Definición 3.2.1 Sea A una matriz n ⇥ n con coeficientes en K. Se llama polinomio mı́nimo de A a un polinomio m(X) 2 K[X] verificando las siguient...

Definición 3.2.1
Sea A una matriz n ⇥ n con coeficientes en K. Se llama polinomio mı́nimo de A a un polinomio m(X) 2 K[X] verificando las siguientes condiciones:
1. m(X) es mónico.
2. m(A) es la matriz nula.
3. m(X) es el polinomio de menor grado verificando las dos condiciones anteriores.
Antes de seguir debemos garantizar que la definición que hemos establecido anteriormente tiene sen- tido. Para ello vamos a demostrar el resultado que se conoce como Teorema de Cayley-Hamilton, y que nos asegura la existencia de un polinomio verificando las dos primeras condiciones exigidas en dicha definición. Una vez probado tal teorema, sabemos que el conjunto N = {r 2 N : existe q(X) 2 K[X] mónico, grado(q(X)) = r y q(A) = 0} es no vacio y que por tanto posee mı́nimo. Si ese mı́nimo es rm, un polinomio que tenga dicho grado (y verifique lo pedido en la definición de N) será un polinomio mı́nimo de A. Más tarde se garantizaráó la unicidad del mismo.