3. Utilizando a regra da cadeia, determine a matriz jacobiana da composição g ◦ f no ponto (1, 0, 1), onde f(x, y, z) = (x2 + xyz, y2 + z2) e g(u...

Para determinar a matriz jacobiana da composição g ◦ f, primeiro precisamos calcular as derivadas parciais das funções f e g em relação às suas variáveis. Em seguida, substituímos as variáveis pelos valores do ponto dado (1, 0, 1) e multiplicamos as matrizes jacobianas resultantes. Vamos começar calculando as derivadas parciais de f(x, y, z) em relação a x, y e z: ∂f/∂x = 2x + yz ∂f/∂y = xz ∂f/∂z = xy Agora, vamos calcular as derivadas parciais de g(u, v) em relação a u e v: ∂g/∂u = 3u^2 + 1 ∂g/∂v = -2v + 3v^2 A matriz jacobiana de f no ponto (1, 0, 1) é: Jf = [∂f/∂x ∂f/∂y ∂f/∂z] [2(1) (0)(1) (1)(0)] [1(0) (1)(1) (1)(1)] Jf = [2 0 0] [0 0 1] [0 1 0] A matriz jacobiana de g no ponto (1, 0, 1) é: Jg = [∂g/∂u ∂g/∂v] [3(1)^2 + 1 -2(0) + 3(0)^2] [1(0)^2 + 1 -2(0) + 3(0)^2] Jg = [4 0] [1 0] Agora, multiplicamos as matrizes jacobianas Jf e Jg: Jg◦f = Jg * Jf Jg◦f = [4 0] * [2 0 0] [1 0] [0 0 1] Jg◦f = [8 0 0] [2 0 1] Portanto, a matriz jacobiana da composição g ◦ f no ponto (1, 0, 1) é: Jg◦f = [8 0 0] [2 0 1]