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1 1 1 Professor Substituto da Universidade Federal da Bahia (UFBA) e Professor da UNIJORGE (Centro universitário Jorge Amado) 2 Teorema de Cayley-Hamilton ProfessorProfessorProfessorProfessor ---- André GustavoAndré GustavoAndré GustavoAndré Gustavo Cayley, Matemático inglês que descobriu a Álgebra das Matrizes, onde as mesmas surgiram ligadas as transformações lineares. Hamilton,desenvolveu a primeira álgebra não comutativa e abriu as portas para álgebra abstrata com os quartênios. Definição: Sejam V um R-espaço vetorial n - dimensional e T: V→V um operador linear. Então PT ������) = 0n para toda base α de V . Demonstração2: Seja ��� � � �� �λ� � ����λ��� � ����λ��� � �� ��λ � �� o polinômio característico da matriz ����� � Denotaremos por ��λ � ����λ��� � ����λ��� � �� ��λ � ���a matriz adjunta3 clássica da matriz �� � λ����, onde os elementos de ��λ são os cofatores desta matriz, sendo então polinômios em λ��de grau n - 1. Além disso, ����� ������ � � ��� �� � ����� Pela propriedade fundamental da adjunta clássica4 �� � λ���� � ��λ � �� �� � λ���� � �� �� � λ���� � ��λ � ��� � �� �� � λ���� � ����λ��� � ����λ��� � �� ��λ � �� � ��� �λ� � ����λ��� � ����λ��� � �� ��λ � ���� �� Desenvolvendo o lado esquerdo da identidade �� � λ���� � ����λ��� � ����λ��� � �� ��λ � �� � ��������λ��� � ����λ��� � �� ��λ � �� Por identidade de polinômios temos:� ����� � �� �� ���!���� � ���� � ����� ���!���� � ���" � ����� 2 Devemos demonstrar que toda matriz quadrada A é um zero do seu próprio polinômio característico p(λ) 3 A matriz B(λ) pode ser escrita como uma combinação linear de matrizes quadradas Bn-1, Bn-2,...,B2, B1 e B0 de ordem n com coeficientes escalares na variável λ. 4 Lê-se: “A matriz da transformação menos lambda vezes a matriz identidade na base α, vezes a matriz adjunta, é igual ao determinante da mesma matriz vezes a matriz identidade de ordem n. 3 M ���!�� � �� � ��� ���!�� � �� � ��� ���!�� � ��� Vamos multiplicar a primeira igualdade por�����! #, a segunda por ����� ��� e assim sucessivamente, até ����� �� ���������! # � ����! #�� �� ����!���� � ���� ����! #� � ����! #� ����� ����!���� � ���" ����! #�$ � ����! #�$����� M ����!�� � �� ����! $ � ����! $��� ����!�� � �� ���! � ���!��� ���!������! % � ����! %��� Vamos somar membro a membro a esquerda para obter a matriz nula e repetir a operação no membro direito para obter a matriz PT = ������). Desenvolvendo a soma nos primeiros membros das equações: ���������! # � ����!���� � ���� ����! #� � ����!���� � ���" ����! #�$ � � �� ����!�� � �� ����! $ � ����!�� � �� ���! � ���!������! % � � ���������! # � ����! #���� � ����! #� ���� � ����! #� ���� � ����! #�$���" � � �� ����! $�� � ����! $�� � ���!�� � ���!������! % � %� Desenvolvendo a soma nos segundos membros das equações: ����! #�� �� � ����! #� ���������! #�$������ ��������! $��� � ���!��� � ��� Logo: %� � �� #����! # � �#� ����! #� � �#�$����! #�$ � � ���$����! $ � � ���! � �%��& ������! � %� 4 1. Aplicação do Teorema de Cayley-Hamilton a Inversa de uma matriz. A maneira clássica de obter a inversa de uma matriz é por meio do polinômio característico de uma matriz invertível ���� �. Consideremos ��� � � �� �λ� � ����λ��� � ����λ��� � �� ��λ � �� o polinômio característico da matriz����� Já vimos que pelo Teorema de Cayley - Hamilton �� �����! # � ��������! #� � ��������! #�$ � ���������! $ � �����! � ��� � %#� Multiplicando essa igualdade por ����� ��. Resulta então �� �����! #� � ��������! #�$ � �� �� � �����!� � � %# Como a matriz ����� � é invertível, tem-se �� ' %. Dividindo a igualdade anterior por �� temos �% (�� #����! #� �#� ����! #�$ � �� � �) � ����! � � %# Isolando ����� �� chegamos a formula: ������ � � �% (�� #����! #� �#� ����! #�$ � �� � �) Ex. Consideremos a matriz * � +, $-, cujo polinômio característico é �� � λ� � .λ� � .. Então *�� � � . ��� $*$� � .*$�$��′ � � . �* � .�� � � . /+, $- � . + %% -0 � � � . /+, $- � +�. %% �.-0 � � . /�$ �,0 � 1 $ .2 � .2� .2 , .2 3 Obs. Este cálculo somente será vantajoso quando a matriz for simétrica e possuir poucos autovalores, caso contrário, não há vantagem em utilizá-lo, por exemplo: Para uma matriz invertível arbitrária esse procedimento não traz vantagem com relação ao cálculo da inversa por meio da eliminação gaussiana. ′ Observe que c0 é 5 e que ele não entra junto com o polinômio P(A) 5 2. Aplicação do Teorema de Cayley-Hamilton Verifique o teorema de Cayley - Hamilton: “Toda matriz quadrada é um zero do seu polinômio característico para a matriz * � 4 $ %% % %5. Solução: Inicialmente, vamos obter o polinômio característico da matriz A. 6�λ � 789�* � λ� � : � λ $ %% � λ % �λ: � � � λ ; � λ % �λ; � ; $ % � λ ; � � � � λ � � λ ��λ � $ � � � λ ���λ � $ � < � $λ � λ�=��λ � $ � �λ � $λ� � λ" � $ � �λ" � $λ� � λ � $� Substituindo a matriz A nesse polinômio obtemos 6�* � �*" � $*� � * � $� 6�* � �4 $ %% % %5 " � $4 $ %% % %5 � � 4 $ %% % %5 � $4 % %% %% % 5 � 4 % % %% % %% % %5 Referências COSTA LORETO; A. C.; SILVA, A. A.; SILVAL e LORETO JUNOR; A.P., Álgebra Linear. e suas aplicações - 2ª Edição 2009. Ed. LCTE BOLDRINE, COSTA, FIGUEREDO e WETZLER. Álgebra Linear. 3ª Edição ampliada e revista: São Paulo - Ed. Harbra, 1986. BUENO PRADO, HAMILTON. Álgebra Linear - Um segundo curso - Coleção Textos Universitários. Rio de Janeiro 2005 - Sociedade Brasileira de Matemática. HOFFMANN / KUNZE, Álgebra Linear –Universidade de São Paulo / Ed. Polígono. São Paulo. 1971. STEINBRUCH, ALFREDO e WINTERLE, PAULO. Álgebra Linear. São Paulo: Pearson education/ Editora Makron Books, 1987. UERJ - http://www.ime.uerj.br/~alglin/AlgLInII/Capitulo3_PolMIn.pdf - acesso em 09/01/2010.
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