23. Consideremos el endomorfismo de R2[t] cuya matriz, en la base (1, t, t2), es A =  0 3 91 3 0 3 1 9 1 3 0  a) Probar que este endomorfismo d...

23. Consideremos el endomorfismo de R2[t] cuya matriz, en la base (1, t, t2), es
A =
 0 3 91
3
0 3
1
9
1
3
0

a) Probar que este endomorfismo diagonaliza.
b) Encontrar una base de R2[t] formada por vectores propios.
c) Determinar A−1 a partir del Teorema de Cayley-Hamilton.
d) Calcular Ap, per a p ∈ N. 156 CAPÍTULO 6. DIAGONALIZACIÓN DE ENDOMORFISMOS
Solución:
a) det(A− tI) = −(t3− 3t− 2) = −(t+ 1)2(t− 2), dim Ker(A+ I) = 2. Por lo tanto
el endomorfismo diagonaliza y la matriz diagonal es
D =
−1 0 00 −1 0
0 0 2
 .
b) Determinemos una base de Ker(A+ I).1 3 91
3
1 3
1
9
1
3
1
xy
z
 =
00
0

v1 = (−3, 1, 0) = −3 + t, v2 = (−9, 0, 1) = −9 + t2. Falta ahora determinar una base
de Ker(A− 2I). −2 3 91
3
−2 3
1
9
1
3
−2
xy
z
 =
00
0

v3 = (9, 3, 1) = 9 + 3t+ t
2
Luego una base es {−3 + t,−9 + t2, 9 + 3t+ t2}.
c) Por el Teorema de Cayley Hamilton, sabemos que cambiando la variable del
polinomio caracteŕıstico, por el endomorfismo, obtenemos el endomorfismo cero.
Luego
A3 − 3A− 2I = 0,
por lo que
A(
1
2
A2 − 3
2
A) = I.
Teniendo en cuenta la unicidad de la matriz inversa, tenemos
A−1 =
1
2
A2 − 3
2
I.
d) La matriz cambio de base para la cual diagonaliza la matriz es
S =
−3 −9 91 0 3
0 1 1
 ,