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Rafael Santos
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Momento fletor x M 0 0 4 L 32 3 2qL 2 L 32 2qL carga equivalente q . x A x x / 2 S q RA 2 .. 2 . 2 ... 2xqxLqM xxqxRAM −= −= L 0 Obs.: A área da figura do diagrama de força cortante é o valor momento fletor pois, como se verá mais adiante, V dx dM = . Então, do lado esquerdo do diagrama, tem-se: +q.L/2 L/2 8 . 2 1. 2 . 2 . 2LqLLqM == Analogamente, do lado direito: 8 . 2 1. 2 . 2 . 2LqLLqM == O mesmo raciocínio pode ser feito no primeiro exemplo. Matemática - Série Concursos Públicos Curso Prático & Objetivo 65 3. Viga em balanço submetida a carga concentrada na extremidade livre PMA RA HA A L S Bx a. Cálculo das reações ∑ ∑ ==−= == PRAPRAF HAF V H 00 00 b. Cálculo dos esforços solicitantes Seção S Força cortante: A força P tende a cortar a viga na seção S no sentido horário ⇒ (+) PV += Notar que a força cortante V é constante, portanto, não depende de x. x M 0 0 Momento fletor Seção S xPM ⋅−= L – PL Diagrama de esforços solicitantes O momento fletor é negativo porque traciona a face superior da viga. Notar que a equação que define o momento fletor é linear e depende de x. A medida distância x inicia-se na extremidade livre da viga. A B 0 + 0 -PL _ RA=P P L S V M x P Matemática - Série Concursos Públicos Curso Prático & Objetivo 66 4. Viga em balanço submetida a carga uniformemente distribuída a. Cálculo das reações ∑ ∑ ==−= == qLRAqLRAF HAF V H 00 00 MA carga equivalente R = q x L RA HA A L S q B x b. Cálculo dos esforços solicitantes Seção S Força cortante: A força P tende a cortar a viga na seção S no sentido horário ⇒ (+) x V 0 0 qxV += L qL Notar que a força cortante V é uma função linear que depende de x. x M 0 0 Momento fletor Seção S 22 2qxxxqM −=⋅⋅−= L 2 2qL− S x B carga equivalente R = q . x x/2 x/2 O momento fletor é negativo porque traciona a face superior da viga. Notar que a equação que define o momento fletor é do segundo grau e que a distância x inicia na extremidade livre da viga. Diagrama de esforços solicitantes A B 0 + 0 -q.L /22 _ RA=q.L q.L L S V M x q Matemática - Série Concursos Públicos Curso Prático & Objetivo 67 5. Viga simplesmente apoiada, submetida a momento externo no vão. a RA=Mc / L x A S L - a L RB=-Mc / L M C c B a) Cálculo das reações ∑ −==+= RBRARBRAFV 00 b) Cálculo dos esforços solicitantes Seção S Força cortante L M V c+= Momento fletor x L MxRAM c ⋅+=⋅+= No trecho AC o momento externo traciona a face inferior da viga; logo, o momento fletor é positivo. x M 0 0 x L MM c ⋅= a L aM c No trecho CB, o momento externo traciona a face superior da viga logo, o momento fletor neste trecho é negativo. Portanto, em x=a, tem-se: c c M L aMM −+= ( ) L aLM L LMaMM ccc −−=−+= + (L-a) L 0 cM 0 c-M a RA=Mc / L _ a L Mc M -Mc + L V RB=-Mc / L A cM C B Diagrama de esforços solicitantes Matemática - Série Concursos Públicos Curso Prático & Objetivo 68 6. Viga simplesmente apoiada, submetida a momento externo na extremidade. A aM B L M / La -M / La a) Cálculo das reações ∑ −==+= RBRARBRAFV 00 b) Cálculo dos esforços solicitantes Força cortante: L M V a+= (constante) Momento fletor aMM −= (constante) É negativo porque traciona a face superior da viga -M 0 a _ 0 M / La M / La + L M V -M / La A aM B Diagrama de esforços solicitantes EXERCÍCIOS 1. Montar os diagramas de esforços solicitantes da viga em balanço abaixo: P=6 kNMA L=3 m RA HA A S B x a. Cálculo das reações kNRARAF HAF V H ∑ ∑ ==−= == 6060 00 Matemática - Série Concursos Públicos Curso Prático & Objetivo 69 b. Cálculo dos esforços solicitantes Seção S Força cortante: A força P tende a cortar a viga na seção S no sentido horário ⇒ (+) kNPV 6=+= Notar que a força cortante V é constante, portanto, não depende de x. Momento fletor Seção S xPM ⋅−= 183 00 − Mx Diagrama de esforços solicitantes O momento fletor é negativo porque traciona a face superior da viga. Notar que a equação que define o momento fletor é linear e depende de x. A B L=3 m 0 + 0 -18 _ RA=6 kN 6 S V (kN) M (kN.m x P=6 kN 2. Montar os diagramas de esforços solicitantes da viga em balanço abaixo: q=4 kN/m MA carga equivalente R=4 x 2=8 kN L=2 m RA HA A S B x Matemática - Série Concursos Públicos Curso Prático & Objetivo 70 a. Cálculo das reações kNRAF HAF V H ∑ ∑ =×−= == 8240 00 b. Cálculo dos esforços solicitantes Seção S Força cortante: A força P tende a cortar a viga na seção S no sentido horário ⇒ (+) qxV += 82 00 Vx Notar que a força cortante V é uma função linear que depende de x. Momento fletor Seção S 22 2 2 xxxM −=⋅⋅−= 82 00 − Mx O momento fletor é negativo porque traciona a face superior da viga. Notar que a equação que define o momento fletor é do segundo grau. Diagrama de esforços solicitantes A B L=2 m 0 + 0 -8 _ RA=6 kN 8 S V (kN) M (kN.m x q=4 kN/m Matemática - Série Concursos Públicos Curso Prático & Objetivo 71 3. Dado a viga abaixo, calcular as reações, os esforços solicitantes e trocar os diagramas de força cortante e momento fletor. NOTA: Quando a força cortante é mínima, o momento fletor é máximo. Como V dx dM = , ou seja, a integral da força cortante é o momento fletor, então, a área do diagrama de V corresponde a M . 2438 =× e mkN ⋅=× 24212 P=20 kN 24 RA=8 kN 0 8 20 A + _ S1 S2 C 3m 2m 5m -12 V (kN) M (kN.m) RB=12 kN B HB a) cálculo das reações ∑ ∑ ∑ =×−×+= =+=−+= == 032050 2000 00 RBM kNRBRAPRBRAF HBF A V H kNRARA RBRA kNRBRB 82012 20 12605 ==+ =+ == Pelas fórmulas deduzidas: kN L PaRAkN L PbRA 12 5 3208 5 220 =×===×== b) cálculo dos esforços solicitantes Convenção de sinais para força cortante: S P - tende girar a viga no sentido horário em relação à seção S + S P tende girar a viga no sentido anti-horário em relação à seção S Matemática - Série Concursos Públicos Curso Prático & Objetivo 72 xM xRAM ⋅= ⋅+= 8 )( 1 1 05 243 2Mx Força cortante Seção S1 A RA=8 kN S1 X kNV RAV 81 1 += += • A reação RA tende a cortar a viga na seção S1 no sentido horário ⇒ (+) Seção S2 A RA=8 kN S2 3m (x-3) P=20 kN X kNV PRAV 122082 2 −=−= −+= • Notar que V1 e V2 não dependem de x. Portanto, V1 e V2 serão constantes no diagrama de força cortante. Momento fletor Seção S1 243 00 1Mx • Momento fletor (+) por tracionar a face inferior. Seção S2 ( ) ( ) 6012 60208 3208 3 2 2 2 2 +−= +⋅−⋅= −⋅−⋅= −⋅−⋅+=
