) yx = exp−x Resp.: y ′′x = exp−x
1.5) yx = 1 − x3 Resp.: y ′′x = 61 − x
2) Ache f4x se fx = 2
x − 1 . Resp.: f
4x = 48
x − 15
3) Ache f5x se fx = cos2x − sin2x. Resp.: f5x = −32sin2x + cos2x
4) Dada x2 + y2 = 1, mostre que d
2y
dx2
= − 1
y3
.
5) Dada x2 + 25y2 = 100, mostre que d
2y
dx2
= − 4
25y3
.
6) Dada x3 + y3 = 1, mostre que d
2y
dx2
= − 2x
y5
.
7) Uma partícula está se movendo ao longo de uma reta horizontal, de acordo com a equação dada. Ache a velocidade e a
aceleração em função do tempo t.
a) s = 16 t
3 − 2t2 + 6t − 2 Resp.: v = t
2
2 − 4t + 6;a = t − 4
b) s = 12516t + 32 −
2
5 t
5 Resp.: v = − 2000
16t + 322
− 2t4;a = 64000
16t + 323
− 8t3
c) s = 9t2 + 2 2t + 1 Resp.: v = 18t + 22t + 1−
1
2 ;a = 18 − 22t + 1
−
3
2
d) s = 49 t
3
2 + 2t
1
2 Resp.: v = 23 t
1
2 + t
−
1
2 ;a = 13 t
−
1
2 − 12 t
−
3
2
8) Exercícios ímpares 1 ao 20, seção 3.7, pág. 239 do livro texto.
1) e 3) identifique fx, f′x e f”x
5 ao 20 Calcule a derivada primeira e segunda das seguintes funções
40
Respostas
Derivada de funções logaritmicas (seção 3.8, pág. 242)
d
dx logax =
1
x lna .
Demonstração: Se y = logax, então ay = x. Derivando a equação implicitamente com respeito a x, tem-se
aylna dydx = 1, 
dy
dx =
1
ay lna =
1
x lna .
Exemplo 1: Diferencie y = lnx3 + 1. Resposta: 3x
2
x3 + 1
.
Diferenciação Logarítmica
Passos:
1) Tome o logaritmo natural em ambos os lados de uma equação y = fx e use as propriedades dos logaritmos para
simplificar.
2) Diferencie implicitamente em relação a x.
41
3) Resolva a equação resultante para y ′.
Exemplo 2: Diferencie y = x
3/4 x2 + 1
3x + 25
. Resposta: y 34x +
x
x2 + 1
− 153x + 2 .
Exemplo 3: Diferencie y = x x .
Solução: Use a diferenciação logaritmica:
lny = lnx x = x lnx e derive implicitamente
Resposta: y ′ = x x 2 + lnx
2 x
.
LISTA DE EXERCÍCIOS 17
Excercícios: seção 3.8, pág. 247, exercícios 3 ao 20 do livro texto.
Calcule as derivadas usando as regras adequadas
 
Respostas
 
Funções Hiperbólicas (seção 3.9, pág. 248)
Certas combinações das funções exponenciais ex e e−x surgem frequentemente em aplicações da matemática e, por isso,
merecem nomes especiais. Elas são análogas às funções trigonométricas e possuem a mesma relação com a hipérbole que
42
as funções trigonométricas têm com o círculo. Por isso são chamadas funções hiperbólicas, particularmente seno
hiperbólico, cosseno hiperbólico e assim por diante.
Definições:
senhx = e
x − e−x
2 cossechx =
1
senhx
coshx = e
x + e−x
2 sechx =
1
coshx
tghx = senhx
coshx cotghx =
coshx
senhx
Gráficos: senhx, coshx e tanhx.
-4 -2 2 4
-50
50
x
y
-4 -2 0 2 4
20
40
60
x
y
-4 -2 2 4
-1
1
x
y
A aplicação mais famosa é o uso do cosseno hiperbólico para descrever a curva formada por um fio suspenso entre dois
pontos, chamada função catenária, y = c + acoshx/a.
Derivadas de funções Hiperbólicas
d
dx senhx = coshx
d
dx cos sechx = −cos sechxcothx
d
dx cos hx = senhx
d
dx sechx = − sechx tanhx
d
dx tanhx = sech
2x ddx cothx = −cos sech
2x
LISTA DE EXERCÍCIOS 18
Exercícios ímpares 30ao 47, seção 3.9, pág. 254 do livro texto.
Enconte a derviada das seguintes funções hiperbólicas
43
Respostas
6. Aplicações da derivada
Taxas Relacionadas (seção 3.10, pág. 255)
São problemas envolvendo taxas de variação de variáveis que estão relacionadas.
Exemplo 1: Uma escada com 10 u.c. (unidades de comprimento) está apoiada numa parede vertical. Se o pé da escada for
puxado horizontalmente, afastando-se da parede a 1 u.c. por segundo, qual a velocidade com que a escada está deslizando
para baixo na parede, quando seu pé está a 6 u.c. da parede? (Resp. − 34 u. c/s Exemplo 2 pág. 256).
Exemplo 2: Um tanque tem a forma de um cone invertido com 4 m. de altura e uma base com 2 m. de raio. A água flui no
tanque a uma taxa de 2 m3/min. Com que velocidade o nível da água estará se elevando quando sua profundidade for de 3
m.? (Exemplo 3, pág. 256).
( Use as relações: Volume do cone = πr2h3 e
r
h =
2
4 )
Exemplo 3: Dois carros estão se encaminhando em direção a um cruzamento, um seguindo a direção oeste a 50 mi/h e o
outro seguindo a direção norte a 60 mi/h. Qual a taxa segundo a qual eles se aproximam um do outro no instante em que o
primeiro carro está a 0,3 mi do cruzamento e o segundo a 0,4 mi? (Exemplo 4 pág. 257). Resp: -78 mi/h.
44
LISTA DE EXERCÍCIOS 19
1.Duas variáveis x e y são funções de uma variável t e estão relacionadas pela equação: y2 − 3xy + x2 = 25. Se a taxa de
variação de x em relação a t é igual a 1 quando x = 0, então determine qual a taxa de variação de y em relação a t neste
mesmo instante.
RESPOSTA: y ′ = 32 .
2. Uma escada de 6m de comprimento está apoiada em uma parede vertical. Se a base da escada começa a escorregar
horizontalmente à taxa constante de 0,6 m/s, com que velocidade o topo da escada percorre a parede quando ele está a 4m
do solo.
RESPOSTA: −3 510 m/s.
3. Às 8h o navio A está a 25 km ao sul do navio B. Se o navio A está navegando para o oeste à 16km/h e o navio B está
navegando para o sul a 20km/h então determine a razão em que a distância entre os navios está variando às 8h30min.
RESPOSTA: −172/17Km/h.
4. Um tanque tem a forma de um cone circular reto invertido, com 4m de altura e raio da base 2m. Se a água entra no
tanque à razão de 0,001m3/min, calcule a razão em que o nível de água está subindo quando a altura é 1m.
RESPOSTA: 4/1000 m/min.
5. Ao ser aquecida uma chapa circular de metal, seu diâmetro varia à razão de 0, 01cm/min. Determine a taxa à qual a
área de uma das faces varia quando o diâmetro é 30cm. (A = πr2
RESPOSTA:0,15π cm2/min.
6. Suponha que uma bola de neve esteja se derretendo, com raio decrescendo à razão constante, passando de 30cm para
20cm em 45 minutos. Qual a variação do volume quando o raio está com 25cm. ( V = 43 πr3
RESPOSTA:-5000π/9 cm3/min.
7. Uma pessoa que solta um papagaio segura a corda a 1, 5m do solo. A corda é liberada à razão de 0, 6m/s na medida em
que o papagaio se move horizontalmente a uma altura de 33,5m. Supondo que a corda fique sempre tensa, determine a
taxa à qual o papagaio está se movendo no instante em que foram liberados 38m de corda. RESPOSTA:1,112 m/s
Diferencial (pág. 264)
Estudaremos agora a relação entre o incremento Δy e a derivada. Isto ocorre quando precisamos fazer uma estimativa
da variação em fx devida a uma variação em x. A variação em x (variável independente) é chamada de incremento Δx,
isto é, x varia de x para x + Δx. A variação em y (variável dependente), onde y = fx , é chamada de incremento Δy, para
obtê-lo devemos subtrair o valor inicial de y de seu novo valor:
Δy = fx + Δx − fx
Vejamos, agora, qual a alteração que ocorre no valor de y, se este continuasse a variar à taxa fixa f ′x, enquanto o
valor da variável independente passa de x para x + Δx. A esta alteração de y, chamaremos de diferencial de y e
representaremos por dy:
dy = f ′xΔx ou dy = f ′xdx
Note que dy é uma função linear, por isso é chamada aproximação linear do incremento Δy.
Exemplo 1: Comparando Δy e dy Considere a função fx = x2. Encontre:
a) dy quando x = 1 e dx = 0, 01; b) Δy quando x = 1 e Δx = 0,01; c) compare dy e Δy.
Exemplo 2: O raio de uma esfera tem 21 cm, com um erro de medida possível de no máximo 0,05 cm. Qual é o erro
máximo cometido ao usar esse valor de raio para computar o volume da esfera (V = 43 πr3? Resposta: 277 cm3.
Nota: Embora o erro possível possa parecer muito grande, uma idéia melhor dele é dada pelo erro relativo, que é
computado dividindo-se o erro pelo volume total. No caso do exemplo anterior:
45
ΔV
V ≈
dV
V = 3
dr
r
Assim, o erro relativo no volume é cerca de três vezes o erro relativo no raio. No exemplo 3, o erro relativo no raio é
aproximadamente drr =
0,05
21 ≈ 0,0024 e produz um erro relativo de cerca de 0,007 no volume. Os erros também
podem ser expressos como erros percentuais de 0,24% no raio e 0,7% no volume.
LISTA DE EXERCÍCIOS 20
1) a) encontre a diferencial dy e b) calcule dy para os valores dados de x e dx.
a) y = x2 + 2x, x = 3, dx = 1/2. Resp.: b) dy = 4.
b) y = ex/4, x = 0, dx = 0,1. Resp.: b) dy = 0,025.
c) y = 4 + 5x , x = 0, dx = 0,04. Resp.: dy = 0,05.
d) y = 1/x + 1, x = 1, dx = −0,01. Resp.: dy = 0,0025.
2) Use as diferenciais para estimar o número dado.
a) 2,0015 Resp.: 32,08.
b) 8,062/3 Resp.: 4,02.
c) 99,8 Resp.: 9,99.
3) A aresta de um cubo tem 30 cm, com um possível erro de medida de 0,1 cm. Use diferencias para estimar o erro
máximo possível, o erro relativo e o erro percentual ao computar
a) o volume do cubo. Resposta: 270 cm3, 0,01, 1%.
b) a área da superfície do cubo. Resposta: 36 cm2, 0,006, 0,6%.
4) O raio de um disco circular é 24 cm, com um erro possível de 0,2 cm.
a) Use diferenciais para estimar o erro máximo na área do disco calculado. Resp. : 9,6π.
b) Qual o erro relativo e o erro percentual? Resp. : 0.016; 1,6%.
Formas Indeterminadas e a Regra de L’Hôspital
Se lim
x→a
fx = 0 = lim
x→a
gx , diz-se que o quociente fxgx tem a forma indeterminda
0
0 em x = a.
Se lim
x→a
fx = ∞ = lim
x→a
gx , diz-se que o quociente fxgx tem-se a forma indeterminada
∞
∞ em x = a.
Outras formas indeterminadas podem aparecer quando se quer calcular o limite. Resumindo, são 7 as formas
indeterminadas
0
0 ,
∞
∞ , ∞ − ∞, 1
∞
, 00, ∞0, 0 ⋅ ∞.
Primeira Regra de L’Hôspital
Sejam f e g funções deriváveis num intervalo aberto I, exceto possivelmente em um número a em I. Suponha que, para
todo x ≠ a em I, g′x ≠ 0.
Então, se lim
x→a
fx = 0 = lim
x→a
gx e se lim
x→a
f ′x
g ′x
= L , então, lim
x→a
fx
gx
= L.
Observação: A regra também é valida se a ou L forem substituidos por +∞ ou −∞ .
Exemplo 1: Calcule lim
x→0
sen2x
x .
Solução: Temos uma forma indeterminada 00 . Agora, limx→0
d
dx sen
2x
d
dx x
= limx→0 2 cosx2 x = 0.
Logo, pela primeira regra de L’Hôspital, lim
x→0
sen2x
x = 0 .
46
Exemplo 2: Calcule lim
x→0
ex − e−x
senx
.
Solução: Novamente, temos a forma indeterminada 00 e limx→0
d
dx e
x − e−x 
d
dx senx
= lim
x→0
ex + e−x
cosx
= 2
Logo, pela primeira regra de L’Hôspital, lim
x→0
ex − e−x
senx
= 2.
SegundaRegra de L’Hôspital
Sejam f e g funções deriváveis num intervalo aberto I, exceto possivelmente em um número a em I. Suponha que, para
todo x ≠ a em I, g′x ≠ 0.
Então, se lim
x→a
fx = ∞ ou −∞ , lim
x→a
gx = ∞ ou −∞ e se lim
x→a
f ′x
g ′x
= L , então, lim
x→a
fx
gx
= L.
Observação: Os números a e L podem ser ∞ ou −∞ .
Exemplo 1: Calcule lim
x→0+
x lnx
Solução: Aqui temos uma indeterminação do tipo 0−∞. Para podermos aplicar uma das regras de L’Hôspital, devemos
transformá-la em uma das indeterminações ∞∞ ou
0
0 .
lim
x→0+
x lnx = lim
x→0+
lnx
1
x
= − ∞∞ .
Agora, aplicando a segunda regra de L’Hôspital, lim
x→0+
d
dx lnx
d
dx
1
x
= lim
x→0+
− x = 0.
Portanto lim
x→0+
x lnx = 0
Exemplo 2: Calcule: lim
x→∞
ex
x
Solução: lim
x→∞
ex
x =
∞
∞ . Assim, pela segunda regra de L’Hôspital, limx→∞
d
dx e
x
d
dx x
= lim
x→∞
ex = ∞.
Portanto, lim
x→∞
ex
x = ∞
LISTA DE EXERCÍCIOS 21
Exercícios: Faça os exercícios ímpares 5 ao 23 página 313 do livro texto.
47
Calcule o limite
Respostas
Derivadas e Gráficos (Seção 4.3, pág. 296)
O que a Derivada nos diz, graficamente?
Muitos problemas práticos são formulados em termos de encontrar o valor máximo ou mínimo de uma função f em
um certo intervalo, como veremos nos exemplos que serão abordados aqui. Desta forma, num primeiro momento, é
importante saber como determinar estes valores.
Por exemplo, observe o gráfico abaixo:
x
y
Neste exemplo, o pico pode ser caracterizado em termos de retas tangentes ao gráfico. O pico é o único ponto do
48
gráfico no qual a tangente é horizontal, isto é, no qual o coeficiente angular da tangente é zero.
∙ Qual seria o coeficiente angular de uma reta tangente ao gráfico, à esquerda do pico ?
∙ Qual seria o coeficiente angular de uma reta tangente ao gráfico, à direita do pico ?
Quando f ’é positiva, a tangente está inclinada para cima; quando f ’é negativa, a tangente está inclinada para baixo.
Se f ’=0, então, a tangente está na horizontal. Assim, o sinal da f ’nos diz se a f está crescendo ou decrescendo.
Se f ′ > 0 em um intervalo, então a f é crescente neste intervalo.
Se f ′ < 0 em um intervalo, então a f é decrescente neste intervalo.
Se f ′ = 0 em um intervalo, então a f é constante neste intervalo.
Exemplo 1: Considere a função fx = x2 − 6x + 5 :
-1 1 2 3 4 5 6
-4
-2
2
4
x
y
Sua derivada, 2x − 6, se anula em x = 3. De fato, observe no gráfico, que a reta tangente à curva nesse ponto, é
horizontal.
Novamente, observando o gráfico, concluímos que a função é decrescente até o ponto 3,−4 e crescente, a partir
dele. Escrevemos:
f é decrescente em −∞; 3
f é crescente em 3;+∞
Pontos Críticos:
O ponto x0 é um ponto crítico de uma função f, se f é definida em um intervalo aberto contendo x0 e a derivada f ′x0 é
zero ou não existe.
Exercício: Ache os pontos críticos da função fx = 4x2 − 3x + 2. Resp.: 3/8
-3 -2 -1 0 1 2 3
10
20
x
y
Observe que quando uma função passa de crescente para decrescente, ou de decrescente para crescente, ela passa por
um extremo (máximo ou mínimo) local. Freqüentemente, as palavras máximo e mínimo são usadas para significar
máximo e mínimo locais. Usam-se as expressões máximo absoluto ou mínimo absoluto, para designar o máximo ou o
mínimo da função em todo o seu domínio.
Uma função pode não ter máximo nem mínimo. Por exemplo, fx = 1x . Construa seu gráfico e verifique !
Teste da Derivada Primeira
49
O que foi discutido até aqui, pode ser resumido pelo Teste da Derivada Primeira, que nos permite determinar
máximos ou mínimos de uma dada função:
Seja f uma função e a um número de seu domínio, tal que f ′a = 0, ou não existe f ′a. Se f ′x for positiva à
esquerda e negativa à direita de a, então a, fa será um ponto de máximo de f. Ao contrário, se f ′x for negativa à
esquerda e positiva à direita de a, então a, fa será um ponto de mínimo de f.
Se fa é o máximo absoluto (ou mínimo absoluto) de uma função contínua f no intervalo fechado x1,x2  , a é tal que
f ′a = 0 ou não existe f ′a , ou ainda, poderemos ter a = x1 ou a = x2 . Em outras palavras, o máximo ou o mínimo
absoluto de uma função em um intervalo, podem ocorrer nos extremos deste intervalo.
Exercícios: Calcule os valores máximos e mínimos absolutos das funções:
1) fx = 23 − x em −1,2 R.: Mín.: (2,2) Máx.: (-1,8)
2) fx = 2x + 53 em 0, 5 R.: Mín.: (0,5/3) Máx.: (5,5)
3) fx = −x2 + 3x em 0,3 R.: Mín.: (0,0) e (3,0) Máx.: (3/2,9/4)
4) fx = x3 − 3x2 em −1,3 R.: Mín.: (-1,-4) e (2,-4) Máx.: (0,0) e (3,0)
5) fs = 1
s − 2 em 0,1 R.: Mín.: (1,-1) Máx.: (0,-1/2)
6) Explique porque a função fx = 1
x2
tem um máximo em 1,2 mas não em 0,2.
7) Explique porque a função fx = 1
x + 1 tem um mínimo em 0,2 mas não em −2,0.
LISTA DE EXERCÍCIOS 22
Exercício: Ache os pontos críticos das funções e Trace seus gráficos.
1) fx = 4x2 − 3x + 2 2) fx = 2x + 5 3) st = 2t3 + t2 − 20t + 4
4) Fw = w4 − 32w 5) fz = z2 − 16 6) fx = 14 x4 − 2x2
Respostas
.: 3/8;
-3 -2 -1 0 1 2 3
10
20
x
y
∄;
-4 -2 2 4
10
x
y
-2, 5/3;
-4 -2 2 4
-40
-20
20
40
x
y
2;
-4 -2 2 4
-40
-20
20
40
x
y
±4;
-20 -10 0 10 20
10
20
x
y
-2, 0, 2;
-4 -2 2 4
-5
5
10
x
y
7) Exercícios: Resolva os exercícios ímpares do número 15 ao 57 da página 286 do livro texto.
15 ao 30 Encontre os valores máximos e mínimos locais e absolutos e esboce o gráfico.
50
31 ao 46: Encontre os pontos críticos da função
Respostas
51
O que a Derivada Segunda nos diz, graficamente?
Veja o gráfico da função f definida por fx = x − 13 :
-2 -1 1 2 3
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
Observe que à esquerda do ponto 1, 0 a curva da f é voltada para baixo (côncava para baixo) e à sua direita, a
curva é voltada para cima (côncava para cima). Portanto, no ponto 1,0 há uma mudança na concavidade do gráfico.
Este ponto é dito ponto de inflexão da função f.
Assim como o sinal da derivada primeira de uma função nos dá informações a respeito do crescimento da mesma, o
sinal da derivada segunda nos dá informações a respeito de sua concavidade, quais sejam:
f ′′x < 0 para x ∈ a;b ⇒ f é côncava para baixo em a;b
e
f ′′x > 0 para x ∈ a;b ⇒ f é côncava para cima em a;b
Seja f uma função e x0 um número de seu domínio, tal que f ′′x0 = 0 ou não existe f ′′x0. O ponto x0, fx0 é
ponto de inflexão da f se houver uma reta tangente, bem como, uma mudança de concavidade em x0, fx0.
Teste da Derivada Segunda
O que foi discutido acima, pode ser resumido pelo Teste da Derivada Segunda, que nos permite determinar
máximos ou mínimos de uma dada função:
Seja f uma função e a um número de seu domínio, tal que f ′a = 0, ou não existe f ′a.
Se f ′′x for positiva a, fa será um ponto de mínimo de f. Se f ′′x for negativa, então a, fa será um ponto de
máximo de f.
52
LISTA DE EXERCÍCIOS 23
1) Calcule os valores máximos e mínimos das funções:
a) fx = −x2 + 3x em 0,3 R.: Mín.: (0,0) e (3,0) Máx.: (3/2,9/4)
b) fx = x3 − 3x2 em −1,3 R.: Mín.: (-1,4) e (2,-4) Máx.: (0,0) e (3,0)
c) fs = 1
s − 2 em 0,1 R.: Mín.: (1,-1) Máx.: (0,-1/2)
2) Explique porque a função fx = 1
x2
tem um máximo em 1,2 mas não em 0,2.
3) Trace o gráfico das seguintes funções, encontrando os pontos críticos, os pontos de inflexão, os intervalos onde a
função é crescente, decrescente, onde a função têm concavidade voltada para cima e onde têm concavidade voltada para
baixo:
a) fx = x3 + 7x2 − 5x b) fx = 2x3 − 2x2 − 16x + 1 c) fx = x4 + 4x3 − 2x2 − 12x
d) fx = x3 − 12x e) fx = x4 − 8x2 + 1 f) yx