Matriz Jacobiana

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Matriz jacobiana 1
Matriz jacobiana
A Matriz Jacobiana (denominado do matemático alemão Carl Gustav Jakob Jacobi) é a matriz formada pelas
derivadas parciais de primeira ordem de uma função vetorial. Se uma função é diferenciável num ponto, a sua
derivada é dada em coordenadas pela Jacobiana, mas uma função não precisa de ser diferenciável para a existência
da Jacobiana; basta que as derivadas parciais existam.
Definição
Seja . Tal função é definida por um vetor de m componentes, sendo cada componente uma função
. As derivadas parciais dessas funções podem ser organizadas numa matriz m x n, que é
denominada Matriz Jacobiana. Assim, a Jacobiana é definida como:
A Jacobiana é representada por ou 
A k-ésima linha da matriz é dada pela transposta do gradiente de 
Determinante Jacobiano
O Jacobiano é definido como sendo o determinante da Jacobiana. Ele é de grande importância na mudança de
variáveis em integrais múltiplas e no Teorema da Função Inversa.
Exemplos
Seja . A jacobiana de F é:
O Jacobiano é .
Vamos montar a Jacobiana da mudança de variáveis cartesianas para polares. A função que faz a transformação é:
A Jacobiana é dada então por:
O Jacobiano é . portanto poderá se feito de acordo com alguns métodos matemáticos
Matriz jacobiana 2
Aproximação Linear
A Jacobiana representa a melhor aproximação linear de uma função diferenciável nas vizinhanças de um ponto.
Semelhante à aproximação de funções de uma variável pela derivada, uma função vetorial F diferenciável num ponto
pode ser aproximada por:
sendo um ponto próximo de . Essa aproximação é de grande importância no cálculo numérico, onde a
Jacobiana e o seu determinante são utilizados para resolver sistemas não-lineares pelo método de Newton (ou
método do Gradiente Iterativo).
Ver Também
• Matriz Hessiana
Fontes e Editores da Página 3
Fontes e Editores da Página
Matriz jacobiana  Fonte: http://pt.wikipedia.org/w/index.php?oldid=20962910  Contribuidores: Gunnex, JCSantos, JohnR, Samir rodrigues, Tiago Vasconcelos, Usien, 4 edições anónimas
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