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Teorema de Cayley Hamilton

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1 Professor Substituto da Universidade Federal da Bahia (UFBA) e Professor da UNIJORGE (Centro 
universitário Jorge Amado) 
 
2 
Teorema de Cayley-Hamilton 
ProfessorProfessorProfessorProfessor ---- André GustavoAndré GustavoAndré GustavoAndré Gustavo 
Cayley, Matemático inglês que descobriu a Álgebra das Matrizes, onde as 
mesmas surgiram ligadas as transformações lineares. 
Hamilton,desenvolveu a primeira álgebra não comutativa e abriu as portas para 
álgebra abstrata com os quartênios. 
Definição: Sejam V um R-espaço vetorial n - dimensional e T: V→V um 
operador linear. Então PT ������) = 0n para toda base α de V . 
Demonstração2: 
Seja ���	
 � � ��
�λ� � ����λ��� � ����λ��� � �� ��λ � �� o polinômio 
característico da matriz ����� � 
Denotaremos por ��λ
 � ����λ��� � ����λ��� � �� ��λ � ���a matriz adjunta3 
clássica da matriz �� � λ����, onde os elementos de ��λ
 são os cofatores 
desta matriz, sendo então polinômios em λ��de grau n - 1. Além disso, ����� ������ � � ��� �� � �����
 
Pela propriedade fundamental da adjunta clássica4 
�� � λ���� � ��λ
 � �� �� � ��� � �� 
�� � λ���� � ��λ
 � ���	
� �� 
�� � λ���� � ����λ��� � ����λ��� � �� ��λ � �� � ���
�λ� � ����λ��� � ����λ��� � �� ��λ � ���� �� 
Desenvolvendo o lado esquerdo da identidade 
�� � λ���� � ����λ��� � ����λ��� � �� ��λ � �� � ��������λ��� � ����λ��� � �� ��λ � �� 
 
Por identidade de polinômios temos:� 
����� � ��
�� 
���!���� � ���� � ����� 
���!���� � ���" � ����� 
 
2 Devemos demonstrar que toda matriz quadrada A é um zero do seu próprio polinômio característico 
p(λ) 
3 A matriz B(λ) pode ser escrita como uma combinação linear de matrizes quadradas Bn-1, 
Bn-2,...,B2, B1 e B0 de ordem n com coeficientes escalares na variável λ. 
4 Lê-se: “A matriz da transformação menos lambda vezes a matriz identidade na base α, vezes a matriz 
adjunta, é igual ao determinante da mesma matriz vezes a matriz identidade de ordem n. 
 
3 
M 
���!�� � �� � ��� 
���!�� � �� � ��� 
���!�� � ��� 
Vamos multiplicar a primeira igualdade por�����!
#, a segunda por �����
��� e 
assim sucessivamente, até �����
�� 
���������!
# � ����!
#��
�� 
����!���� � ����
����!
#�
 � ����!
#�
����� 
����!���� � ���"
����!
#�$ � ����!
#�$����� 
M 
����!�� � ��
����!
$ � ����!
$��� 
����!�� � ��
���! � ���!��� 
���!������!
% � ����!
%��� 
Vamos somar membro a membro a esquerda para obter a matriz nula e repetir 
a operação no membro direito para obter a matriz PT = ������). 
Desenvolvendo a soma nos primeiros membros das equações: 
���������!
# � ����!���� � ����
����!
#�
 � ����!���� � ���"
����!
#�$ � � 
�� ����!�� � ��
����!
$ � ����!�� � ��
���! � ���!������!
% � 
� ���������!
# � ����!
#���� � ����!
#�
���� � ����!
#�
���� � ����!
#�$���" � � 
�� ����!
$�� � ����!
$�� � ���!�� � ���!������!
% � %� 
Desenvolvendo a soma nos segundos membros das equações: 
����!
#��
�� � ����!
#�
���������!
#�$������ ��������!
$��� � ���!��� � ��� 
Logo: 
%� � ��
#����!
# � �#�
����!
#�
 � �#�$����!
#�$ � � ���$����!
$ � �
���! � �%��& ������!
 � %� 
 
4 
1. Aplicação do Teorema de Cayley-Hamilton a Inversa de uma matriz. 
A maneira clássica de obter a inversa de uma matriz é por meio do polinômio 
característico de uma matriz invertível ���� �. 
Consideremos ���	
 � � ��
�λ� � ����λ��� � ����λ��� � �� ��λ � �� o 
polinômio característico da matriz����� 
Já vimos que pelo Teorema de Cayley - Hamilton 
��
�����!
# � ��������!
#�
 � ��������!
#�$ � ���������!
$ � �����! � ��� � %#� 
Multiplicando essa igualdade por �����
��. Resulta então 
��
�����!
#�
 � ��������!
#�$ � �� �� � �����!�
� � %# 
Como a matriz ����� � é invertível, tem-se �� ' %. 
Dividindo a igualdade anterior por �� temos 
�% (��
#����!
#�
�#�
����!
#�$ � �� �
�) � ����!
�
 � %# 
Isolando �����
�� chegamos a formula: 
������ � � 
�% (��
#����!
#�
�#�
����!
#�$ � �� �
�) 
Ex. Consideremos a matriz * � +, 
 $-, cujo polinômio característico é 
��	
 � λ� � .λ� � .. Então 
*�� � �
. ���
$*$�
 � .*$�$��′ � �
. �* � .�� � �
. /+, 
 $- � . +
 %% 
-0 � 
� �
. /+, 
 $- � +�. %% �.-0 � �
. /�$ 
 �,0 � 1
$ .2 �
 .2�
 .2 , .2 3 
Obs. Este cálculo somente será vantajoso quando a matriz for simétrica e 
possuir poucos autovalores, caso contrário, não há vantagem em utilizá-lo, por 
exemplo: Para uma matriz invertível arbitrária esse procedimento não traz 
vantagem com relação ao cálculo da inversa por meio da eliminação 
gaussiana. 
 
 
 
′ Observe que c0 é 5 e que ele não entra junto com o polinômio P(A) 
 
5 
 
2. Aplicação do Teorema de Cayley-Hamilton 
Verifique o teorema de Cayley - Hamilton: “Toda matriz quadrada é um zero do 
seu polinômio característico para a matriz * � 4
 $ %% 
 
 % %5. 
Solução: Inicialmente, vamos obter o polinômio característico da matriz A. 
6�λ
 � 789�* � λ�
 � :
 � λ $ %% 
 � λ 
 % �λ: � �
 � λ
 ;
 � λ 
% �λ; � ; $ %
 � λ 
; � 
 � �
 � λ
�
 � λ
��λ
 � $ � �
 � λ
���λ
 � $ � <
 � $λ � λ�=��λ
 � $ � 
�λ � $λ� � λ" � $ � �λ" � $λ� � λ � $� 
Substituindo a matriz A nesse polinômio obtemos 6�*
 � �*" � $*� � * � $� 
6�*
 � �4
 $ %% 
 
 % %5
"
� $4
 $ %% 
 
 % %5
�
� 4
 $ %% 
 
 % %5 � $4
 % %% 
 %% % 
5 � 4
% % %% % %% % %5 
 
Referências 
COSTA LORETO; A. C.; SILVA, A. A.; SILVAL e LORETO JUNOR; A.P., Álgebra 
Linear. e suas aplicações - 2ª Edição 2009. Ed. LCTE 
BOLDRINE, COSTA, FIGUEREDO e WETZLER. Álgebra Linear. 3ª Edição 
ampliada e revista: São Paulo - Ed. Harbra, 1986. 
BUENO PRADO, HAMILTON. Álgebra Linear - Um segundo curso - Coleção 
Textos Universitários. Rio de Janeiro 2005 - Sociedade Brasileira de Matemática. 
HOFFMANN / KUNZE, Álgebra Linear –Universidade de São Paulo / Ed. Polígono. 
São Paulo. 1971. 
 
STEINBRUCH, ALFREDO e WINTERLE, PAULO. Álgebra Linear. São Paulo: 
Pearson education/ Editora Makron Books, 1987. 
UERJ - http://www.ime.uerj.br/~alglin/AlgLInII/Capitulo3_PolMIn.pdf - acesso em 
09/01/2010.

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