CÁLCULO 4 (3EE - 2009.2)

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO – A´REA II
MA129 (ca´lculo diferencial e integral 4) – turmas 01 e 03
GABARITO DO 3o EXERCI´CIO ESCOLAR – v. 1.0
Orientac¸a˜o: A tabela de transformadas de Laplace elementares pode ser utilizada
mas, a cada uso, deve-se indicar o nu´mero da regra utilizada (Ex.: “Regra 8”).
Notac¸a˜o: Como em [Boyce/DiPrima], a transformada de Laplace L{f(t)}(s) de
uma func¸a˜o f(t) sera´ tambe´m denotada por F (s).
Questa˜o 1 (2,0 pontos por ı´tem). Utilizando transformadas de Laplace,
encontrar a soluc¸a˜o expl´ıcita dos problemas abaixo para y(t):
1.a. y ′′(t) + y(t) = 2 upi/2(t)− 5δ
(
t− 3pi
2
)
; y(0) = 0, y ′(0) = 0;
1.b. y(t) + 2
∫ t
0
cos (t− v)y(v) dv = e−t.
Soluc¸a˜o – 1.a:
(
s2Y (s)− s y(0)− y′(0)) + Y (s) = 2 e−(pis/2)
s
− 5 e−(3pis/2),
onde se aplicaram as regras 18 (n = 2 e f = y), 12 (c = pi/2) e 17 (c = 3pi/2).
Logo: Y (s) = 2
e−(pis/2)
s(s2 + 1)
− 5e
−(3pis/2)
s2 + 1.
Denote-se por g(t) uma func¸a˜o tal
que G(s) =
1
s(s2 + 1)
=
1 + s2 − s2
s(s2 + 1)
=
1 + s2
s(s2 + 1)
− s
2
s(s2 + 1)
=
1
s
− s
s2 + 1
, o
expansa˜o em frac¸o˜es parciais que tambe´m pode ser obtida resolvendo-se um
sistema de equac¸o˜es lineares para os coeficientes do formato gene´rico da ex-
pansa˜o para este caso. Das regras 1 e 6 (a = 1), tem-se que g(t) = 1−cos (t).
Das regras 5 (a = 1) e 13 (1 e´ func¸a˜o constante), obte´m-se que:
y(t) = 2 upi/2(t) ·
(
1− cos
(
t− pi
2
))
− 5 u3pi/2(t) · sen
(
t− 3pi
2
)
∴
y(t) = 2 upi/2(t) · (1− sen (t))− 5 u3pi/2(t) · cos (t).
Por convoluc¸a˜o: Denote-se por h(t) uma func¸a˜o tal que H(s) =
e−(pis/2)
s(s2 + 1)
=
e−(pis/2)
s
· 1
s2 + 1
Pelo teorema da convoluc¸a˜o (Regra 16) e as regras 12
(c = pi/2) e 5 (a = 1), conclui-se que h(t) =
∫ t
0
sen (t− v)upi/2(v) dv.
Para 0 ≤ t ≤ pi/2: upi/2(v) = 0 para todo v em [0, t), donde h(t) = 0;
1
Para t > pi/2: h(t) =
∫ t
0
sen (t− v) upi/2(v) dv =
∫ pi/2
0
sen (t− v)����upi/2(v) dv+∫ t
pi/2
sen (t− v) upi/2(v) dv =
∫ t
pi/2
sen (t− v) dv =
∫ t−t
t−pi
2
− sen (w) dw =
∫ t−pi
2
0
sen (w) dw = − cos (w)
∣∣∣∣
t−pi
2
w=0
= cos (0)− cos (t− pi
2
) = 1− sen (t).
Combinando os resultados, tem-se que h(t) = upi/2(t) · (1− sen (t)).
1.b: Pelo teorema da convoluc¸a˜o (Regra 16) e as regras 6 (a = 1) e 2
(a = −1), conclui-se que:
Y (s) + 2
s
s2 + 1
Y (s) =
1
s− (−1) ∴
s2 + 1 + 2s
s2 + 1
Y (s) =
1
s+ 1
∴
Y (s) =
s2 + 1
(s+ 1)3
=
A
s+ 1
+
B
(s+ 1)2
+
C
(s+ 1)3
∴
s2 + 1 = A(s+ 1)2 +B(s+ 1) + C = As2 + (2A+B)s+ (A+B + C) ∴
A = 1, B = −2, C = 2 ∴ Y (s) = 1
s+ 1
− 2 1
(s+ 1)(1+1)
+
2
(s+ 1)(2+1)
∴
Pelas regras 2 (a = −1) e 11 (a = −1 e n = 1 e 2 respectivamente):
y(t) = e−t(1− 2t+ t2) ∴ y(t) = e−t(t− 1)2.
Questa˜o 2 (2,0 pontos). Seja a func¸a˜o f definida em [0, 2] por:
f(x) =
{
x, se 0 ≤ x ≤ 1;
1, se 1 < x ≤ 2.
Calcular a se´rie de Fourier associada a` extensa˜o ı´mpar de f ao intervalo
[−2, 2].
Soluc¸a˜o: Denotando-se por g tal extensa˜o ı´mpar, o fato de ser ı´mpar ja´ nos
diz que g so´ possui termos em sen
(npix
L
)
, ou seja
∞∑
n=1
bn sen
(npix
L
)
, onde
bn =
1
L
∫ L
−L
g(x) sen
(npix
L
)
dx =
2
L
∫ L
0
g(x) sen
(npix
L
)
dx =
2
L
∫ L
0
f(x) sen
(npix
L
)
dx =
6 2
6 2
∫ 2
0
f(x) sen
(npix
2
)
dx = devido a` paridade
do produto de func¸o˜es ı´mpares. Assim:
bn =
∫ 1
0
x sen
(npix
2
)
dx+
∫ 2
1
sen
(npix
2
)
dx =
2
−2
npi
x cos
(npix
2
)∣∣∣∣
1
x=0
−
∫ 1
0
−2
npi
cos
(npix
2
)
dx+
−2
npi
cos
(npix
2
)∣∣∣∣
2
x=1
=
−2
npi
[
�
�
�
�
��
cos
(npi
2
)
− 0
]
+
4
n2pi2
sen
(npix
2
)∣∣∣∣
1
x=0
+
−2
npi
[
cos
(
npi 6 2
6 2
)
−
�
�
�
�
��
cos
(npi
2
)]
=
4
n2pi2
[
sen
(npi
2
)
−XXXXsen (0)
]
+
−2
npi
(−1)n ∴ bn = 4
n2pi2
sen
(npi
2
)
+ (−1)n+1 2
npi
onde a primeira parcela se reescreve de va´rios modos, contribuindo apenas
quando n e´ ı´mpar.
Questa˜o 3 (4,0 pontos). Considere-se a equac¸a˜o da onda modificada abaixo
utt + u = uxx 0 < x < L, t > 0,
submetida a`s condic¸o˜es de contorno
u(0, t) = 0, u(L, t) = 0, t > 0,
e a`s condic¸o˜es iniciais
u(x, 0) = f(x), ut(x, 0) = 0, 0 < x < L,
onde f(x) e´ uma func¸a˜o dada. Utilizando o me´todo da separac¸a˜o de varia´-
veis para EDPs, expressar u(x, t) como uma se´rie, e expressar os coeficientes
desta se´rie em termos de f(x).
Soluc¸a˜o: Devido a` linearidade da EDP, buscam-se soluc¸o˜es na˜o-triviais dela
no formato u(x, t) = X(x)T (t) que satisfac¸am as condic¸o˜es homogeˆneas. As-
sim, X(x)T ′′(t) +X(x)T (t) = X ′′(x)T (t) ∴
X ′′(x)
X(x)
=
T ′′(t) + T (t)
T (t)
e, assim,
uma func¸a˜o de x e uma func¸a˜o de t sa˜o iguais, donde se conclui que elas sa˜o
iguais a uma constante −λ. Portanto:
X ′′(x) + λX(x) = 0 (1)
T ′′(x) + (1 + λ)T (t) = 0 (2)
Como na˜o se deseja T (t) = 0, as condic¸o˜es de contorno X(0)T (t) = u(0, t) =
0 e X(L)T (t) = u(L, t) = 0 traduzem-se por:
X(0) = 0 = X(L) (3)
3
Como na˜o se deseja X(x) = 0, a condic¸a˜o inicial X(x)T ′(0) = ut(x, 0) = 0
traduz-se por:
T ′(0) = 0 (4)
O problema de contorno revelara´ os autovalores e suas respectivas autofun-
c¸o˜es, fornecendo soluc¸o˜es na˜o-triviais:
Caso λ < 0: seja µ =
√|λ|. Da equac¸a˜o caracter´ıstica r2+λ = 0 associada a
(1), tem-se que r2 = −λ = |λ| ∴ r = ±µ ∴ X(x) = A cosh (µx)+B senh (µx).
Aplicando-se a primeira condic¸a˜o em (3), tem-se que 0 = X(0) = A ∴
X(x) = B senh (µx). A segunda condic¸a˜o nos da´ 0 = X(L) = B senh (µL),
mas µL 6= 0 ∴ senh (µL) 6= 0 ∴ B = 0 ∴ X(x) = 0;
Caso λ = 0: Da equac¸a˜o caracter´ıstica r2 = 0 associada a (1), tem-se que
r = 0 ∴ X(x) e´ uma func¸a˜o afim. De (3), tem-se que X(x) = 0;
Caso λ > 0: seja µ =
√
λ. Da equac¸a˜o caracter´ıstica r2 + λ = 0 associada
a (1), tem-se que r2 = −λ ∴ r = ±iµ ∴ X(x) = A cos (µx) + B sen (µx).
Aplicando-se a primeira condic¸a˜o em (3), tem-se que 0 = X(0) = A ∴
X(x) = B sen (µx). A segunda condic¸a˜o nos da´ 0 = X(L) = B sen (µL) ∴
B = 0 (soluc¸a˜o trivial) ou sen (µL) = 0. Mas µL > 0 ∴ µL = npi e µ =
npi
L
para n = 1, 2, 3 . . .. Obte´m-se, assim, soluc¸o˜es na˜o-triviais, mu´ltiplas na˜o-
nulas de Xn(x) = sen (µx).
Aplicando-se a (2) os valores encontrados para λ no u´ltimo caso acima,
obte´m-se a equac¸a˜o caracter´ıstica r2 + 1 + λ = 0 ∴ r2 = −(1 + λ) ∴
r = ±i
√
1 + µ2. Denote-se ν =
√
1 + µ2 ∴ T (t) = A cos (νt) + B sen (νt) ∴
T ′(t) = −νA sen (νt) + νB cos (νt). Da condic¸a˜o (4), tem-se que 0 = T ′(0) =
νB, mas ν > 0 ∴ B = 0 ∴ T (t) = A cos (νt), e ha´ soluc¸o˜es na˜o-triviais, mu´l-
tiplas na˜o-nulas de Tn(x) = sen (νt). Combinando-se linearmente as soluc¸o˜es
un(x, t) = Xn(x)Tn(t) e, assumindo-se a convergeˆncia, tem-se a soluc¸a˜o:
u(x, t) =
∞∑
n=1
cn un(x, t) =
∞∑
n=1
cn sen
(npi
L
x
)
sen
(√
1 +
(npi
L
)2
t
)
Mas f(x) = u(x, 0) =
∞∑
n=1
cn sen (µx) · 1 ∴ cn e´ o n−e´simo coeficiente de
Fourier da expansa˜o em senos da extensa˜o ı´mpar de f , donde:
cn =
2
L
∫ L
0
f(x) · sen
(npi
L
x
)
dx
4