1 - Equações Diferenciais

Prévia do material em texto

1
1 – Equações 
Diferenciais 
Definição
Uma equação diferencial (ED) é uma
equação que contém as derivadas (ou diferenciais)
de uma ou mais variáveis dependentes em relação
a uma ou mais variáveis independentes.
Exemplo 1
a) b)xy
dx
dy 2= 0=+ ydxxdy
2
Classificação
Podemos classificar as equações diferenciais
de acordo com tipo, ordem e linearidade.
Classificação por tipo
a) Equações Diferenciais Ordinárias (EDO): quando há
somente derivadas ordinárias de uma ou mais variáveis
dependentes em relação a uma única variável
independente.
b) Equações Diferenciais Parciais (EDP): equação que
envolve as derivadas parciais de uma ou mais variáveis
dependentes de duas ou mais variáveis independentes.
3
Classificação por tipo
Exemplo 2
a) EDO
b) EDP
xey
dx
dy
=+ 5 072
2
=+− y
dx
dy
dx
yd yx
dt
dy
dt
dx
+=+ 2
02
2
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
y
u
x
u
t
u
t
u
x
u
∂
∂
−
∂
∂
=
∂
∂ 22
2
2
2
x
v
y
u
∂
∂
−=
∂
∂
Notações
• notação de Leibniz:
• notação linha:
• notação de Newton (derivadas em relação ao tempo):
• notação em subscrito (derivadas parciais):
xey
dx
dy
=+ 5
xeyy =+′ 5
32−=s&&
024
4
=+ y
dx
yd
02)4( =+ yy
322
2
−=
dt
sd
representa
tttxx uuu 2−= t
u
t
u
x
u
∂
∂
−
∂
∂
=
∂
∂ 22
2
2
2
representa a EDP
4
Classificação por ordem
A ordem de uma equação diferencial (EDO ou
EDP) é a ordem da maior derivada que existe na equação.
Exemplo 3
a) é uma EDO de 2ª ordem
b) é uma EDP de 4ª ordem
c) é uma EDO de 3ª ordem
xey
dx
dy
dx
yd
=−





+ 45
3
2
2
02
2
4
4
2
=
∂
∂
+
∂
∂
t
u
x
u
a
02 =+′′′ yy
Grau de uma equação diferencial
O grau de uma equação diferencial (EDO ou EDP)
é o maior expoente da derivada de maior ordem.
Exemplo 4
a) tem grau 1
b) tem grau 3
xey
dx
dy
dx
yd
=−





+ 45
3
2
2
)(6)(3)( 103 xtgyyy =+′+′′
5
Classificação por linearidade
Dizemos que uma equação diferencial ordinária de ordem n
é linear quando for da forma
Observar duas propriedades da EDO linear:
i) A variável dependente y e todas as suas derivadas y´, y´´, ... , y (n)
são do 1º grau;
ii) Os coeficientes a0, a1, ..., an de y, y´, ... , y (n) são constantes ou
funções da variável independente x (não dependem de y).
)()()()()( 011
1
1 xgyxadx
dy
xa
dx
yd
xa
dx
yd
xa
n
n
nn
n
n =++++
−
−
−
L
Classificação por linearidade
Exemplo 5 (EDO linear)
, pode ser reescrita como
Uma EDO é dita não linear se ela não for linear.
Exemplo 6 (EDO não linear)
x
ey
dx
dy
x
dx
yd
=−+ 5 a) 3
3
02 b) =+′−′′ yyy
04)( c) =+− xdydxxy xy
dx
dy
x =+4
xeyyy =+′− 2)1( a) 0)( b) 2
2
=+ ysen
dx
yd 0 c) 24
4
=+ y
dx
yd
6
Solução de uma equação diferencial
Toda função, definida em um intervalo I que tem
pelo menos n derivadas contínuas em I, as quais quando
substituídas em uma equação diferencial de ordem n
reduzem-na a uma identidade, é denominada uma solução
dessa equação nesse intervalo.
Solução de uma equação diferencial
Exemplo 7
Verifique se a função indicada é uma solução da EDO
dada no intervalo I (-∞, ∞).
xxeyyyy
xyxy
dx
dy
==+′−′′
==
 ;02 b)
16
1
 ; a) 42/1
7
Solução de uma equação diferencial
Note que, no exemplo anterior, a função constante
y = 0 também é solução de cada EDO.
A solução de uma equação diferencial
identicamente nula no intervalo I é chamada de solução
trivial.
Solução Explícita
Uma solução na qual a variável dependente é
expressa somente em termos da variável independente e
das constantes, é chamada de solução explícita. Ou seja,
uma solução explícita é da forma y = f (x).
As soluções do exemplo 7 são exemplos de
soluções explícitas.
8
Solução Implícita
Dizemos que uma relação G(x, y) = 0 é uma
solução implícita de uma EDO, em um intervalo I
quando existe pelo menos uma função que satisfaça a
relação, bem como a equação diferencial em I.
Solução Implícita
Exemplo 8
Verifique que a relação x2 + y2 = 25 é uma solução
implícita da EDO no intervalo − 5 < x < 5.
y
x
dx
dy
−=
9
Solução Geral
Uma solução para uma equação diferencial é uma
função que satisfaz identicamente a equação.
Dada uma equação diferencial de ordem n, a
solução que representa uma família de soluções a n
parâmetros é a que contém constantes arbitrárias. Essa
solução é chamada solução geral.
Solução Geral
Exemplo 9
Mostre que
a) y(x) = A sen(x) + B cos(x) é solução geral de
b) y(x) = cex é solução geral de
.0=+′′ yy
.0=−′ yy
10
Solução Particular
A solução de uma equação diferencial que não
dependa de constantes arbitrárias é denominada solução
particular.
Solução Particular
Exemplo 10
a) Note que y(x) = sen(x) é solução particular da EDO
b) Observe que y(x) = ex é solução particular da EDO
.0=+′′ yy
.0=−′ yy
11
Solução Singular
Às vezes uma equação diferencial tem uma solução
que não pode ser obtida a partir da solução geral através
da atribuição de valores às constantes arbitrárias. Tal
solução é chamada solução singular.
Solução Singular
Exemplo 11
É possível mostrar que y = 0 é solução singular da EDO
, e que essa solução não pode ser obtida a partir
da solução geral dada por .
2
2
4
1






+= cxy
2/1xy
dx
dy
=
12
Problema de Valor Inicial (PVI)
Um problema que contenha uma equação
diferencial sujeita a algumas condições iniciais é chamado
de problema de valor inicial.
Exemplo 12
3)0( 
2)0( 
65 a)
=′
=
−=′+′′
y
y
xyy
3)0( 
0 b)
=
=−′
y
yy
Problema de Valor de Fronteira ou de Contorno
Um problema de valor de fronteira ou de
contorno consiste de uma equação diferencial sujeita a
um conjunto de restrições adicionais, que são chamadas
de condições de fronteira ou condições de contorno.
Exemplo 13
3)1(
2)0(
65
=′
=
−=′+′′
y
y
xyy