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IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo 1 Nome: ______________________________ Nº ____ Curso: Licenciatura em Matemática Disciplina: Matemática do Ensino Básico I 1°Período Prof. Leonardo Data:__ /__ /2015 Capítulo 9: Função Modular 9.1 - Módulo O módulo, ou valor absoluto, de um número real x representado por é definido da seguinte maneira: O módulo de um número maior ou igual a zero é ele mesmo. O módulo de um número menor que zero é o seu oposto. Pela definição, podemos concluir que o módulo de um número real sempre é positivo ou nulo. Pensando geometricamente, o módulo de um número real x é igual à distância do ponto que representa, na reta real, o número x ao ponto 0 de origem. Exemplo 1 , pois é a distância do ponto que representa -5 à origem 0. , pois é a distância do ponto que representa 5 à origem 0. 9.2 - Equações modulares Temos uma equação modular quando a incógnita se apresenta em módulo. Observe a seguinte equação modular: As soluções dessa equação são x = 10 ou x = -10, pois: Generalizando: Vejamos alguns exemplos de equações modulares: IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo 2 Exemplo 1 Resolver em a equação modular : Resolução Exemplo 2 Resolver em a equação modular : Resolução Exemplo 3 Resolver em a equação modular : Resolução Como o módulo de um número real será sempre positivo ou nulo: Exemplo 4 Resolver em a equação modular : Resolução Vamos fazer , pois assim teremos uma equação do 2º grau: IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo 3 Como : 8.3 - Inequações modulares Uma inequação é modular quando a incógnita se apresenta em módulo. Vamos inicialmente olhar para a reta real e observar quando a distância à origem é menor que 4 e quando a distância à origem é maior que 4: Desse modo observarmos que: De maneira geral, sendo a > 0, temos: Utilizamos essas propriedades na resolução de equações modulares. Exemplo 1 Resolva em a inequação : Resolução Pelas propriedades vistas anteriormente: IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo 4 Exemplo 2 Resolva em a inequação : Resolução Pelas propriedades vistas anteriormente: Escrevendo na forma de um sistema de inequações: Fazendo a intersecção das duas soluções: 8.4 - Função modular Chamamos de função modular a função definida por: Note que a função modular é uma função definida por duas sentenças. Pela definição de módulo, percebemos que a imagem da função modular é o conjunto dos números reais não- negativos. Geometricamente, isso significa que os pontos do gráfico de no plano cartesiano estão na origem 0 ou acima do eixo x. O gráfico de pode ser construído de duas maneiras: IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo 5 1ª maneira: A partir das sentenças que definem f(x). Unindo os gráficos das duas sentenças num único plano cartesiano, obtemos o gráfico de : 2ª maneira: Com base no gráfico de . 1°)Construimos o gráfico de , destacando os pontos em que a imagem é negativa. 2°)Marcamos os pontos em que y é negativo simetricamente em relação ao eixo x. Assim obtemos o gráfico de . Vejamos como construir os gráficos de outras funções que possuem módulos na sua lei de formação: IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo 6 Exemplo 1 Construir o gráfico de : Resolução 1ª maneira: (Através de sentenças) Pela definição de módulo: : x y = x - 2 2 0 3 1 4 2 5 3 6 4 x y = -(x - 2) -2 4 -1 3 0 2 1 1 Unindo os gráficos das duas sentenças num único plano cartesiano, obtemos o gráfico de : 2º maneira: (Com base no gráfico de ) 1°)Construimos o gráfico de , destacando os pontos em que a imagem é negativa. 2°)Marcamos os pontos em que y é negativo simetricamente em relação ao eixo x. Assim obtemos o gráfico de . IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo 7 Exemplo 2 Construir o gráfico da função : Resolução Vamos construir o gráfico de e depois marcar os pontos em que y é negativo simetricamente em relação ao eixo x. Zeros: Coordenadas do vértice: V = (2, -1) Intersecção com o eixo y: (0, c) = (0, 3) Assim o gráfico de é: Marcando os pontos em que y é negativo simetricamente em relação ao eixo x, obtemos o gráfico de . IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo 8 Exercícios de Fixação 1. (G1 - cftmg 2015) O domínio da função real f(x) 1 | x | é o intervalo a) {x | x 1 ou x 1} b) {x | x 1 ou x 1} c) {x | 1 x 1} d) {x | 1 x 1} 2. (Upe 2015) No sistema cartesiano representado a seguir, têm-se os gráficos das funções reais f e g. Qual das igualdades representa uma relação entre as duas funções? a) g(x) f(x 3) b) g(x 3) f(x) c) g(x) f( x 3) d) g( x) f( x 3) e) g(3 x) f(x) 3. (Pucrj 2014) Considere a função real f(x) | x 1|. O gráfico que representa a função é: a) b) c) d) e) IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo 9 4. (Pucrj 2014) Considere a função real f(x) x 1 x 1. O gráfico que representa a função é: a) b) c) d) e) 5. (Ufrgs 2013) Se é o gráfico da função f definida por y f x , então, das alternativas abaixo, a que pode representar o gráfico da função z, definida por z f x , é a) b) c) d) e) 6. (Ufrgs 2013) A interseção dos gráficos das funções f e g, definidas por f x x e g x 1 x , os quais são desenhados no mesmo sistema de coordenadas cartesianas, determina um polígono. A área desse polígono é a) 0,125. b) 0,25. c) 0,5. d) 1. e) 2. IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo 10 7. (Fgv 2012) No plano cartesiano, os pontos (x, y) que satisfazem a equação x y 2 determinam um polígono cujo perímetro é: a) 2 2 b) 4 2 2 c) 4 2 d) 8 4 2 e) 8 2 8. (Insper 2012) A figura a seguir mostra o gráfico da função f(x). O número de elementos do conjunto solução da equação f(x) 1 , resolvida em é igual a a) 6. b) 5. c) 4. d) 3. e) 2. 9. (Upe 2011) Dos gráficos abaixo, o que mais se assemelha ao gráfico da função f(x) || x 2 | 2 | no intervalo -5 > x > 5 é a) b) c) d) e) 10. (Udesc 2009) A alternativa que representa o gráfico da função f(x) =| x 1| + 2 é: a) b) c) d) e) IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo 11 11. (Uft 2008) Sejam f e g funções reais de uma variável real definidas por: f(x) = │ x - 1 │ e g(x) = 5 A área da região limitada pelos gráficos dessas funções é: a) 10 unidades de área. b) 30 unidades de área. c) 50 unidades de área. d) 25 unidades de área. 12. (Ufc 2008) Dadas as funções f : IR IR e g : IR IR definidas por f (x) = │1 - x2│ e g (x) = │ x │, o número de pontos na interseção do gráfico de f com o gráfico de g é igual a: a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1 13. (Fgv 2005) A soma dos valores inteiros de x que satisfazem simultaneamente as desigualdades: │ x - 5 │ < 3 e │ x - 4 │ ≥ 1 é: a) 25 b) 13 c) 16 d) 18 e) 21 14. (Pucrs 2003) Considerando a função f definida por f ( x ) = x2 - 1, a representação gráfica da função g dada por g ( x ) = | f x | - 2 é 15. (Ita 2002) Os valores de x , para os quais a função real dada por f(x) 5 2x 1 6 está definida, formam o conjunto a) [0, 1]. b) [-5, 6]. c) [ 5,0] [1, ). d) ( ,0] [1,6]. e) [ 5,0] [1,6]. IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo 12 16. (Unifesp 2002) Considere a função 1, se 0 x 2, f(x) 2, se 2 x 0 A função g(x) | f(x) | 1 terá o seguinte gráfico: a) b) c) d) e) 17. (Ufrn 2001) Considere a região S dos pontos (x, y) do plano cartesiano tais que │x│ ≤ 1/2 e │y│ ≤ 1/2. A área de S é igual a: (u.a = unidade de área) a) 1 u.a. b) 2 u.a. c) 3 u.a. d) 4 u.a. 18. (Fei 1999) O conjunto imagem da função f:IR IR, definida por f(x)=1-│x-2│ é: a) { y ∈ IR │ y ≤ 1 } b) { y ∈ IR │ y ≥ 1 } c) { y ∈ IR │ y > 0 } d) { y ∈ IR │ y ≤ 2 } e) { y ∈ IR │ y ≥ 2 } 19. (Uff 1999) Considere o sistema y x y 2 A região do plano que melhor representa a solução do sistema é: 20. (Cesgranrio 1999) O conjunto Imagem da função f(x) = │x2 - 4x + 8│ + 1 é o intervalo: a) [ 5, + ∞ [ b) [ 4, + ∞ [ c) [ 3, + ∞ [ d) [ 1, + ∞ [ e) [ 0, + ∞ [ IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo 13 GABARITO 1 D 11 D 2 E 12 B 3 A 13 E 4 A 14 A 5 D 15 E 6 C 16 D 7 E 17 A 8 B 18 A 9 C 19 B 10 A 20 A
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