A maior rede de estudos do Brasil

Grátis
34 pág.
Lista 1 e 2

Pré-visualização | Página 2 de 7

#«e 3), F = ( #«f 1, #«f 2, #«f 3) e G = ( #«g 1, #«g 2, #«g 3) são bases, onde
#«e 1 = #«f 1+2 #«f 2
#«e 2 = #«f 1− #«f 3
#«e 3 = #«f 2+ #«f 3
e

#«g 1 = #«e 1−2 #«e 2
#«g 2 = #«e 1+ #«e 3
#«g 3 = #«e 2− #«e 3
Encontre as matrizes de mudanças de
(a) E para F ;
(b) F para G ;
(c) E para G ;
(d) F para E ;
(e) G para F ;
(f) G para E .
[5] Seja E = ( #«e 1, #«e 2, #«e 3) uma base e defina
#«
f 1 = #«e 1−3 #«e 2
#«
f 2 = #«e 2+ #«e 3
#«
f 3 = #«e 1− #«e 2
(a) Mostre que F = ( #«f 1, #«f 2, #«f 3) é base.
(b) Sendo #«u = 3 #«e 1+4 #«e 2− #«e 3, encontre as coordenadas de #«u em relação à base F .
7 Ângulo entre vetores e Produto Escalar
Observação: Nesta seção, está fixada uma base ortonormal.
[1] Sejam #«u , #«v e #«w arbitrários. Mostre que
#«u · ( #«v + #«w)= #«u · #«v + #«u · #«w (distributividade) e #«u · #«v = #«v · #«u (comutatividade)
8
[2] Mostre que #«u e #«v são ortogonais se, e somente se, #«u · #«v = 0.
[3] Se #«u = (2,1,−1) e #«v = (1,−1,2), encontre um vetor não nulo #«w tal que #«u · #«w = #«v · #«w = 0.
[4] Encontre, nos seguintes casos, o valor de x que torna #«u e #«v ortogonais:
(a) #«u = (x+1,1,2), #«v = (x−1,−1,−2);
(b) #«u = (x, x,4), #«v = (4, x,1);
(c) #«u = (x,−1,4), #«v = (x,−3,1).
[5] Seja #«v = (2,3,−1) e #«w = (2,−4,6).
(a) Encontre todos os vetores #«u que satisfazem ‖#«u ‖ = 3p3, #«u⊥#«v e #«u⊥#«w .
(b) Qual dos vetores encontrados em (a) forma um ângulo agudo com o vetor (1,0,0)?
[6] Calcule o cosseno do ângulo formado por duas diagonais de um cubo.
[7] Se A,B ,C são vértices de um triângulo equilátero de lado unitário, calcule:
# «
AB · # «BC + # «BC · # «C A+ # «C A · # «AB .
[8] Se #«u + #«v + #«w = #«0 , ‖#«u ‖ = 3/2, ‖#«v ‖ = 1/2, ‖#«w‖ = 2, calcule
#«u · #«v + #«v · #«w + #«w · #«u .
[9] (Desigualdade Cauchy-Schwarz) Sejam #«u , #«v ∈V3. Mostre que
|#«u · #«v | ≤ ‖#«u ‖ ·‖#«v ‖
[10] Seja ( #«e 1,
#«e 2,
#«e 3) uma base ortonormal. Dado
#«u ∈V3, mostre que
#«u = ( #«u · #«e 1) #«e 1+ ( #«u · #«e 2) #«e 2+ ( #«u · #«e 3) #«e 3.
[11] Seja #«v um vetor não nulo fixado. Dado um vetor #«w , mostre que existe um único par ( #«w 1,
#«w 2)
de vetores tal que #«w 1//
#«v , #«w 1 ⊥ #«v e #«w 1+ #«w 2 = #«w ; #«w 1 chama-se projeção de #«w na direção de
#«v (ou sobre #«v ). Notação: #«w 1 = proj #«v #«w .
[12] Dados #«w e um vetor não nulo #«v , mostre que proj #«v
#«w =
#«w · #«v
‖#«v ‖2
#«v . Conclua que proj #«v
#«w =
( #«w · #«v ) #«v , se #«v é unitário.
[13] Dada uma base ortonormal ( #«e 1,
#«e 2,
#«e 3), mostre que, para todo
#«u ∈V3,
#«u = proj #«e 1 #«u +proj #«e 2 #«u +proj #«e 3 #«u
[14] Dada a base ( #«e 1,
#«e 2,
#«u ), onde #«e 1 e
#«e 2 são unitários e ortogonais, obtenha uma vetor
#«e 3 tal
que ( #«e 1,
#«e 2,
#«e 3) é uma base ortonormal.
[15] (Processo de ortonormalização de Gram-Schmidt) Dada a base (
#«
f 1,
#«
f 2,
#«
f 3), encontre uma
base ortonormal ( #«e 1,
#«e 2,
#«e 3) tal que
#«e 1//
#«
f 1 e
#«e 2 seja combinação linear de
#«
f 1 e
#«
f 2.
[16] Dizemos que uma matriz quadrada M é ortogonal se M M t = M t M = I (matriz identidade).
Sejam E e F bases ortonormais deV3. Mostre que a matriz de mudança de E para F é ortogo-
nal. Conclua que, neste caso, MF E =M tEF e |det MEF | = 1.
9
8 Orientação
Observação: Nesta seção, E é uma base fixada de V3,A é o conjunto das bases com a mesma
orientação que E eB, as bases com orientação oposta.
[1] Suponha que E tem a mesma orientação que F . Mostre que F ∈A .
[2] Existe alguma base de V3 simultaneamente emA eB? Justifique.
[3] Mostre que duas bases quaisquer emB têm a mesma orientação.
[4] Sejam F ∈A e G ∈B. Mostre que F e G têm orientação oposta.
[5] Mostre que, se E tem a mesma orientação que F e, F tem a mesma orientação que G , então E
tem a mesma orientação que G .
[6] Mostre que as bases E = ( #«e 1, #«e 2, #«e 3) e F = (−#«e 1+ #«e 2, #«e 2, #«e 3) têm orientação oposta.
[7] Suponha que E = ( #«e 1, #«e 2, #«e 3) e F = ( #«e 1, #«e 2, #«u ) são bases com a mesma orientação. Mostre
que, se #«e 3//
#«u então existe λ> 0 tal que #«u =λ#«e 3. Conclua que #«u = #«e 3 se ‖#«u ‖ = ‖#«e 3‖.
[8] Suponha que E = ( #«e 1, #«e 2, #«e 3) e F = ( #«e 1, #«e 2, #«u ) são bases de orientação oposta. Mostre que,
se #«e 3//
#«u então existe λ< 0 tal que #«u =λ#«e 3. Conclua que #«u =−#«e 3 se ‖#«u ‖ = ‖#«e 3‖.
[9] Suponha que E = ( #«e 1, #«e 2, #«e 3). Em cada caso decida se F ∈A ou F ∈B, sendo F = ( #«f 1, #«f 2, #«f 3):
(a)
#«
f 1 = −#«e 1+ #«e 2−2 #«e 3
#«
f 2 = −2 #«e 1+ #«e 2
#«
f 3 = #«e 1+ #«e 3
(b)
#«e 1 = −2 #«f 1
#«e 2 = #«e 2− #«f 3
#«e 3 = #«f 1+ #«f 2+ #«f 3
[10] Sejam ( #«e 1,
#«e 2,
#«e 3) e (a
#«e 1,b
#«e 2,c
#«e 3) bases positivas. Qual é a relação entre a,b e c?
[11] Seja F uma base ortonormal obtida a partir de E através do processo de ortonormalização de
Gram-Schmidt. Mostre que F ∈A .
[12] Considere a matriz
M(t ) :=
1+2t −t 0−t 1− t −3t
t 2t 1+4t

(a) Que valores deve tomar t para que M(t ) seja a matriz de mudança de E para uma base
F (t )?
(b) Especifique os valores de t para os quais E e F (t ) ∈A , e os valores para os quais F (t ) ∈B.
(c) Existe t tal que F (t )= E?
(d) Seja t0 o menor inteiro positivo para o qual F (t0) é base. Exprima cada vetor de F (t0)
como combinação linear dos vetores de E .
10
9 Produto Vetorial
Observação: Nesta seção, está fixada uma base E = ( #«i , #«j , #«k ) ortonormal positiva.
[1] (Identidade de Lagrange) Prove que ‖#«u ∧ #«v ‖2 = ‖#«u ‖2‖#«v ‖2− ( #«u · #«v )2.
[2] Seja θ a medida do ângulo entre os vetores #«u e #«v . Mostre que
‖#«u ∧ #«v ‖ = ‖#«u ‖ ·‖#«v ‖sinθ
[3] Sejam #«u e #«v em V3. Mostre que #«u ∧ #«v = #«0 se, e somente se, #«u e #«v são LD.
[4] Mostre que #«u ∧ #«v =−#«v ∧ #«u , para quaisquer #«u , #«v ∈V3. [O produto vetorial não é comutativo]
[5] Calcule (
#«
j ∧ #«j )∧ #«i e #«j ∧ ( #«j ∧ #«i ), e conclua que o produto vetorial não é associativo.
[6] Demonstre as seguintes propriedades:
(a) #«u ∧ ( #«v 1+ #«v 2)= #«u ∧ #«v 1+ #«u ∧ #«v 2
(b) ( #«u 1+ #«u 2)∧ #«v = #«u 1∧ #«v + #«u 2∧ #«v
(c) #«u ∧ (λ#«v )= (λ#«u )∧ #«v =λ( #«u ∧ #«v )
[7] Sejam #«u e #«v vetores linearmente independentes.
(a) Mostre que #«u ∧ #«v é ortogonal aos vetores #«u e #«v .
(b) Use o item (a) para verificar que #«u , #«v e #«u ∧ #«v são linearmente independentes.
(c) Conclua que F = ( #«u , #«v , #«u ∧ #«v ) é uma base positiva de V3.
[8] Calcule ‖#«u ‖ sabendo-se que ‖#«u ∧ #«v ‖ = 4p2, ‖#«v ‖ = 2 e o ângulo entre #«u e #«v é 45◦.
[9] Sabendo-se que a área do paralelogramo gerado pelos vetores #«u = (1,1, x) e #«v = (−1,1,0) é
igual a
p
22, encontre o valor de x.
[10] Mostre que, se #«u + #«v + #«w = #«0 então #«u ∧ #«v = #«v ∧ #«w = #«w ∧ #«u .
[11] Calcule a área do triângulo ABC, sendo
# «
AC = (−1,1,0) e # «AB = (0,1,3).
[12] Sendo ABCD um tetraedro regular de lado unitário, calcule ‖# «AB ∧ # «AC‖.
[13] Calcule o momento em relação ao ponto O da força
#«
F = (−1,3,4), aplicada ao ponto P tal que
# «
OP = (1,1,1) [este momento é # «OP ∧ #«F ].
[14] Ache um vetor unitário ortogonal a #«u = (1,−3,1) e a #«v = (−3,3,3).
[15] Dados #«u = (1,1,1), #«v = (0,1,2), ache uma base ortonormal positiva ( #«e 1, #«e 2, #«e 3) tal que
(i) #«e 1//
#«u , #«e 1 tem o mesmo sentido que
#«u .
(ii) #«e 2 é combinação linear de
#«u e #«v , e sua primeira coordenada é positiva.
[16] Prove que ( #«u + #«v )∧ ( #«u − #«v )= 2( #«u ∧ #«v ).
11
[17] Sejam #«u e #«v vetores linearmente independentes e suponha que
#«w ∧ #«u = #«w ∧ #«v = #«0 .
Mostre que #«w = #«0 . Interprete geometricamente.
[18] Mostre que a altura do4ABC relativa ao lado AB mede
h = ‖
# «
AB ∧ # «AC‖
‖# «AB‖
[19] Seja F uma base qualquer deV3 e considere