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Cálculo Diferencial e Geometria Analítica
Primeira Lista Unificada - 2014.2
Bacharelado em Ciência e Tecnologia
1 Conceitos vetoriais básicos
[1] Verifique se é verdadeira ou falsa cada afirmação e justifique sua resposta.
(a) (A,B) ∈ # «AB
(b) (A,B)∼ (C ,D)⇔ # «AB = # «C D
(c) AB//C D ⇒ # «AB// # «C D
(d)
# «
AB = # «C D ⇒ A =C e B =D
(e)
# «
AB = # «C D ⇒ (A,C )∼ (B ,D)
(f)
# «
AB = # «C D ⇒ AC ∩BD =ø
(g) ‖# «AB‖ = ‖# «C D‖⇒ # «AB = # «C D
(h)
# «
AB = # «C D ⇒‖# «AB‖ = ‖# «C D‖
(i) Se
# «
AB = # «C D , então existe um único plano contendo A,B ,C e D .
(j) (A,B)∼ (C ,D)⇒‖# «AB‖ = ‖# «C D‖
[2] Seja #«v um vetor não nulo. Mostre que o vetor
#«v
‖ #«v ‖ (chamado de versor de
#«v ) é unitário com
a mesma direção e sentido que #«v .
1
2 Adição de vetores e multiplicação por escalar
[1] Encontre a soma dos vetores indicados na figura, nos seguintes casos:
Figura 1: (a) Hexágono Regular
2
Figura 2: (b) Tetraedro
Figura 3: (c) Cubo
3
Figura 4: (d) Paralelepípedo
Figura 5: (e) Hexágono Regular
4
Figura 6: (f) Hexágono Regular
[2] Calcule a soma dos seis vetores que têm por representantes segmentos orientados com ori-
gem em cada um dos vértices, e extremidade no centro de um mesmo hexágono regular.
[3] Sejam (A,B) um representante de
#«
u 6=
#«
0 , e (C ,D) um representante de
#«
v 6=
#«
0 . Mostre que
AB//C D se, e somente se, existe λ ∈R tal que
#«
u =λ
#«
v .
[4] Sendo M o ponto médio de AC , N o de BD e
#«
x =
# «
AB +
# «
AD+
# «
C B +
# «
C D , prove que
#«
x //
# «
M N .
[5] Fixados os vetores
#«
u e
#«
v , resolva os sistemas nas incógnitas
#«
x e
#«
y :
(a)
{
#«
x +2
#«
y =
#«
u
3
#«
x −
#«
y = 2
#«
u +
#«
v
(b)
{
#«
x +
#«
y =
#«
u −2
#«
v
#«
x −
#«
y = 3
#«
u
3 Soma de ponto com vetor
[1] Sejam A,B e C pontos quaisquer em E
3
. Prove que
# «
AB −
# «
AC =
# «
C B .
[2] Considere um triângulo ABC arbitrário e sejam M , N e P os pontos médios dos lados AB ,BC
e C A, respectivamente. Exprima
# «
BP ,
# «
AN e
# «
C M em função de
# «
AB e
# «
AC .
[3] Prove que o segmento que une os pontos médios de dois lados de um triângulo é paralelo ao
terceiro lado e tem por medida a metade da medida deste lado.
[4] Prove que se os pontos médios dos lados de um quadrilátero são vértices de um paralelo-
gramo.
[5] Mostre que num triângulo as retas suportes de duas medianas se encontram num único
ponto.
5
[6] Dado 4ABC , seja X um ponto no lado AB tal que a medida de X B é o dobro da medida de
AX . Exprima
# «
C X em função de
# «
C A e
# «
C B .
[7] Mostre que o segmento que une os pontos médios de dois lados de um triângulo é paralelo
ao terceiro lado e tem por medida a metade da medida deste lado.
[8] Prove que num triângulo as retas suportes de duas medianas se encontram num único ponto.
[9] Num triângulo ABC , sejam M , N e P os pontos médios dos lados AB , BC e AC , respectiva-
mente. Mostre que
# «
AN + # «BP + # «C M = #«0
[10] Dados quatro pontos A,B ,C e X tais que
# «
AX =m # «X B , exprima # «C X em função de # «C A e # «C B (e
de m).
[11] Seja O ABC um tetraedro, X o ponto de encontro das medianas do triângulo ABC . Exprima
# «
OX em termos de
# «
O A,
# «
OB e
# «
OC .
[12] Sendo ABCDEF um hexágono regular de centro O, prove que Faça
uma
fi-
gura
e
iden-
tifi-
que
os
ve-
tores
da-
dos
Faça
uma
fi-
gura
e
iden-
tifi-
que
os
ve-
tores
da-
dos
# «
AB + # «AC + # «AD+ # «AE + # «AF = 6 # «AO
[13] Seja ABCD um quadrilátero, e O um ponto qualquer. Seja P o ponto médio do segmento que
une os pontos médios das diagonais AC e BD. Prove que
P =O+ 1
4
(
# «
O A+ # «OB + # «OC + # «OD)
[14] Considere o triângulo ABC, e sejam
# «
C A = #«u , # «C B = #«v e #«w = #«u − 2 #«v . Calcule α real tal que
X =C +α#«w pertença à reta AB.
4 Dependência e Independência Linear
[1] Se { #«u , #«v , #«w } é LI e a #«u +b #«v + c #«w = #«0 , com a,b,c reais, então a = b = c = 0.
[2] SejaB := { #«u , #«v , #«w }⊂V3 um conjunto LI. Mostre queB gera todo vetor de V3.
[3] Sejam #«u , #«v e #«w LI. Mostre que, se a #«u +b #«v +c #«w =α#«u +β#«v +γ#«w , então a =α, b =β e c = γ.
[4] Mostre que, se { #«u , #«v } é LI então { #«u + #«v , #«u − #«v } também é LI. Faça um desenho ilustrando tal
situação.
[5] Suponha que os vetores #«u , #«v , #«w sejam LI. Mostre que os vetores #«u + #«v , #«u − #«v e #«u + #«v + #«w
também são LI.
[6] Diga se o conjunto { #«u , #«v , #«u /2+5 #«v } é LD ou LI. Justifique.
[7] Sejam #«u , #«v , #«w vetores de V3. Mostre que:
(a) Se { #«u , #«v , #«w } é LI, então { #«u + #«v + #«w , #«u − #«v , 3 #«v } também é LI.
(b) { #«u −2 #«v + #«w , 2 #«u + #«v +3 #«w , #«u +8 #«v +3 #«w } é LD.
6
[8] Em um triângulo ABC o ponto M é tal que 3
# «
B M = 7 # «MC . Verifique que os vetores # «AM , # «AB e
# «
AC são LD.
Sugestão: Escreva o vetor
# «
AM em função de
# «
AB e
# «
AC .
[9] Sejam ABC um triângulo arbitrário, M o ponto médio do lado AB e N um ponto em AC .
Sabendo M N é paralelo ao lado BC , mostre que N é o ponto médio do lado AC .
[10] Seja { #«u , #«v , #«w } LI. Mostre que são LI:
(a) { #«u + #«v + #«w , #«u − #«v ,3 #«v }
(b) { #«u + #«v , #«u − #«w , #«v + #«w }
[11] Mostre que { #«u −2 #«v + #«w ,2 #«u + #«v +3 #«w , #«u +8 #«v +3 #«w } é LD, quaisquer que sejam #«u , #«v , #«w ∈V3.
5 Base
[1] Fixada uma base E , verifique se são LI ou LD:
(a) #«u = (1,2,3) e #«v = (2,1,1)
(b) #«u = (1,7,1) e #«v = (1/2,7/2,1/2)
[2] Seja E uma base de V3. Mostre que #«u = (x1, y1, z1)E , #«v = (x2, y2, z2)E e #«w = (x3, y3, z3)E são LI
se, e somente se, ∣∣∣∣∣∣
x1 y1 z1
x2 y2 z2
x3 y3 z3
∣∣∣∣∣∣ 6= 0
[3] Dada uma base E , verifique se os vetores #«u = (1,−2,1)E , #«v = (0,1,3)E e #«w = (0,−1,3)E são LI
ou LD.
[4] Sabendo-se que E = ( #«e 1, #«e 2, #«e 3) é base, e
#«
f 1 = 2 #«e 1− #«e 2, #«f 2 = #«e 1− #«e 2+2 #«e 3, #«f 3 = #«e 1+2 #«e 3,
pode-se dizer que (
#«
f 1,
#«
f 2,
#«
f 3) também é base de V3? Justifique.
[5] Sendo E = ( #«e 1, #«e 2, #«e 3) base, e
#«
f 1 = #«e 1+ #«e 2+ #«e 3, #«f 2 = #«e 1+ #«e 2, #«f 3 = #«e 3,
decida se F = ( #«f 1, #«f 2, #«f 3) é base.
[6] Mostre que os vetores #«u e #«v são ortogonais se, e somente se,
‖#«u + #«v ‖2 = ‖#«u ‖2+‖#«v ‖2 (Teorema de Pitágoras)
[7] Fixemos uma base E . Ache m de modo que #«u = (1,2,2) seja combinação linear de #«v = (m−
1,1,m−2) e #«w = (m+1,m−1,2). Em seguida, determine m para que { #«u , #«v , #«w } seja LD.
[8] Seja O ABC um tetraedro, e M o ponto médio de BC .
(a) explique por que (
# «
O A,
# «
OB ,
# «
OC ) é uma base.
(b) determine as coordenadas de
# «
AM nesta base.
7
6 Mudança de base
[1] Seja E = ( #«e 1, #«e 2, #«e 3) uma base de V3, e defina
#«
f 1 = #«e 1− #«e 2
#«
f 2 = #«e 3
#«
f 3 = #«e 2+ #«e 3
(a) Mostre que F = ( #«f 1, #«f 2, #«f 3) é base.
(b) Encontre a matriz de mudança de E para F .
(c) Se #«v = (1,−1,3)F , determine as coordenadas de #«v na base E .
(d) Se #«u = (1,−1,3)E , determine as coordenadas de #«u na base F .
[2] Sejam E e F bases de V3. Sabendo-se que M é a matriz de mudança de E para F , mostre que
M−1 é a matriz de mudança de F para E .
[3] Sejam E , F e G bases de V3 e suponha que M e N são as matrizes de mudança de E para F e,
de F para G , respectivamente. Mostre que M N é a matriz de mudança de E para G .
[4] Suponha que E = ( #«e 1, #«e 2,