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Amostragem de Bernoulli Método de seleção com probabilidades iguais Amostragem sem reposição Seja uma população PN, da qual se deseja selecionar uma amostra com tamanho esperado n, e seja: Selecione números aleatórios ai, i=1, 2,..,N, correspondentes à cada unidade Ui de PN, e inclua na amostra todas as unidades para as quais ai<p. Amostragem de Bernoulli Seja Ii a variável indicadora da presença de Ui na amostra: Portanto I1, I2, …, IN, são variáveis aleatórias iid, com distribuição de Bernoulli, tal que: Segue que as probabilidades de inclusão são dadas por: Amostragem de Bernoulli O tamanho real da amostra, ns, é uma variável aleatória com distribuição Binomial de parâmetros N e p. Portanto o valor esperado e a variância para o tamanho da amostra são dados por: Como as probabilidades de inclusão são perfeitmente conhecidas podemos utilizar o estimador de Horvitz-Thompson Amostragem de Bernoulli Estimador não viciado para o total populacional: A variância do estimador HT para o total se reduz a: Um estimador não viciado para a variância do estimador do total é dado por: Amostragem de Bernoulli Um estimador mais eficiente para o total amostral pode ser dado por: A variância desse estimador é pode ser aproximada por: E estimada por: Amostragem de Bernoulli Esse estimador tem variância menor que o estimador de Horvitz-Thompson, apesar de não ser não viciado Com amostras “grandes” o vício tende a zero O estimador alternativo é uma espécie de correção do estimador de Horvitz-Thompson A correção é menor quanto mais próximo ns for de seu valor esperado, n. Amostragem de Bernoulli Exemplo: um professor tinha 600 provas para corrigir e decidiu fazer uma sondagem preliminar sobre o número de aprovados através de uma amostra. Para cada uma das provas ele lançou um dado e colocou na amostra a prova quando deu o número 6. Assim ele selecionou 90 provas, corrigiu, e, destas, 60 foram aprovadas. Construa um IC95% para o total de estudantes aprovados. * * * * * * *
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