Lista 8

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ME-210 Probabilidade I
Lista 8
1. Suponha que a taxa de risco de desenvolver um caˆncer de pulma˜o para
um fumante de idade t e´
λ(t) = 0.027 + 0.00025(t− 40)2, t ≥ 40.
Supondo que um fumante de 40 anos sobreviva a todos os outros riscos, qual
e´ a probabilidade de que ele viva ate´ 50 anos sem desenvolver um caˆncer de
pulma˜o?
2. O nu´mero de automo´veis vendidos por semana por uma concessiona´ria
e´ uma v.a. com me´dia 15 e variaˆncia 4. O que voceˆ pode dizer sobre a
probabilidade de que numa semana sera˜o vendidos de 11 a 19 (inclusive)
automo´veis? E sobre a probabilidade de que sera˜o vendidos mais de 25
automo´veis?
3. A distribuic¸a˜o conjunta de X e Y e´ dada por p(x, y), onde
p(1, 1) = 1/9, p(2, 1) = 1/3, p(3, 1) = 1/9
p(1, 2) = 1/9, p(2, 2) = 0, p(3, 2) = 1/18
p(1, 3) = 0, p(2, 3) = 1/6, p(3, 3) = 1/9.
Calcule as distribuic¸o˜es marginais de X e Y . As v. a. X e Y sa˜o indepen-
dentes? Calcule a distribuic¸a˜o condicional de X dado que Y = 1.
4. Suponha que A e B escolham independentemente 3 objetos entre 10.
Calcule
(a) o nu´mero esperado de objetos escolhidos por A e B (quer dizer, os que
foram escolhidos pelos dois);
(b) o nu´mero esperado de objetos escolhidos por pelo menos um.
5. Numa eleic¸a˜o com dois candidatos 40% dos eleitores preferem o candidato
A. Durante a contagem dos votos, quando n votos ja´ foram computados, e´
calculada a proporc¸a˜o fA(n) dos eleitores que votaram em A. Qual deve ser o
valor de n para que |fA(n)−0.4| ≤ 0.05 com probabilidade de no mı´nimo 0.99?
Para estimar n, use a desigualdade de Tchebyshev e distribuic¸a˜o Normal.
6. Dois dados sa˜o lanc¸ados. Seja X a soma dos resultados, e Y a diferenc¸a
entre os resultados no primeiro e no segundo dados. Calcule Cov(X, Y ).
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7. SejamX e Y v.a. independentes, X ∼Binomial(n, p), Y ∼Binomial(m, p).
Usando func¸a˜o geratriz de momentos, mostre que X+Y e´ Binomial(n+m, p).
8. Sejam X1 e X2 v.a. independentes, Xi tem distribuic¸a˜o de Poisson com
paraˆmetro λi, i = 1, 2. Seja Z = X1+X2. Calcule a distribuic¸a˜o condicional
de X1 dado que Z = n.
9. Dois dados sa˜o lanc¸ados. Seja X o valor obtido no primeiro dado, e Y o
maior entre dois valores. Ache a distribuic¸a˜o conjunta de X e Y . As v. a.
X e Y sa˜o independentes? Calcule a distribuic¸a˜o condicional de X dado que
Y = 2.
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