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Apostila de Mecânica Geral, revisão objetiva - Estática

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Momento fletor 
x M 
0 0 
4
L 
32
3 2qL
2
L 
32
2qL 
carga equivalente
q . x
A
x
x / 2
S
q
RA 
2
..
2
.
2
...
2xqxLqM
xxqxRAM
−=
−=
 
L 0 
 
Obs.: A área da figura do diagrama de força cortante é o valor momento fletor pois, como 
se verá mais adiante, V
dx
dM = . Então, do lado esquerdo do diagrama, tem-se: 
+q.L/2
L/2
 
8
.
2
1.
2
.
2
. 2LqLLqM == 
Analogamente, do lado direito: 
8
.
2
1.
2
.
2
. 2LqLLqM == 
O mesmo raciocínio pode ser feito no primeiro exemplo. 
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65
3. Viga em balanço submetida a carga concentrada na extremidade livre 
PMA
RA
HA
A
L
S Bx
 
a. Cálculo das reações 
∑
∑
==−=
==
PRAPRAF
HAF
V
H
00
00
 
b. Cálculo dos esforços solicitantes Seção S 
Força cortante: 
A força P tende a cortar a viga na seção S no sentido horário ⇒ (+) PV += 
Notar que a força cortante V é constante, portanto, não depende de x. 
x M 
0 0 
Momento fletor Seção S 
xPM ⋅−= L – PL 
 
Diagrama de esforços solicitantes 
 
O momento fletor é negativo porque 
traciona a face superior da viga. 
Notar que a equação que define o 
momento fletor é linear e depende de 
x. A medida distância x inicia-se na 
extremidade livre da viga. 
 
 
 
A B
0
+
0
-PL _
RA=P
P
L
S
V
M
x
P
 
 
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4. Viga em balanço submetida a carga uniformemente distribuída 
a. Cálculo das reações 
∑
∑
==−=
==
qLRAqLRAF
HAF
V
H
00
00
MA
carga equivalente
R = q x L
RA
HA
A
L
S
q
B
x
 
 
b. Cálculo dos esforços solicitantes Seção S 
Força cortante: 
A força P tende a cortar a viga na seção S no sentido horário ⇒ (+) 
x V 
0 0 qxV += 
L qL 
Notar que a força cortante V é uma função linear que depende de x. 
x M 
0 0 
Momento fletor Seção S 
 
22
2qxxxqM −=⋅⋅−= 
L 
2
2qL− S
x B
carga equivalente
R = q . x
x/2 x/2
 
O momento fletor é negativo porque traciona a face superior da viga. 
Notar que a equação que define o momento fletor é do segundo grau e que a distância x 
inicia na extremidade livre da viga. 
 
Diagrama de esforços solicitantes 
 
A B
0
+
0
-q.L /22 _
RA=q.L
q.L
L
S
V
M
x
q
 
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5. Viga simplesmente apoiada, submetida a momento externo no vão. 
a
RA=Mc / L
x
A
S
L - a
L RB=-Mc / L
M
C
c
B
 
a) Cálculo das reações 
∑ −==+= RBRARBRAFV 00 
b) Cálculo dos esforços solicitantes Seção S 
Força cortante 
L
M
V c+= 
Momento fletor x
L
MxRAM c ⋅+=⋅+= 
No trecho AC o momento externo traciona a face inferior da viga; logo, o momento fletor é 
positivo. 
x M 
0 0 x
L
MM c ⋅= a 
L
aM c 
 
No trecho CB, o momento externo 
traciona a face superior da viga logo, o 
momento fletor neste trecho é negativo. 
Portanto, em x=a, tem-se: 
c
c M
L
aMM −+= 
( )
L
aLM
L
LMaMM ccc −−=−+= 
+
(L-a)
L
0
cM
0
c-M
a
RA=Mc / L
_
a
L
Mc
M
-Mc
+
L
V
RB=-Mc / L
A
cM
C B
 
Diagrama de esforços solicitantes 
 
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6. Viga simplesmente apoiada, submetida a momento externo na extremidade. 
A
aM
B
L
M / La -M / La
 
a) Cálculo das reações 
∑ −==+= RBRARBRAFV 00 
b) Cálculo dos esforços solicitantes 
Força cortante: 
L
M
V a+= (constante) 
Momento fletor aMM −= (constante) 
É negativo porque traciona a face superior da 
viga 
 
-M
0
a _
0
M / La
M / La
+
L
M
V
-M / La
A
aM
B
 
 
Diagrama de esforços solicitantes 
 
EXERCÍCIOS 
1. Montar os diagramas de esforços solicitantes da viga em balanço abaixo: 
P=6 kNMA
L=3 m
RA
HA
A S B
x
 
a. Cálculo das reações 
kNRARAF
HAF
V
H
∑
∑
==−=
==
6060
00
 
 
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69
b. Cálculo dos esforços solicitantes Seção S 
Força cortante: 
A força P tende a cortar a viga na seção S no sentido horário ⇒ (+) 
kNPV 6=+= 
Notar que a força cortante V é constante, portanto, não depende de x. 
 
Momento fletor Seção S 
xPM ⋅−= 
183
00
−
Mx
 
 
Diagrama de esforços solicitantes 
O momento fletor é negativo porque 
traciona a face superior da viga. 
Notar que a equação que define o 
momento fletor é linear e depende de x. 
 
A B
L=3 m
0
+
0
-18
_
RA=6 kN
6
S
V (kN)
M (kN.m
x
P=6 kN
 
2. Montar os diagramas de esforços solicitantes da viga em balanço abaixo: 
q=4 kN/m
MA
carga equivalente
R=4 x 2=8 kN
L=2 m
RA
HA
A S B
x
 
 
 
 
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a. Cálculo das reações 
kNRAF
HAF
V
H
∑
∑
=×−=
==
8240
00
 
b. Cálculo dos esforços solicitantes Seção S 
Força cortante: 
A força P tende a cortar a viga na seção S no sentido horário ⇒ (+) 
qxV += 
82
00
Vx
 
Notar que a força cortante V é uma função linear que depende de x. 
 
Momento fletor Seção S 
22
2
2 xxxM −=⋅⋅−= 
82
00
−
Mx
 
O momento fletor é negativo porque traciona a face superior da viga. 
Notar que a equação que define o momento fletor é do segundo grau. 
 
Diagrama de esforços solicitantes 
 
A B
L=2 m
0
+
0
-8
_
RA=6 kN
8
S
V (kN)
M (kN.m
x
q=4 kN/m
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3. Dado a viga abaixo, calcular as reações, os esforços solicitantes e trocar os diagramas de 
força cortante e momento fletor. 
NOTA: Quando a força cortante é 
mínima, o momento fletor é máximo. 
Como V
dx
dM = , ou seja, a integral da 
força cortante é o momento fletor, 
então, a área do diagrama de V 
corresponde a M . 
2438 =× e mkN ⋅=× 24212 
 
P=20 kN
24
RA=8 kN
0
8
20
A
+
_
S1 S2
C
3m 2m
5m
-12
V (kN)
M (kN.m)
RB=12 kN
B
HB
 
a) cálculo das reações 
∑
∑
∑
=×−×+=
=+=−+=
==
032050
2000
00
RBM
kNRBRAPRBRAF
HBF
A
V
H
 
kNRARA
RBRA
kNRBRB
82012
20
12605
==+
=+
==
 
 Pelas fórmulas deduzidas: 
kN
L
PaRAkN
L
PbRA 12
5
3208
5
220 =×===×== 
b) cálculo dos esforços solicitantes 
Convenção de sinais para força cortante: 
S P
-
 
tende girar a viga no sentido horário em 
relação à seção S 
+
S
P
 
tende girar a viga no sentido anti-horário em 
relação à seção S 
 
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xM
xRAM
⋅=
⋅+=
8
)(
1
1
05
243
2Mx
Força cortante 
 Seção S1 
A
RA=8 kN
S1
X
 
kNV
RAV
81
1
+=
+=
 
 
• A reação RA tende a cortar a viga na seção S1 no sentido horário ⇒ (+) 
 Seção S2 
A
RA=8 kN
S2
3m (x-3)
P=20 kN
X
 
kNV
PRAV
122082
2
−=−=
−+=
 
 
• Notar que V1 e V2 não dependem de x. Portanto, V1 e V2 serão constantes no diagrama 
de força cortante. 
Momento fletor Seção S1 
 
243
00
1Mx
 
• Momento fletor (+) por tracionar a face inferior. 
Seção S2 
 
( )
( )
6012
60208
3208
3
2
2
2
2
+−=
+⋅−⋅=
−⋅−⋅=
−⋅−⋅+=