APOSTILA REVISÃO MATEMÁTICA - COLÉGIO OBJETIVO - TERCEIRÃO 4º BIMESTRE

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– 1
FRENTE 1 Álgebra
MÓDULO 49 Permutações
1. PERMUTAÇÕES SIMPLES
São arranjos simples de n ele -
men tos tomados k a k em que n = k.
Assim, permutações simples são
agru pamentos que diferem entre si
apenas pela ordem de seus ele -
mentos.
Podemos dizer que uma per mu -
ta ção de n elementos é qualquer
agru pa mento orde nado desses n ele -
mentos.
Por exemplo, as permuta ções dos
elementos distintos A, B e C são ABC,
ACB, BAC, BCA, CAB e CBA.
O número de permutações sim -
ples de n elementos é dado por
2. PERMUTAÇÃO 
COM REPETIÇÃO
Sejam α elementos iguais a a, β
elementos iguais a b, γ elementos
iguais a c, . . ., λ elementos iguais a l,
num total de α + β + γ + ... + λ = n
elementos.
O número de permutações dis -
tintas que podemos obter com esses
n elementos é
3. PERMUTAÇÕES
CIRCULARES
O número de permutações cir cu -
lares de n elementos é dado por 
 
n!
Pn = An,n = ––––––––– = n!(n – n)!
Pn = n!
n!
Pn
(α, β, γ, ..., λ)
= ––––––––––––––––
α! . β! . γ! … λ!
P’n = (n – 1)!
1. COMBINAÇÕES SIMPLES
São agrupamentos que diferem
entre si apenas pela natureza de
seus elementos.
Podemos dizer que uma com -
 binação de n elementos dis tintos to -
mados k a k ( n ≥ k) é uma escolha
não ordenada de k dos n elementos
dados.
Por exemplo, as combinações
dos 4 elementos distintos A, B, C e D,
tomados 3 a 3, são ABC, ABD, ACD
e BCD.
É bom notar que ABC e BAC,
bem como todas as permutações de
A, B e C, representam a mesma com -
binação. O mesmo acontece com
cada um dos agrupamentos ABC,
ACD e BCD.
O número de combinações sim -
ples de n elementos, tomados k a k,
ou classe k (n ≥ k), é dado por
2. ARRANJOS 
COM REPETIÇÃO
O número de arranjos com repe -
tição de n elementos k a k é dado por
3. COMBINAÇÕES 
COM REPETIÇÃO
O número de combinações com
repetição de n elementos k a k é dado
por
An,k n! n 
Cn,k = –––––– = –––––––––– =� �Pk k!(n – k)! k 
n!
Cn,k = ––––––––––k!(n – k)!
A*n, k = n
k
n + k – 1
C*n,k = Cn+k – 1,k = ( )k
1. CONCEITO DE 
PROBABILIDADE
Seja uma experiência em que
pode ocorrer qualquer um de n
resultados possíveis. Cada um dos n
resultados possíveis é chamado
ponto amostral e o conjunto S de
todos os pontos amostrais é chamado
espaço amostral; qualquer sub -
con junto A do espaço amostral S é
chamado de evento.
Chama-se probabilidade de ocor -
rer um evento A de um espaço amos 
tral S ≠ Ø ao número ,
em que n(A) é o nú mero de elementos
n(A)
P(A) = –––––
n(S)
MÓDULO 52 Probabilidade, Definição e União de Eventos
MÓDULOS 50 e 51
Combinações Simples e Arranjos 
e Combinações com Repetição
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de A, e n(S) é o número de elementos
de S.
Na prática, costuma-se dizer que
probabilidade é o quociente entre
o número de casos favoráveis,
que é n(A), e o número de casos
possíveis, que é n(S).
2. PROPRIEDADES
Sendo S ≠ Ø um espaço qual quer,
A, um evento de S e A
—
, o com -
plementar de A em S, valem as
seguintes propriedades:
• P(Ø) = 0
• P(S) = 1
• 0 ≤ P(A) ≤ 1
• P(A) + P(A
—
) = 1
3. UNIÃO DE DOIS EVENTOS
Sejam A e B dois eventos de um
espaço amostral S ≠ Ø.
A probabilidade de ocorrer A ou
B é dada por
Observe que o número de ele -
mentos de A ∪ B, n(A ∪ B), é dado por
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) ⇔
⇔ = + – ⇔
⇔ P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B).
Se A ∩ B = Ø, A e B são chama -
dos eventos mutuamente exclusivos.
Neste caso,
Se A ∩ B = Ø e A ∪ B = S, A e B
são chamados eventos exaustivos.
Então,
Generalizando: sejam n eventos
A1, A2, A3, ..., An de um espaço
amostral S, tais que
A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ ... ∪ An = S.
Assim, 
P(A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ ... ∪ An) =
= P(S) = 1
Além disso, se A1, A2, A3, ... , An
são, dois a dois, mutuamente exclu si -
vos, então eles são eventos exausti vos.
Assim sendo,
P(A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ ... ∪ An) =
= P(A1) + P(A2) + P(A3) + ... + P(An) = 1
✍ Exercício Resolvido
Numa urna, existem 10 bolas nu -
meradas de 1 a 10. Retirando-se,
ao acaso, uma bola dessa urna,
qual a probabilidade de se ter
a) um múltiplo de 2 ou um múlti -
plo de 3?
b) um número ímpar ou um múlti -
plo de 6?
Resolução
O espaço amostral é
S = {1; 2; 3; ... ; 10} e n(S) = 10.
a) 1) O evento “múltiplo de 2” é
A = {2; 4; 6; 8; 10} e n(A)= 5.
2) O evento “múltiplo de 3” é 
B = {3; 6; 9} e n(B) = 3.
3) A ∩ B = {6} e n(A ∩ B) = 1.
4) P(A) = = ,
P(B) = = e
P(A ∩ B) = = .
5) P(A∪B) =P(A) + P(B) – P(A ∩ B).
Logo,
P(A ∪ B) = 
= + – = = 70%
b) 1) O evento “número ímpar” é 
A = {1; 3; 5; 7; 9} e n(A) = 5.
2) O evento “múltiplo de 6” é
B = {6} e n(B) = 1.
3) A ∩ B = Ø e n(A ∩ B) = 0 
(A e B são mutuamente ex -
clusivos).
4) P(A) = = ,
P(B) = = e
P(A ∩ B) = 0.
5) P(A ∪ B) =
=P(A)+P(B)–P(A∩B)=P(A)+P(B)
Logo,
P(A∪B)= + = = 60%.
Respostas: a) 70% b) 60%
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
n(A ∪ B)
––––––
n(S)
n(A)
––––
n(S)
n(B)
––––
n(S)
n(A ∩ B)
––––––
n(S)
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = 1
5
––
10
n(A)
––––
n(S)
3
––
10
n(B)
––––
n(S)
1
–––
10
n(A ∩ B)
––––––––
n(S)
7
––
10
1
––
10
3
––
10
5
––
10
5
––
10
n(A)
––––
n(S)
1
––
10
n(B)
––––
n(S)
6
––
10
1
––
10
5
––
10
2 –
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MÓDULO 53
Probabilidade Condicional 
e Intersecção de Eventos
1. PROBABILIDADE
CONDICIONAL
Dados dois eventos A e B de um
espaço amostral S ≠ Ø, chama-se
proba bilidade de A condicionada a B
a probabilidade de ocorrer A, saben -
do-se que já ocorreu ou vai ocorrer o
evento B.Indica-se por P(A/B).
Observe que 
P(A/B) = ⇔
⇔ P(A/B) = ⇔
⇔ P(A/B) =
2. EVENTOS 
INDEPENDENTES
Os eventos A e B de um espaço
amos tral S são independentes se
.
3. INTERSECÇÃO 
DE DOIS EVENTOS
❑ Propriedade
Se A e B são independentes,
então P(B/A) = P(B) e
.
P(A ∩ B)
P(A/B) = –––––––––––
P(B)
n(A ∩ B)
–––––––––
n(B)
n(A ∩ B)
–––––––––
n(S)
––––––––––––
n(B)
––––
n(S)
P(A ∩ B)
––––––––
P(B)
P(A/B) = P(A) OU P(B/A) = P(B)
P(A ∩ B) = P(A) . P(B/A) = P(B) . P(A/B)
A e B independentes ⇔
⇔ P(A ∩ B) = P(A) . P(B)
A e B dependentes ⇔
⇔ P(A ∩ B) ≠ P(A) . P(B) 
P(A ∩ B) = P(A) . P(B)
MÓDULO 54 Lei Binomial de Probabilidade
Considere uma experiência que é
realizada várias vezes, sempre nas
mes mas condições, de modo que o
resul tado de cada uma seja indepen -
dente das demais. Considere, ainda,
que cada vez que a experiência é rea -
li zada ocorre, obrigatoriamente, um
evento A cuja probabili da de é
p ou o complemento A
—
cuja
probabilidade é 1 – p.
1. PROBLEMA
Realizando-se a experiência des -
cri ta exatamente n vezes, qual é a
probabilidade de ocorrer o evento A
somente k vezes?
2. RESOLUÇÃO DO PROBLEMA
a) Se ocorre apenas k vezes o
evento A, num total de n experiên -
cias, então deverá ocorrer exata men -
te n – k vezes o evento A
—
.
b) Se a probabilidade de ocorrer
o evento A é p e do evento A
—
é 
1 – p, então a probabilidade de ocor -
rer k vezes o evento A e n – k
vezes o evento A
—
, numa certa
ordem, é
p . p . p . ... . p .
k fatores
. (1 – p) . (1 – p) . (1 – p) . ... . (1 – p) =
(n – k) fatores
= pk . (1 – p)n – k
c) As k vezes em que ocorre o
evento A são quaisquer entre as n
vezes possíveis. O número de manei -
ras de escolher k vezes o evento A é,
pois, Cn, k.
d) Existem, portanto, Cn,k even -
tos diferentes, todos com a mesma
probabilidade pk . (1 – p)n – k e,
assim sendo, a probabilidade procu -
ra da é
Observações
a) Fala-se em lei binomial de pro -
babilidade, porque a fórmula repre sen -
ta o termo Tk + 1 do de sen vol vi men to
de [p + (1 – p)]n.
b) O número Cn, k pode ser subs -
tituído por Cn, n – k ou Pn
k, n – k, já que
Cn, k = Cn, n – k = Pn
k, n – k = .
Cn,k . p
k . (1 – p)n – k
n!
–––––––––
k! (n – k)!
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4 –
O número real x que substitui ca da um dos números
reais x1, x2, x3, … xn é a sua média. Podemos ter:
• Média aritmética
x1 + x2 + x3 + … + xn =
= x + x + x + … + x ⇒
⇒
• Média geométrica
x1 . x2 . x3 . … xn =
= x . x . x . … x ⇒
⇒
• Média harmônica
1 1 1 1
––– + ––– + ––– + … + ––– = 
x1 x2 x3 xn
1 1 1 1
= –– + –– + –– + … + –– ⇒
x x x x
⇒
• Média aritmética ponderada
P1 . x1 + P2 . x2 + … + Pn . xn =
= P1 . x + P2 . x + … + Pn . x ⇒
⇒
x1 + x2 + x3 +…+ xnx = ––––––––––––––––––––––
n
xn = x1 . x2 . x3 . … xn
1
x = ––––––––––––––––––––––––––––
1 1 1 1
––– + ––– + ––– + … + ––– 
x1 x2 x3 xn––––––––––––––––––––––––––n
P1 . x1+P2 .x2+…+Pn . xn
x = ––––––––––––––––––––––––––––
P1 + P2 + … + Pn
MÓDULO 55 Médias
MÓDULO 56 Noções de Estatística I
1. CONCEITO
Estatística é um ramo da Mate -
mática Aplicada. A palavra Estatística
provém da palavra latina Status e é
usada em dois sentidos:
• ESTATÍSTICAS (no plural) refe -
rem-se a dados numéricos e são
informações sobre determinado as -
sunto, coisa, grupo de pessoas etc.
obtidas por um pesquisador.
• ESTATÍSTICA (no singular) sig -
 nifica o conjunto de métodos usa dos
na condensação, aná li ses e inter -
pretações de dados numéri cos.
De um modo geral, conceitua-se
Estatística da seguinte forma:
É ciência, quando estuda popu la -
ções; é método, quando serve de
instrumento a uma outra ciência. É
tam bém arte, ciência-método e mé to -
do-ciência, segundo vários trata dis -
tas, daí advindo uma varie dade de
de finições. Eis algumas:
“Conjunto dos processos que tem
por objeto a observação, a clas si -
ficação formal e a análise dos fenô -
menos coletivos ou de massa, e por
fim a indução das leis a que tais fe -
nômenos obedecem globalmente”
(Mil ton da Silva Rodrigues).
“A Estatística é a parte da Mate -
mática Aplicada que se ocupa em ob -
ter conclusões a partir de dados
observados” (Ruy Aguiar da Silva
Leme).
“A Estatística é o estudo numé -
rico dos fatos sociais” (Levasseur).
“É observação metódica e tão
uni versal quanto possível dos fatos
con siderados em globo, reduzidos a
grupos homogêneos e interpretados
mediante a indução matemática”
(Ferraris).
2. POPULAÇÃO E AMOSTRA
❑ População
É um conjunto de elementos
com uma característica comum.
O termo é mais amplo que no
sen so comum, pois envolve aglo me -
ra do de pessoas, objetos ou mesmo
ideias. 
Exemplo
Todos os alunos do Ensino Médio
do Brasil.
❑ Amostras 
São subconjuntos da população,
que conservam, portanto, a carac te -
rís tica comum da população e são re -
tira das por técnicas adequadas,
cha madas de amostragem. 
Exemplo
500 alunos do Ensino Médio do
Brasil.
❑ Parâmetros
São características numéricas da
população. 
Exemplo
QI médio dos estudantes do En -
sino Médio do Brasil.
❑ Estimativas
Em geral, por problemas de tem -
po e dinheiro, trabalha-se com amos -
tras e não com a população.
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Os elementos numéricos carac-
terísticos de uma amostra são esti ma -
tivas dos elementos corres pon dentes
na população, que são os parâ me -
tros.
3. DISTRIBUIÇÃO DE 
FREQUÊNCIAS
Quando se vai fazer um levan ta -
men to de uma população, um dos
pas sos é retirar uma amostra dessa
população e obter dados relativos à
variável desejada nessa amostra.
Cabe à Estatística sintetizar es ses
dados na forma de tabelas e gráficos
que contenham, além dos va lores das
variáveis, o número de ele mentos
correspondentes a cada variável.
Ilustramos, a seguir, esse proce -
dimento, acompanhando com um
exem plo.
❑ Dados brutos
É o conjunto dos dados numéri -
cos obtidos e que ainda não foram
organizados.
Exemplo
A partir de uma lista de chama -
da, em ordem alfabética, obteve-se o
conjunto de alturas, em cm, de 20
estudantes:
168, 168, 163, 164, 160, 160,
164, 166, 169, 169, 166, 168,
162, 165, 165, 164, 168, 166,
161, 168.
❑ Rol
É o arranjo dos dados brutos em
ordem crescente (ou decrescente).
No exemplo apresentado, temos
o seguinte rol:
160, 160, 161, 162, 163, 164,
164, 164, 165, 165, 166, 166,
166, 168, 168, 168, 168, 168,
169, 169.
❑ Amplitude total (H)
É a diferença entre o maior e o
me nor dos valores observados. No
exemplo: 
H = 169 – 160 ⇒ H = 9
❑ Frequência absoluta ( fi ) 
É o número de vezes que o
elemento aparece na amostra:
❑ Frequência relativa ( fr )
É dada por:
em que n é o número de elementos da
amostra ( n = ∑ fi )
Observe que ∑ fr = 1
❑ Frequência relativa 
percentual ( ƒ% )
❑ Frequência absoluta 
acumulada (fa)
É a soma da frequência do valor
da variável com todas as frequências
anteriores:
❑ Frequência relativa 
acumulada ( fra )
É a soma da frequência relativa
do valor da variável com todas as
frequências relativas anteriores.
❑ Frequência percentual
acumulada ( ƒ%a )
❑ Distribuição de
frequências
É o arranjo dos valores da variá -
vel e suas respectivas frequências.
fi
fr = –––n
xi fi
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
2
1
1
1
3
2
3
0
5
2
∑ 20
xi fi fr
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
2
1
1
1
3
2
3
0
5
2
2 ÷ 20 = 0,10
1 ÷ 20 = 0,05
1 ÷ 20 = 0,05
1 ÷ 20 = 0,05
3 ÷ 20 = 0,15
2 ÷ 20 = 0,10
3 ÷ 20 = 0,15
0 ÷ 20 = 0
5 ÷ 20 = 0,25
2 ÷ 20 = 0,10
∑ 20 1,00
ƒ% = fr . 100
xi fi fr f%
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
2
1
1
1
3
2
3
0
5
2
0,10
0,05
0,05
0,05
0,15
0,10
0,15
0
0,25
0,10
10
5
5
5
15
10
15
0
25
10
∑ 20 1,00 100
xi fi fr f% fa
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
2
1
1
1
3
2
3
0
5
2
0,10
0,05
0,05
0,05
0,15
0,10
0,15
0
0,25
0,10
10
5
5
5
15
10
15
0
25
10
0 + 2 = 2
2 + 1 = 3
3 + 1 = 4
4 + 1 = 5
5 + 3 = 8
8 + 2 = 10
10 + 3 = 13
13 + 0 = 13
13 + 5 = 18
18 + 2 = 20
∑ 20 1,00 100
ƒ%a = fra . 100
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6 –
4. CLASSES
O número de elementos de uma
amostra, de um modo geral, é gran de.
Para condensá-los, os valo res obtidos
devem ser, normalmente, distribuídos
em classes.
A distribuição de frequências 
dos dados de uma amostra distri -
buídos em classes é idêntica à que é
feita com cada valor da variável, ado -
tan do-se as seguintes normas:
❑ O número de classes (nc)
É da ordem de ���n, em que n é o
número total de elementos da amos -
tra.
❑ A amplitude da classe (h)
É, aproximadamente, o quocien te
entre a amplitude total (H) e o número
de classes (nc).
❑ O ponto médio 
da classe (PM)
É a média aritmética entre o limi -
te inferior e o limite superior de cada
classe. É o valor da variável que re pre -
senta a classe: PM = Xi.
❑ Exercício
Num teste de raciocínio numéri co,
obtiveram-se os seguintes da dos
brutos:
nc � ���n
H
h � ––––
nc
xi fi fr f% fa fra f%a
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
2
1
1
1
3
2
3
0
5
2
0,10
0,05
0,05
0,05
0,15
0,10
0,15
0
0,25
0,10
10
5
5
5
15
10
15
0
25
10
2
3
4
5
8
10
13
13
18
20
0,10
0,15
0,20
0,25
0,40
0,50
0,65
0,65
0,90
1,00
10
15
20
25
40
50
65
65
90
100∑ 20 1,00 100
76 – 60 – 41 – 55 – 78 – 48 –
69 – 85 – 67 – 39 – 60 – 85 – 
57 – 74 – 65 – 84 – 77 – 65 –
52 – 33 – 80 – 61 – 45 – 77 – 
53 – 59 – 73 – 55 – 91 – 41 –
94 – 65 – 94 – 98 – 89 – 88 –
66 – 66 – 73 – 42 – 71 – 35 – 
68 – 54 – 47 – 74 – 64 – 35 –
50 – 61
Fazer a distribuição de fre -
quên cias dos dados dessa amos -
tra, distribuindo-os em classes.
❑ Resolução
• Cálculo do rol
33 – 35 – 35 – 39 – 41 – 41 –
42 – 45 – 47 – 48 – 50 – 52 –
53 – 54 – 55 – 55 – 57 – 59 –
60 – 60 – 61 – 61 – 64 – 65 –
65 – 65 – 66 – 66 – 67 – 68 –
69 – 71 – 73 – 73 – 74 – 74 –
76 – 77 – 77 – 78 – 80 – 84 –
85 – 85 – 88 – 89 – 91 – 94 –
94 – 98
• Cálculo da 
amplitude total
H = 98 – 33 = 65
• Cálculo do 
número de classes
nc ≅ ���n 
nc ≅ �����50 ≅ 7
• Cálculo da 
amplitude de classe
h = = ≅ 9,3 
Adotaremos h = 10.
65
––––
7
H
––––
nc
• Distribuição de frequências
Classes PM fi fr f% fa fra f%a
30 � 40
40 � 50
50 � 60
60 � 70
70 � 80
80 � 90
90 � 100
35
45
55
65
75
85
95
4
6
8
13
9
6
4
0,08
0,12
0,16
0,26
0,18
0,12
0,08
8
12
16
26
18
12
8
4
10
18
31
40
46
50
0,08
0,20
0,36
0,62
0,80
0,92
1,00
8
20
36
62
80
92
100
∑ 50 1,00 100
5. REPRESENTAÇÃO GRÁFICA
DA DISTRIBUIÇÃO DE
FREQUÊNCIAS
As tabelas de distribuição de
frequências vistas no item 4 podem
ser representadas graficamente. 
A finalidade principal disso é
fornecer as infor mações analíticas de
uma maneira mais rápida. Descre -
veremos apenas três tipos de grá -
ficos: histogramas, polí gonos de
fre quên cias e polígonos de frequên -
cias acumuladas.
❑ Histogramas
É a representação gráfica de uma
distribuição de frequências por meio
de retângulos justapostos. No
eixo das abscissas, temos os limi tes
das classes e no eixo das or de nadas,
as frequências (fi ou fr ou ƒ%).
❑ Polígono de frequências
É um gráfico de linhas que se
obtém unindo os pontos médios dos
pa tamares dos retângulos do his to -
grama.
C4_3oMAT_TEO_CONV_Rose 04/03/11 08:38 Página 6
– 7
❑ Polígono de frequências acumuladas
Polígono de frequências acu mu ladas ou OGIVA DE
GALTON é uma representação gráfica que tem no eixo
das abscissas os limites das classes e no eixo das
ordenadas, as fre quências acumuladas (fa ou fra ou ƒ%a)
que se situam abaixo de um determinado limite superior.
❑ Exemplo
Fazer a representação gráfica da distribuição de
frequências apresen tada na tabela a seguir:
Observações
– Conforme vemos na figura, o his to grama e o polí -
gono de fre quên cias em termos de fi, fr e ƒ% têm
exatamente o mesmo as pec to, mudando apenas a
es cala vertical.
– Observe que, como o 1o. valor é bem maior que zero,
adotamos aproximá-lo do zero segundo a con -
venção:
Classes PM fi fr f% fa fra f%a
30 � 40
40 � 50
50 � 60
60 � 70
70 � 80
80 � 90
90 � 100
35
45
55
65
75
85
95
4
6
8
13
9
6
4
0,08
0,12
0,16
0,26
0,18
0,12
0,08
8
12
16
26
18
12
8
4
10
18
31
40
46
50
0,08
0,20
0,36
0,62
0,80
0,92
1,00
8
20
36
62
80
92
100
∑ 50 1,00 100
6. MEDIDAS DE POSIÇÃO
As medidas de posição servem para localizar os
dados sobre o eixo da variável em questão. As mais im -
por tantes são: a média, a me dia na e a moda.
A média e a mediana tendem a se localizar em
valores centrais de um conjunto de dados. Por essa ra -
zão, costuma-se dizer que são me didas de
tendência central. A moda, por sua vez, indica a
posição de maior concentração de dados.
❑ Média aritmética
– Dados não agrupados
Sendo X1, X2, X3, ..., Xn os n valo res de uma variável
X, define-se mé dia aritmética, ou simplesmente mé dia,
como sendo:
Exemplo
A média aritmética dos valores 3; 5; 7; 8 é
–– 3 + 5 + 7 + 8
X = ––––––––––––– = 5,75
4
– Dados agrupados
Sendo X1, X2, X3, ..., Xn os n va lores da variável X
com frequên cias f1, f2, f3, ..., ƒn, respectiva mente, de fine-
se média aritmética, ou sim ples mente média, como
n
∑ Xi— i = 1
X = –––––––
n
C4_3oMAT_TEO_CONV_Rose 04/03/11 08:38 Página 7
8 –
sendo
sendo ∑ fi = n.
Exemplo
A média aritmética da distribui ção
de dados a seguir é:
1 . 1 + 3 . 2 + 5 . 3 + 1 . 4—
X = ––––––––––––––––––––––––– 
10
—
X = 2,6
– Dados agrupados 
em classes
A média aritmética é calculada
co mo no item anterior, lembrando que
cada classe é representada pelo seu
ponto médio (Xi = PM).
Exemplo
5. 3 + 10 . 5 + 14 . 7 + 8 . 9 + 3 . 11—
X = –––––––––––––––––––––––––––––––– ⇒
40
⇒
—
X = ⇒ X = 6,7
❑ Moda (Mo)
Define-se moda (ou modas) de
um conjunto de valores dados como
sendo o valor de frequência má -
xima (ou os valores da fre quên cia
máxi ma).
Exemplos
a) A moda do conjunto de dados 2,
2, 5, 7, 9, 9, 9, 10, 11, 12 é 9.
Observe que 9 é o elemento
mais frequente. 
b) O conjunto de dados 2, 3, 3, 3, 4,
4, 5, 6, 6, 7, 8, 8, 8, 9, 10, 10 
tem duas modas:
e 
c) Para a distribuição
a moda é 248, pois é o valor de
frequência máxima (23).
d) Para os dados agrupados em
clas ses, a seguir, podemos di zer,
pelo menos, que a classe mo dal
é 2 � 3.
❑ Mediana (Md)
Colocando-se os valores da va riá -
vel em ordem crescente, a me diana
é o elemento que ocupa a posição
cen tral. Em outras palavras: a
media na divide um conjunto de n
dados em dois subconjuntos com
igual número de elementos.
• Cálculo da mediana para 
dados não agrupados
– Se n for ímpar, a mediana é o
valor central dos n dados do rol.
É o elemento de ordem .
Exemplo
A mediana dos dados 5; 7; 8; 10;
15 é 8, que é o 3o. termo do rol. 
– Se n for par, a mediana é a mé -
dia aritmética dos dois dados
centrais do rol. É a média ari t mé -
tica entre os dados de ordem
e + 1 
Exemplo
Os valores centrais do rol 5; 7; 8;
10; 14; 15 são o 8 e o 10. 
A mediana dos valores deste rol é
• Cálculo da mediana 
para dados agrupados
em classes
Calcula-se e, pela frequência
acumulada, identifica-se a classe que
contém a mediana. Em seguida,
calcula-se a mediana usando uma
fórmula. O mais prático, porém, é usar
o gráfico de frequências acu muladas
percentuais (OGIVA DE GALTON).
Exemplo
n
∑ fiXi
i = 1X
–
= ––––––––––n
268
––––
40
Mo = 9
Mo1
= 3 Mo2
= 8
Mo = 248
n + 1
–––––
2
5 + 1(––––––) = 32
n
––
2
n
––
2
8 + 10
Md = –––––––– = 92
n
––
2
xi fi
1
2
3
4
1
3
5
1
∑ 10
Classes PM = xi fi
2 � 4
4 � 6
6 � 8
8 � 10
10 � 12
3
5
7
9
11
5
10
14
8
3
∑ 40
Classes fi
0 � 1
1 � 2
2 � 3
3 � 4
4 � 5
3
10
17
8
5
xi 243 245 248 251 307
fi 7 17 23 20 8
Classes fi fa
34 � 45
45 � 55
55 � 65
65 � 75
75 � 85
85 � 95
5
12
18
14
6
3
5
17
35
49
55
58
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– 9
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10 –
1o.) no ponto B, temos 
fa = 58, que corres -
ponde a ƒ%a = 100.
2o.)o ponto A é médio de OB
e, nesse ponto, temos 
fa = 29, que correspon de
a ƒ%a = 50.
3o.) o valor da variável asso -
ciado a ƒ%a = 50 é a
media na.
4o.) da OGIVA, concluímos,
pois, que Md ≅ 62.
Construída a OGIVA, a partir dos dados, note que: 
MÓDULO 57 Noções de Estatística II
1. MEDIDAS DE DISPERSÃO
❑ Introdução
As medidas de posição vistas até
aqui, média, mediana e moda, têm
con ceitos diferentes, detalhes pró -
 prios, que ajudam semelhan te men te
a representar um conjunto de dados.
Entretanto, a informação forneci -
da pelas medidas de posição, em
geral, necessitaser completada pe -
las MEDIDAS DE DISPERSÃO. Estas
servem para indicar o quanto os da -
dos se apresentam dispersos em tor -
no da região central. Carac terizam,
portanto, o grau de variação existen -
te no conjunto de valores e, por isso,
são também chamadas MEDIDAS DE
VARIABILIDADE.
C4_3oMAT_TEO_CONV_Rose 04/03/11 08:38 Página 10
– 11
Exemplo
Suponha que as notas de 2 alu -
nos no decorrer do ano foram:
Aluno A: 2; 3; 4; 3; 8;10 →
—
X = 5
Aluno B: 5; 6; 4; 5; 4; 6 →
—
X=5
Ambos obtiveram a mesma mé dia
(X
–
= 5), entretanto percebe-se
claramente que o aluno A, de péssi -
mos resultados iniciais, conseguiu
recuperar-se no fim, enquanto o aluno
B manteve-se praticamente no mes -
mo nível.
Isso significa que as notas do alu -
 no B não foram dispersas como as
no tas do aluno A.
Portanto, a medida de posição
po derá ser completada por uma me -
dida de dispersão (amplitude, desvio
médio, desvio padrão, variância) que
passaremos a descrever.
❑ Amplitude
Amplitude (H), ou intervalo
total, é definida como a diferença
en tre os valores extremos da série, ou
seja:
Exemplo
Sejam os valores 4; 5; 7; 9; 10; 13
Por depender de apenas dois va -
lores do conjunto de dados, a ampli -
tude contém relativamente pouca
informação quanto à dispersão, pois
se sujeita a grandes flutuações de
uma amostra para outra. 
Suponhamos que numa classe,
os pesos dos alunos se distribuam
entre 45 e 75 kg, a amplitude seja
H = 75 – 45 = 30 kg. Se entrar nessa
classe um aluno com 100 kg, a nova
am plitude será 100 – 45 = 55kg,
quase o dobro da anterior apenas por
causa de um aluno.
❑ Desvio
Uma maneira de medir o grau de
dispersão ou concentração de cada
valor da variável em relação às me -
didas de tendência central é fazer a
diferença entre o valor da variável e a
média. 
Esta diferença é chamada des -
vio e representada por D.
Exemplo
Um aluno que obteve as notas 2,
3, 4, 3, 8, 10 conseguiu uma média
X
–
= = 5.
Os desvios de cada uma das no -
tas são: 
Observe que ∑Di = 0.
❑ Observação
Ao calcular a média dos desvios,
para conhecer um desvio global do
conjunto, o resultado é sempre ZE RO,
pois ∑Di = 0.
Assim, para obter um resultado
que exprima a média dos desvios,
costuma-se proceder de dois modos:
a) calcular a média dos módulos
de cada desvio;
b) calcular a média dos quadra -
dos dos desvios e em se gui da
extrair a raiz quadrada.
O primeiro é chamado desvio
médio (Dm) e o segundo é chamado
desvio padrão (s).
❑ Desvio médio (Dm)
ou
❑ Desvio padrão (s)
❑ Variância
É o quadrado do desvio padrão.
H = Xmáx – Xmín
H = 13 – 4 = 9
Di = Xi – X
—
2 + 3 + 4 + 3 + 8 + 10
––––––––––––––––––––––
6
∑ |Di|
Dm = –––––––
n
∑ fi|Di|
Dm = ––––––––n
∑ fi Di2
s2 = ––––––––––
n
xi Di = Xi –
—
X
2
3
4
3
8
10
– 3
– 2
– 1
– 2
3
5
∑ fiDi
2
s = ––––––––
n
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12 –
1. RAZÃO
Razão entre dois números a e b
(b ≠ 0), nessa ordem, é o quociente
(ou a : b). O número a é cha mado
de primeiro termo ou antecedente, e
o número b é chamado segundo
termo ou consequente. A razão in -
versa de a e b é (a ≠ 0).
2. PROPORÇÃO
Dizemos que os números a, b, c
e d (b ≠ 0 e d ≠ 0), nessa ordem,
formam uma PROPORÇÃO se, e so -
men te se, a razão entre a e b é igual
à razão entre c e d. Indicação:
= (ou a : b = c : d), 
em que a e d são chamados extre -
mos e b e c são chamados meios.
3. PROPRIEDADES 
DAS PROPORÇÕES
Dados os números a, b, c e d
(b ≠ 0 e d ≠ 0), então:
1) (Fundamental)
⇔
3) ⇔ 
(b + d ≠ 0)
4) ⇔
(se ab tem o mesmo sinal de cd)
4. GRANDEZAS 
PROPORCIONAIS
❑ Notação
Em geral, letras maiúsculas do
nos so alfabeto representam GRAN -
DEZAS QUAISQUER, e letras minús -
culas do nosso alfabeto, cada uma
com um índice numérico, represen -
tam os VALORES dessas grandezas.
Assim, quando escrevemos:
A = (a1, a2, a3, ...) e B = (b1, b2, b3, ...),
estamos referindo-nos às grande zas
A e B e aos seus valores a1, a2, a3, ...
e b1, b2, b3, ... num dado pro ble ma.
Estamos dizendo ainda que, nesse
problema, “quando a gran deza A
assume o valor a1(ou a2 ou a3 ou ...),
a grandeza B assume o valor b1(ou b2
ou b3 ou ...), respec ti va mente”, e que
“a1 e b1 (ou a2 e b2 ou a3 e b3
ou ...) são VALORES COR RES PO N -
DENTES das grandezas A e B”.
❑ Grandezas Diretamente 
Proporcionais (GDP)
Uma grandeza A é DIRETAMEN-
TE PROPORCIONAL a uma gran de za
B se, e somente se, AS RAZÕES entre
os valores de A e os corres pon -
dentes valores de B forem CONS -
TANTES, isto é, se A = (a1, a2, a3, ...)
e B = (b1, b2, b3, ...); então:
⇔
⇔
em que k é constante.
❑ Grandezas Inversamente 
Proporcionais (GIP)
Uma grandeza A é INVER SA -
MEN TE PROPORCIONAL a uma
gran deza B se, e somente se, OS
PRODUTOS entre os valores de A e
os corres pon dentes valores de B fo -
rem CONS TAN TES, isto é, se A = (a1,
a2, a3, ...) e B = (b1, b2, b3, ...); então:
⇔
⇔
em que k é constante.
❑ Observações
1) É evidente que, “se A é GDP (ou
GIP) a B, então B é GDP (ou GIP,
respectivamente) a A”.
2) Quando dizemos que “A e B são
gran dezas diretamente (ou inver -
sa men te) proporcionais”, esta mos
querendo dizer que “A é uma
gran deza diretamente (ou inver -
sa men te, respectivamente) pro -
por cio nal à grandeza B”.
3) Quando dizemos que “A e B são
gran dezas proporcionais”, omi tin -
do a especificação “DIRETA -
MENTE” ou “INVERSAMENTE”, é
porque ou essa especificação
está suben tendida no problema,
ou o problema não depende des -
sa es pecificação.
4) É evidente que duas grandezas
quaisquer podem NÃO SER dire -
tamente NEM inversamente pro -
porcionais.
5) PROPRIEDADE: se a grandeza
A = (a1, a2, a3, …) É INVERSA -
MEN TE PROPORCIONAL à gran -
deza B = (b1, b2, b3, …), então a
grandeza A = (a1, a2, a3, …) é DI -
RETAMENTE PROPORCIONAL à
grandeza
( 1 1 1 )B' = –––, –––, –––, … , b1 b2 b3
com b1 ≠ 0, b2 ≠ 0, b3 ≠ 0, …
Demonstração
Se A = (a1, a2, a3, … ) e B = (b1,
b2, b3, …) são GIP, então temos que:
a1b1 = a2b2 = a3b3 = … ⇒
a––b
b––a
c
––
d
a
––
b
ad = bc
a c–– = ––
b d
a c a + b c + da) –– = –– ⇔ –––––– = ––––––
b d b d
(a ≠ 0 e c ≠ 0)
a c a + b c + db) –– = –– ⇔ –––––– = ––––––
b d b d
�2)
a + c c c–––––– = ––– =––
b+ d b d
a c–– = ––
b d
ac a2 c2–––– = –––– =–––
bd b2 d2
a c–– = ––
b d
A é GDP a B
a1 a2 a2–––– = –––– = –––– = ... = k
b1 b2 b3
A é GIP a B
a1b1 = a2b2 = a3b3 = ... = k
MÓDULO 58 Grandezas Proporcionais
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– 13
a1 a2 a3
⇒ ––––– = ––––– = ––––– = … ⇒
1 1 1
–––– –––– ––––
b1 b2 b3
⇒ A = (a1, a2, a3, …) e
1 1 1
B' = ( –––, –––, –––, …), com b1, b1 b2 b3
b2 e b3 ≠ 0, são GRANDEZAS DI -
RETAMENTE PRO POR CIONAIS.
5. DIVISÃO PROPORCIONAL
a) DIVIDIR um número N em
PARTES (suponhamos: x, y e z)
DIRETAMENTE PROPOR CIO -
NAIS aos núme ros a, b e c
significa deter minar os núme -
ros x, y e z, de tal modo que:
(I) as sequências (x, y, z) e (a, b,
c) sejam diretamente propor -
cio nais;
(II) x + y + z = N.
Para isso, usando a definição
de GDP e as propriedades das
proporções, podemos usar a
seguinte TÉCNICA OPERA TÓ -
RIA:
x y z
––– = ––– = –––
a b c� ⇔
x + y + z = N
x + y + z x y z
–––––––––– = –– = –– = ––
a + b + c a b c⇔ � ⇔
x + y + z = N
N x
––––––––– = ––
a + b + c a
N y
⇔ �––––––––– = ––a + b + c bN z
––––––––– = ––
a + b + c c
e então calculamos x, y e z.
b) DIVIDIR um número M em PAR -
TES INVERSAMENTE PROPOR -
CIONAIS aos númerosm, n e p É
O MESMO QUE DIVIDIR M em
PARTES DIRETAMENTE PRO -
POR CIO NAIS aos INVERSOS:
, , ,
com m ≠ 0, n ≠ 0 e p ≠ 0.
1
––
m
1
––
n
1
––
p
MÓDULO 59 Regra de Três
1. REGRA DE 
TRÊS SIMPLES (R3S)
❑ Definição
É o método prático empregado
para resolver o seguinte problema:
“Quando comparamos duas
gran dezas A e B propor cio nais,
relacionando dois valores de A com
dois valores corres pondentes de B,
determinamos um dos qua tro va -
lo res, uma vez que se jam conhe -
cidos os outros três.”
❑ Técnica operatória
a1 ................ b1Valores � a2 ................ b2
(um dos quatro é a incógnita do
proble ma). Se A e B forem GDP,
montamos a proporção:
= 
(da qual calculamos o valor desco -
nhe cido).
Se A e B forem GIP, montamos
uma das proporções:
= ou = 
(invertemos uma das razões e calcu -
lamos o valor desconhecido).
2. REGRA DE 
TRÊS COMPOSTA (R3C)
❑ Definição
É o método prático empregado
para resolver proble ma análogo ao da
regra de três simples, só que en vol -
vendo MAIS DE DUAS GRAN DEZAS
PROPOR CIONAIS.
❑ Propriedades
Se uma grandeza A(a1, a2, ...) é
diretamente proporcional a uma gran -
 deza B(b1, b2, ...) e a uma gran deza
C(c1, c2, ...), então:
❑ Técnica operatória
(fundamental)
a1 ..... b1 ..... c1 ..... d1
Valores � x ..... b2 ..... c2 ..... d2
Comparamos cada grandeza (B,
C, D etc.) com a grandeza funda men -
tal A (a que contém a incógnita) sepa -
ra damente.
Suponhamos que ocorram:
B e A (GDP), C e A (GIP) e D e A
(GDP).
Nesse caso, montamos a propor -
ção:
a1 b1 c2 d1
––– = ––– . ––– . –––, com base na qual
x b2 c1 d2
calculamos x.
Grandeza
D
Grandeza
C
Grandeza
B
Grandeza
A
a1 b1 c1–––– = –––– . ––––
a2 b2 c2
b2–––
b1
a1–––
a2
b1–––
b2
a2–––
a1
b1–––
b2
a1–––
a2
Grandeza 
B
Grandeza 
A
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14 –
1. PORCENTAGEM
❑ Noção intuitiva
Exemplo
“O índice de analfabetismo da cidade X é de 12%
(lê-se 12 por cento)” significa que, em média, 12 de cada
100 habitantes são anal fa betos.
❑ Nomenclatura usual
Exemplo
Em “25% de R$ 80,00 é R$ 20,00”, temos:
o PRINCIPAL é P = 80� a TAXA é i = 25(%)
a PORCENTAGEM é p = 20
Observação
Usa-se também o símbolo “ ‰ ”, que significa “por
mil”.
Exemplos
1) “O índice de mortalidade infantil do país Y é de 15‰
ao ano” significa que, em média, de cada 1000
crianças que nascem por ano, 15 morrem.
2) Em “25‰ de R$ 80,00 é R$ 2,00”, temos:
o PRINCIPAL é P = 80� a TAXA é i = 25(‰)
a PORMILAGEM é p = 2
❑ Técnica operatória
Para resolver problemas, estabe lecemos a seguinte
REGRA DE TRÊS SIMPLES:
100 (ou 1000) ..............................P
i ................................................... p'
da qual, por REGRA DE TRÊS SIM PLES, obtemos o valor
desconhecido.
Exemplo
Calcule 25% de 80.
Temos:
100% correspondem a 80
25% correspondem a x
Então:
100 80 25 . 80
–––– = ––– e, portanto, x = ––––––––, isto é, x = 20.
25 x 100
Ao escrevermos p%, estamos representando o
número ou p : 100. 
Assim, temos:
a) (20%)2 = 4%, pois: (20%)2 =
20 2 2 2 4
= (––––) = (–––) = –––– = 4%
100 10 100
b) 25% de 400 é igual a 100, pois:
25
25% . 400 = –––– . 400 = 100
100
c) 32 é 80% de 40, pois:
32 ––– p 
GDP 32 40� ⇒ ––– = –––– ⇒p 100
40 ––– 100
⇒ p = 80 ou 32 = p% . 40 ⇒
p
⇒ 32 = –––– . 40 ⇒ p = 80
100
d) 40 é 125% de 32, pois:
40 ––– p 
GDP 40 32� ⇒ ––– = –––– ⇒p 100
32 ––– 100
⇒ p = 125 ou 40 = p% . 32 ⇒
p
⇒ 40 = –––– . 32 ⇒ p = 125
100
e) Um valor, ao passar de 32 para 40, aumentou 25%,
pois:
(100 + p)% . 32 = 40 ⇒
100 + p
⇒ ––––––––. 32 = 40 ⇒ p = 25
100
f) Um valor, ao passar de 40 para 32, decresceu 20%,
pois:
(100 – p)% . 40 = 32 ⇒
100 – p
⇒ –––––––– . 40 = 32 ⇒ p = 20
100
p
––––
100
Grandeza
do problema
Grandeza
% (ou ‰)
MÓDULO 60 Porcentagem e Juros
C4_3oMAT_TEO_CONV_Rose 04/03/11 08:38 Página 14
– 15
g) Um valor de 50, após um aumento de 15%, passa a
ser 57,5, pois: 
115
(100 + 15)% . 50 = –––– . 50 = 57,5
100
h) Um valor de 50, após um decrés cimo de 15%, passa
a ser 42,5, pois: 
85
(100 – 15)% . 50 = –––– . 50 = 42,5
100
i) Um valor de 50, após um au mento de 15% e, em
seguida, um desconto de 15%, passa a ser 48,875,
pois:
(100 + 15)% . 50 . (100 – 15%) = 
115 85
= ––––– . 50 . –––– = 48,875
100 100
j) Um aumento de 10% seguido de um aumento de
10% não é um aumento de 20%, pois:
110% . 110% . x = 121% x =
= (100 + 21)% . x
Corresponde a um único aumen to de 21%!
k) Um desconto de 10% seguido de um desconto de
10% não é um desconto de 20%, pois:
90% . 90% . x = 81% x =
= (100 – 19)% . x
Corresponde a um único descon to de 19%!
2. JUROS SIMPLES
Denominamos juros simples aqueles que não são
somados ao ca pital durante o tempo de seu em prego.
Assim, a taxa incide apenas sobre o capital aplicado
inicialmente.
Sendo
J = juros,
C = capital,
i = taxa,
t = tempo,
M = montante, 
temos:
e
3. JUROS COMPOSTOS
Neste sistema, após cada perío do (dia, mês, ano
etc.), os juros são somados ao capital acumulado até
então (juros sobre juros). Em se guida, a taxa incide sobre
o novo valor obtido, e assim suces siva mente.
Então:
e
Exemplo
Calcule o montante ao final de três meses, com a
aplicação de um capital de R$ 10 000,00 à taxa de 4% ao
mês, pelo sistema:
a) de juros simples;
b) de juros compostos.
Resolução:
a) J = 
J = = 1200
M = C + J =
= 10000 + 1200 = 11200
b) M = C . (1 + i)t
M = 10000 . 1 + 
3
=
= 10000 . (1,04)3 =
= 10000 .1,124864 = 11248,64
Obs.: J = M – C = 11248,64 – 10000 = 1248,64
Respostas: a) R$ 11200,00
b)R$ 11248,64
�4–––––100�
10000 . 4 . 3
––––––––––––
100
Cit
–––––
100
J = M – C
M = C . (1 + i)t
M = C + J
Cit
J = –––––––
100
C4_3oMAT_TEO_CONV_Rose 04/03/11 08:38 Página 15
16 –
FRENTE 2 Álgebra
1. PROPRIEDADES
• Se A é invertível, então A–1 é úni ca.
• Se A é invertível, então (A–1)–1 = A.
• Se A e B são invertíveis e de mesma ordem, então (A . B)–1 = B–1 . A–1.
• Se A é invertível, então (At)–1 = (A–1)t.
• Se A é invertível, então det (A–1) = .
1
–––––––
det (A)
MÓDULO 25
Propriedades da Matriz
Inversa e Equações Matriciais
1. SISTEMAS LINEARES
• Um sistema (S) de m equa -
ções lineares (m ∈ �*) com n
incógnitas (n ∈ �*), x1, x2, x3, …, xn, é
um conjunto de equações da forma:
com m ≥ 2 e n ≥ 2
no qual os coeficientes aij são núme -
ros reais não todos nulos simultanea -
mente e os termos bi são números
reais quaisquer.
• Se todos os mesmos bi forem
nulos (i = 1, 2 …, m), então (S) é um
sistema linear homogêneo.
• Dizemos que a n-upla de nú -
me ros reais (α1, α2, …, αn) é uma
SOLUÇÃO do sistema (S) se forem
verdadeiras todas as sentenças de
(S) fazendo-se xi = αi.
• Um sistema (S) é COMPATÍ VEL
(ou possível) se existir pelo me nos
uma solução; (S) é INCOM PATÍVEL
(ou impossível) se não admite so -
lução.
Se "V" é o conjunto solução (ou
conjunto verdade) do sistema (S), en -
tão devemos ter uma das seguintes
situações:
– Compatível e determina -
do: quando V é um conjunto unitário.
– Compatível e indetermi -
na do: quando V é um conjunto
infinito.
– Incompatível: quando V é o
conjunto vazio.
❑ Matrizes de um sistema
Num sistema linear, definem-se as
duas matrizes seguintes:
que recebem o nome de:
MI = matriz incompleta.
MC = matriz completa (ou as -
socia da ao sistema).
Se a matriz M.I. for quadrada, o
seu determinante é dito deter mi -
nan te do sistema (D).
(s)�
a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2
……………………….....……………...
am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm
	
a11 a12 … a1n
a21 a22 … a2n
…………………………
…………………………
am1 an2 … amn
MI =
	
a11 a12 … a1n b1
a21 a22 … a2n b2
…………………….……
……………………….…
am1 an2 … amn bm
MC =
MÓDULO 26
Sistema Normal, 
Regra de Cramer e Escalonamento
C4_3oMAT_TEO_CONV_Rose 04/03/11 08:38 Página 16
Exemplo
• O sistema
é possível e determinado, pois apre sen ta uma única solução
que é S = {(1, 2)}.
• O sistema 
é possível e indeterminado, pois apre senta infinitas
soluções da forma S = {(k, k – 2)}.
Observe, nesse exemplo, que a se gunda equação é a
primeira com am bos os membros multiplicados por 2.
• O sistema 
é impossível, pois não existe par or de nado (x, y) que torne
as duas sen tenças verdadeiras "simultanea men te".
• No sistema , de finem-se:
Ml = e MC = 
e o determinante do sistema D = det MI = 
2. SISTEMA NORMAL
• O sistema linear (S) com "m" equações e "n"
incógnitas será "NORMAL" quando:
e 
❑ Resolução de um sistema normal
• Teorema de Cramer
Qualquer sistema normal admite uma e uma só
solução dada por:
x1 = ; x2 = 
x3 = ; …; xn = onde:
– D é o determinante do sistema.
– Di é o determinante que se ob tém de D, trocando
a iésima coluna da matriz M.I. por b1, b2, b3, …, bn.
Exemplo
• O sistema 
é normal, pois o número de equações é igual ao número
de incógnitas e o determinante do sistema:
D = = – 2 ≠ 0
O Teorema de Cramer nos garan te que a solução é
única e obtida por:
x = = = 1, pois Dx = = – 2 
y = = = 2, pois Dy = = – 4
{x – y = 22x – 2y = 4
{x – y = 2x – y = 4
{x + 2y = 53x + 4y = 11
 13
2
4 	 
1
3
2
4
5
11 	
1
3
2
4
m = n D ≠ 0
5
11
2
4
– 2
–––
– 2
Dx–––
D
1
3
5
11
– 4
–––
– 2
Dy–––
D
1
3
2
4
{x + 2y = 53x + 4y = 11
Dn–––
D
D3–––
D
D2–––
D
D1–––
D
x + 2y = 5
x + y = 3{
– 17
MÓDULO 27 Escalonamento (Método de Gauss)
1. DEFINIÇÃO: SISTEMAS
EQUIVALENTES
Dizemos que dois sistemas são
equivalentes se e somente se apre -
sen tarem o mesmo conjunto solução.
Para transformar um sistema num
sistema equiva lente mais simples,
pode-se
• permutar duas equações;
• multiplicar qualquer uma das
equações por um número real dife -
rente de zero;
• multiplicar uma equação por
um número real e adicioná-la à outra
equação.
Exemplo
Vamos resolver o sistema:
x – y + z = –2 (a1)
(l) x – 2y – 2z = –1 (b1)�
2x + y + 3z = 1 (c1)
transformando-o num sistema equi -
valente mais simples, seguindo o se -
guin te roteiro:
• para obter (b2), multiplique (a1)
por –1 e adicione o resultado a (b1);
• para obter (c2), multiplique (a1)
por –2 e adicione o resultado a (c1).
x – y + z = –2 (a1)
(ll) – y – 3z = 1 (b2)�
3y + z = 5 (c2)
• para obter (b3), multiplique (b2)
por (–1); para obter (c3), multiplique
(b2) por 3 e adicione o resultado a
(c2).
x – y + z = –2 (a1)
(lll) y + 3z =–1 (b3)�
– 8z = 8 (c3)
Assim, como (l), (ll) e (lll) são equi -
 valentes:
• de (c3), obtém-se z = –1;
• substituindo-se em (b3), ob -
tém-se y = 2 e substituindo-o em (a1),
obtém-se x = 1.
Logo, V = {(1; 2; –1)}
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2. DISCUSSÃO
Se for possível transformar um sistema (S) num
sistema equivalente mais simples do tipo
pode-se discuti-lo em função da variação de a e de b.
Assim, se
• a ≠ 0 ⇒ o sistema é possível e determinado.
• a = 0 e b = 0 ⇒ o sistema é possível e
indeterminado.
• a = 0 e b ≠ 0 ⇒ o sistema é impossível.
x – y + z = – 2
y + 3z = – 1
az = b�
18 –
1. SUBMATRIZ
Seja a matriz A = [ aij ]mxn
Submatriz de A é qualquer ma -
triz que se obtém de A eliminando-se
"r" linhas e "s" colunas. Seu deter -
minante é chamado "menor" de A, se
a matriz for quadrada.
❑ Característica de A
"É a ordem máxima dos meno res
não todos nulos que se pode ex trair
de A".
2. TEOREMA DE KRONECKER
Característica de uma matriz é "p"
se, e somente se:
l. Existir pelo menos um "menor"
de ordem p diferente de zero
(de terminante de ordem 
p ≠ zero).
ll. Todos os "menores" orlados ao
"menor" do item (l) de ordem
p + 1 são iguais a zero.
❑ Propriedades 
da característica
A característica de uma matriz
não se altera quando
l. trocamos entre si duas filas
paralelas.
ll. trocamos ordenadamente li -
nhas por colunas.
lll. multiplicamos uma fila por uma
constante k ≠ 0.
lV. acrescentamos ou eliminamos
filas nulas.
V. acrescentamos ou eliminamos
uma fila que seja combinação
linear de outras filas paralelas.
Vl.somamos a uma fila uma com -
bi nação linear de outras filas
paralelas.
Exemplos
1 2 3 
• Se M = 4 1 5 , então
0 – 3 – 3 
	
p = 2, pois existe um "menor" de
ordem 2 diferente de zero. Por exem -
plo:
1 2 
e o "menor" de ordem 3 é�4 1 �
igual a zero:
1 2 3 
4 1 5 = 0
0 – 3 – 3 
1 2 –1 5 –1 
• Se M = 3 1 0 4 –1 , 
4 3 –1 9 2 
	
então p = 3, pois existe um menor de
ordem 3 diferente de zero:
1 2 –1
3 1 –1 = – 20 ≠ 0
4 3 2
e a ordem 3 é a máxima possível.
• A característica da matriz
1 2 3 
4 1 5
0 – 3 – 3
	
é igual à característica das seis ma tri -
zes abaixo.
1 3 2
• 4 5 1 (prop. l)
0 – 3 – 3
	
1 4 0 
• 2 1 – 3 (prop. ll)
3 5 – 3
	
1 10 3 
• 4 5 5 (prop. lll)
0 – 15 – 3
	
1 2 3 0 
• 4 1 5 0 (prop. lV)
0 – 3 – 3 0
	
1 2 3 6 
• 4 1 5 10 (prop. V)
0 – 3 – 3 – 6
	
1 2 3 – 2 
• 
 4 1 5 – 1 	 (prop. VI)
0 – 3 – 3 + 3 
3. TEOREMA DE 
ROUCHÉ-CAPELLI
Seja (S) um sistema linear e se jam:
• "p" a característica da matriz
incompleta (Ml);
• "q" a característica da matriz
completa (MC);
• "m" o número de equações;
• "n" o número de incógnitas.
❑ Teorema de Rouché-Capelli
• p ≠ q ⇔ Sistema Impossível (SI)
• p = q = n ⇔ Sistema Possível e
Determinado (SPD)
• p = q < n ⇔ Sistema Possível e
Indeterminado (SPI)
MÓDULO 28
Característica de uma Matriz 
e Teorema de Rouché-Capelli
C4_3oMAT_TEO_CONV_Rose 04/03/11 08:38 Página 18
Observação
No (SPI), o número Gi = n – p é
chamado grau de indeterminação do
Sistema.
Exemplos
Sejam p e q as características
das matrizes incompleta e completa,
respectivamente.
• O sistema 
é impossível, pois
MI = ⇒ p = 1,
MC = ⇒ q = 2,
e portanto p ≠ q
• O sistema 
é possível e indeterminado, pois
MI = ⇒ p = 1,
MC = ⇒ q = 1,
e como n = 2, temos p = q < n
• O sistema 
é possível e determinado, pois 
MI = ⇒ p = 2,
MC = ⇒ q = 2,
e como n = 2, temos p = q = n
 11 – 1– 1 	
 11 – 1– 1 24 	
� x – y = 22x – 2y = 4
 12 – 1– 2 	
 12 – 1– 2 24 	
� x + 2y = 5x + y = 3
 11 21 	
 11 21 53 	
x – y = 2
x – y = 4{
– 19
1. SISTEMA LINEAR HOMOGÊNEO (SLH)
Para um sistema linear homogê neo:
• as matrizes M.l. e M.C., em bo ra diferentes, terão
certamente a mes ma característica (p = q). Um S.L.H. é,
pois, sempre possível;
• a ênupla (0, 0, …, 0) sempre é solução da equa -
ção ai1x1 + ai2x2 + … + ainxn = 0, ai ∈ � (chamada trivial);
• A "C.N.S." para o S.L.H. admitir
– só uma solução trivial é p = n.
– outras soluções além da trivial é p < n.
Exemplo
x + 2y + z = 0
O sistema � 3x + y – z = 0 
ax + 2y – z = 0 
é sempre possível, pois:
• (0, 0, 0) é solução;
1 2 1 
• MI = 
 3 1 – 1 	 tem
a 2 – 1
ca racterística p ≥ 2, pois existe um menor de ordem 2
diferente de zero:
� 1 2 �3 1
A característica p é igual a 2 se o menor de ordem 3
for igual a zero, ou seja:
13� 1 2 1 � – 3a + 13 = 0 ⇔ a = ––––3 1 – 1 = 3
a 2 – 1
A característica p é igual a 3se o menor de ordem
3 for diferente de zero, ou seja, se a ≠ .
Assim,se a = , o sistema ad mite infinitas soluções
além da forma tri vial (0, 0, 0), soluções da forma
S = { k, – , }. E, se a ≠ , o sistema admite
somente a solução trivial (0, 0, 0).
13
–––
3
13
–––
3
4k
–––
3
5k
–––
3
13
–––
3
MÓDULO 30 Sistema Linear Homogêneo
1. TEOREMA DE CRAMER
• det MI = D ≠ 0 ⇒ o sistema é possível e
determinado.
2. TEOREMA DE ROUCHÉ-CAPELLI
• p ≠ q ⇔ o sistema é impossível.
• p = q = n ⇔ o sistema é possí vel e determinado.
• p = q < n ⇔ o sistema é pos sível e indeterminado,
sendo:
p – característica da MI
q – característica da MC
n – número de incógnitas
3. MÉTODO DE GAUSS
A equação az = b do sistema (S), de três equações
a três incógnitas (x, y, z) após o escalonamento, po derá
permitir a discussão:
• a ≠ 0 ⇒ o sistema é possível e determinado.
• a = b = 0 ⇒ o sistema é possí vel e indeterminado.
• a = 0 e b ≠ 0 ⇒ o sistema é impossível.
MÓDULO 29 Discussão de Sistemas Lineares
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20 –
FRENTE 3 Geometria Analítica
MÓDULO 25 Circunferência: Equações Reduzida e Geral
A circunferência é um dos mais importantes lugares
geométricos (L.G.), merecendo, pois, um estudo
detalhado.
1. DEFINIÇÃO
Dado um ponto C de um plano (chamado centro) e
uma medida r não nula (chamada raio), denomina-se
circunferência ao lugar geo métrico (L.G.) dos pontos do
plano que distam r do ponto C.
2. EQUAÇÃO REDUZIDA 
(OU CARTESIANA) DA CIRCUNFERÊNCIA
Seja a circunferência de centro C(a; b) e raio r.
Considerando um ponto genérico P(x; y) pertencente à
circunferência, teremos:
P ∈ circunferência ⇔ dPC = r ⇔
⇔ �����������������������(x – a)2 + (y – b)2 = r ⇔ (x – a)2 + (y – b)2 = r2 
A equação 
é denominada equação reduzida da circunferência.
• Caso particular: Se o centro da circunferência é a
origem, C(0; 0), então a equação reduzida resulta 
Exemplos
1) Obter a equação reduzida da circunferência de
centro C(– 2; 3) e raio 5.
Resolução
A partir da equação (x – a)2 + (y – b)2 = r2, resulta:
⇔(x – (–2))2+ (y –3)2 = 52 ⇔ (x + 2)2 + (y – 3)2 = 25,
denominada equação reduzida.
2) Obter a equação reduzida da cir cunferência de
centro na origem e raio 5.
Resolução
A partir da equação (x – a)2 + (y – b)2 = r2, temos: 
(x – 0)2 + (y – 0)2 = 52 ⇔ x2 + y2 = 25
3. EQUAÇÃO GERAL 
(OU NORMAL) DA CIRCUNFERÊNCIA
Desenvolvendo a equação reduzida da circunfe rên -
cia: (x – a)2 + (y – b)2 = r2, obtemos:
x2 – 2ax + a2 + y2 – 2by + b2 = r2 ⇔
⇔ x2 + y2 –2ax– 2by+a2+b2 – r2 = 0
Fazendo-se – 2a = m; – 2b = n e a2 + b2 – r2 = p,
resulta:
que é denominada equação geral da circunferência.
Exemplo
Determine a equação geral da cir cun ferência de
centro C(–1; 3) e raio 5.
Resolução
A partir da equação 
(x – a)2 + (y – b)2 = r2, temos a equa ção reduzida: 
(x + 1)2 + (y – 3)2 = 25, que, desen volvida, resulta:
x2 + 2x + 1 + y2 – 6y + 9 = 25 ⇔
⇔ x2 + y2 + 2x – 6y – 15 = 0,
denominada equação geral da circunferência.
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
x2 + y2 = r2
x2 + y2 + m . x + n . y + p = 0
C4_3oMAT_TEO_CONV_Rose 04/03/11 08:38 Página 20
– 21
MÓDULO 26 Determinação do Centro e do Raio
1. DETERMINAÇÃO DO CENTRO 
E DO RAIO DE UMA CIRCUNFERÊNCIA
❑ Equação reduzida
Dada a equação reduzida de uma circunferência:
(x – a)2 + (y – b)2 = r2 , de imediato conclui-se que
o centro é C(a ; b) e o raio é r.
Exemplo
A circunferência de equação (x – 2)2 + (y + 5)2 = 9
tem centro C (2; – 5) e raio r = 3.
❑ Equação geral
Dada a equação geral de uma circunferência,
x2 + y2 + m . x + n . y + p = 0, o centro e o raio são
obtidos comparando-se essa equação com a equa ção
x2 + y2 – 2a . x – 2b . y + a2 + b2 – r2 = 0.
Notando-se que os coeficientes de x2 e y2 são
iguais a 1, a obtenção do centro e do raio é feita da
seguinte forma:
• Na determinação das coordenadas do centro, os
coeficientes de x e y (m e n) devem ser divididos por 
(–2), pois a partir das equações, conclui-se que:
Assim, as coordenadas do centro são:
• Obtido o centro C(a; b), o raio é determinado a par tir
da fórmula: , (com a2 + b2 – p > 0),
visto que das equações, temos: 
p = a2 + b2 – r2 ⇔ r2 = a2 + b2 – p
Observações
• Quando a2 + b2 – p = 0, a equação representa
apenas o ponto C(a; b).
• Quando a2 + b2 – p < 0, a equação nada repre -
sen ta.
�
m
– 2a = m ⇔ a = ––––
– 2
n
– 2b = n ⇔ b = ––––
– 2
r = ��������������a 2 + b2 – p
m n 
C�––––; ––––�– 2 – 2
a b
Seja a circunferência de centro C(a; b) e raio r, com
equa ção (x – a)2 + (y – b)2 = r2 e um ponto P(x0; y0) do
plano cartesiano.
A posição do ponto P em relação à circunferência é
obtida pelo cálculo da distância do ponto P ao centro C
da circunferência e comparada com a medida do raio r.
Dessa forma, temos:
• P(x0; y0) pertence à circun fe rên cia ⇔
⇔ (x0 – a)
2 + (y0 – b)
2 = r2
• P(x0; y0) é interno à circun fe rência ⇔
⇔ (x0 – a)
2 + (y0 – b)
2 < r2
• P(x0; y0) é externo à circun fe rência ⇔
⇔ (x0 – a)
2 + (y0 – b)
2 > r2.
Exemplo 
Representar gra ficamente os pon tos que satisfa -
zem à inequação x2 + y2 ≤ 9.
Resolução
A equação x2 + y2 = 9 repre senta uma circunferên cia
de centro C(0; 0) e raio r = 3. Des sa forma, a inequa ção
x2 + y2 ≤ 9 representa os pon tos da circunferência e os
pon tos internos a esta, e sua representação gráfica é:
MÓDULO 27
Posição dos Pontos do Plano 
em Relação a uma Circunferência
C4_3oMAT_TEO_CONV_Rose 04/03/11 08:38 Página 21
22 –
1. DEFINIÇÃO
Dados dois pontos F1 e F2 (focos) de um plano, com
F1F2 = 2f, e uma medida 2a (2a > 2f), chama-se ELIP -
SE ao lugar geométrico dos pontos P do plano, tal que:
2. ELEMENTOS PRINCIPAIS
• Centro é o ponto C;
• Distância focal = F1F2 = 2 . f;
• Eixo maior = A1A2 = 2 . a;
• Eixo menor = B1B2 = 2 . b;
• Vértices são os pontos A1 e A2;
• Polos são os pontos B1 e B2;
• Focos são os pontos F1 e F2.
A partir do triângulo retângulo CB1F1, da figura, temos:
3. EQUAÇÃO REDUZIDA
❑ Seja a elipse com eixo maior (e focos) contido no
eixo dos “x” e centro na origem:
A equação reduzida dessa elipse é:
 ❑ Seja a elipse com eixo maior (e focos) contido no
eixo “y” e centro na origem:
A equação reduzida da elipse, neste caso, é:
PF1 + PF2 = 2a
a2 = b2 + f2
x2 y2
⎯⎯ + ⎯⎯ = 1
a2 b2
x2 y2
–––– + –––– = 1
b2 a2
MÓDULO 28 Elipse
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– 23
4. OBSERVAÇÕES
Se o centro da elipse for o ponto C (g; h) e os eixos
da elipse forem paralelos aos eixos coordenados, te re -
 mos as seguintes figuras e equa ções reduzidas:
a)
b)
5. EXCENTRICIDADE
Chama-se EXCENTRICIDADE da elipse à razão: 
. Como 0 < f < a, então 0 < e < 1.
(x – g)2 (y – h)2
–––––––––– + ––––––––– = 1
b2 a2
fe = ––a
(x – g)2 (y – h)2
––––––––– + ––––––––– = 1
a2 b2
MÓDULO 29 Hipérbole
1. DEFINIÇÃO
Dados dois pontos F1 e F2 (fo cos) de um plano, com
F1 F2 = 2f, e uma medida 2a (2a < 2f), chama-se
HIPÉRBOLE ao lugar geométrico dos pontos P do
plano, tal que:
2. ELEMENTOS PRINCIPAIS
• Centro é o ponto C;
• Distância focal = F1F2= 2 . f;
• Eixo transverso = A1A2 = 2 . a;
• Eixo conjugado = B1B2 = 2 . b;
• Vértices são os pontos A1 e A2;
• Polos são os pontos B1 e B2;
• Focos são os pontos F1 e F2;
• Assíntotas são as retas d1 e d2.
A partir do triângulo retângulo CB1D da figura, temos:
3. EQUAÇÃO REDUZIDA
❑ Seja a hipérbole com eixo trans verso (e focos) conti -
do no eixo dos “x” e centro na origem.
Sendo:
• focos: F1(f; 0) e F2(– f; 0)� • vértices: A1(a; 0) e A2 (– a; 0)
• polos: B1(0; b) e B2(0; – b)
a equação reduzidada hipérbole resulta:
❑ Seja a hipérbole com eixo trans verso (e focos)
contido no eixo “y” e centro na origem.
| PF1 – PF2 | = 2a
f2 = a2 + b2
x2 y2
–––– – ––––– = 1
a2 b2
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24 –
Sendo:
• focos: F1(0; f) e F2(0; – f)� • vértices: A1(0; a) e A2(0; – a)
• polos: B1(b; 0) e B2(– b; 0)
a equação reduzida da hipérbole resulta:
4. COMPLEMENTOS
Se a hipérbole tiver centro no ponto C(g; h) e os
eixos paralelos aos eixos coordenados, teremos as se -
guin tes figuras e equações redu zi das:
a)
b)
5. HIPÉRBOLE EQUILÁTERA
❑ Uma hipérbole é denominada equilátera quan do
as medidas dos eixos transversal e conjugado são
iguais, isto é, quando as me di das a e b são iguais
(a = b).
As equações reduzidas das hi pér boles equiláteras,
com centro na origem, resultam:
ou 
As assíntotas, nesses casos, são as bissetrizes
dos quadrantes pares e ímpares.
❑ Um caso importante de hipérbole equilátera é obtido
fazendo-se uma rotação (nos casos acima) de mo do a
deixar os eixos cartesianos como assín to tas e
focos nas bis setrizes dos quadrantes:
• Focos na bissetriz dos qua dran tes ímpares 
(y = x). A equação, nesse caso, resulta ,
com k > 0.
• Focos na bissetriz dos qua dran tes pares (y = – x).
A equação, nesse caso, resulta , com k < 0.
6. EXCENTRICIDADE
, como f > a, então e > 1.
(y – h)2 (x – g)2
–––––––––– – –––––––––– = 1
a2 b2
x2 – y2 = a2 y2 – x2 = a2
x . y = k 
x . y = k 
(x – g)2 (y – h)2
–––––––––– – –––––––––– = 1 
a2 b2
y2 x2
–––– – –––– = 1
a2 b2
f
e = –––
a
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– 25
1. DEFINIÇÃO
Dados um ponto F (foco) e uma reta d (diretriz), com
F ∉ d, per tencentes a um mesmo plano, chama-se
PARÁBOLA ao lugar geométrico dos pontos P do pla -
no, equidistantes do ponto F e da reta d.
2. ELEMENTOS PRINCIPAIS
• Foco é o ponto F;
• Diretriz é a reta d;
• Vértice é o ponto V;
• Parâmetro = 2 . f (VF = Vd = f).
3. EQUAÇÃO REDUZIDA
❑ Seja a parábola com eixo de si metria contido no eixo
“x”, vértice na origem e voltada para a “direita”.
Sendo:
{• foco: F (f; 0)• diretriz: x = – f
a equação reduzida da pará bola será:
❑ Se a parábola, nas condições an teriores, estiver
voltada para a “es que r da”, teremos:
{• foco: F (– f; 0)• diretriz: x = f
e sua equação reduzida será: 
❑ Seja a parábola com eixo de si me tria contido no eixo
“y”, vértice na origem e voltada para “cima”.
Sendo:
{• foco: F(0; f)
• diretriz: y = – f
a equação reduzida da pará bola será:
❑ Se a parábola, nas condições an teriores, estiver vol -
ta da para “bai xo”, teremos:
{• foco: F(0; – f)• diretriz: y = f
y2 = 4 . f . x
y2 = – 4 . f . x
x2 = 4 . f . y
PF = Pd
MÓDULO 30 Parábola
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26 –
e sua equação reduzida será:
4. COMPLEMENTOS
❑ Se a parábola apresentar vértice no ponto V (g; h),
eixo de simetria paralelo ao eixo “x” e voltada para a
“direita”, sua equação reduzida será:
❑ Se a parábola, nas condições an teriores, estiver vol -
tada para a “es quer da”, sua equação reduzida será:
Desenvolvida a equação redu zi da, resultará da
forma: ,com a ≠ 0.
❑ Se a parábola apresentar vértice no ponto V (g; h),
eixo de simetria paralelo ao eixo “y” e voltada para
“cima”, sua equação reduzida será:
❑ Se a parábola, nas condições an teriores, estiver vol -
tada para “bai xo”, sua equação reduzida será:
Desenvolvida a equação redu zi da, resultará da
forma: , com a ≠ 0.
5. EXCENTRICIDADE
Chama-se EXCENTRICIDADE na parábola à razão:
 
x = a . y2 + b . y + c
(x – g)2 = 4 . f . (y – h)
(x – g)2 = – 4 . f . (y – h)
y = a . x2 + b . x + c
PFe = –––– = 1
Pd
(y – h)2 = – 4 . f . (x – g)
(y – h)2 = 4 . f . (x – g)
x2 = – 4 . f . y
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– 27
FRENTE 4 Geometria Métrica e de Posição
1. SECÇÃO PARALELA 
À BASE DE UMA PIRÂMIDE
Quando interceptamos todas as arestas laterais da
pirâmide por um plano paralelo à base, que não con tém
esta, nem o vértice, obte mos uma secção poligonal, tal
que:
• As arestas laterais e a altura ficam divididas na
mesma razão. 
• A secção obtida e a base são polígonos seme -
lhantes.
• A razão entre as áreas da sec ção (As) e da base
(Ab) é igual ao quadrado da razão entre suas distân cias
ao vér tice.
• A razão entre os volumes das pirâmides
semelhantes VA’B’C’... e VABC ... é igual ao cubo da
razão entre suas alturas.
• A “parte” (região) da pirâmide compreendida
entre a base e a cita da secção é denominada TRON -
CO DE PIRÂ MI DE DE BASES PARA LE LAS.
2. CÁLCULO DO VOLUME DE UM TRONCO
DE PIRÂMIDE DE BASES PARALELAS
Sendo AB e Ab as áreas das ba ses, H, a altura
(distância entre os planos das bases) e V, o volume de
um tronco de pirâmide de bases pa ra lelas, tem-se:
3. TRONCO DE CONE DE BASES PARALELAS
Seccionando-se um cone por um plano paralelo à
base dele, obtêm-se dois sólidos: um novo cone e um
tron co de cone de bases para lelas.
Sendo R e r os
raios das bases e h
a altura do tronco de
cone de ba ses para -
lelas, tem-se que o
seu volu me é dado
por:
e sua área lateral é dada por:
4. SÓLIDOS SEMELHANTES
Em sólidos semelhantes, a razão entre as áreas é
igual ao quadrado da razão de semelhança, e a razão
entre os volumes é igual ao cubo da razão de se me lhan -
ça.
Assim, se dois sólidos de áreas, respectivamente,
iguais a A1 e A2, e volumes, respectivamente, iguais a
V1 e V2 são semelhantes numa razão K, então:
e 
VA’ VB’ VC’ h
–––– = –––– = –––– = … = –––
VA VB VC H
As h2–––– = ––––
Ab H2
VVAB’C’... h3
––––––––– = ––––
VVABC... H3
H
V = ––– (AB + Ab + �����������AB . Ab )3
π hVt = ––––– (R
2 + r2 + R r)
3
A� = π (R + r) g
V1–––– = K3
V2
A1–––– = K2
A2
MÓDULO 25 Troncos
C4_3oMAT_TEO_CONV_Rose 04/03/11 08:38 Página 27
28 –
MÓDULO 26 A Esfera e suas Partes
1. SUPERFÍCIE ESFÉRICA
É a superfície gerada pela revo lução completa de
uma semicircun ferência (ABA’) em torno de seu diâ metro
(AA’), como mostra a figura.
A área de uma superfície esfé rica de raio R é dada
por:
2. ESFERA
É o sólido limitado por uma su per fície esférica.
O volume de uma esfera de raio R é dado por:
3. PARTES DA SUPERFÍCIE ESFÉRICA
• Fuso esférico
• Zona esférica
• Calota esférica
4. PARTES DA ESFERA
• Cunha esférica
• Setor esférico
ASE = 4 π R
2
π R2 α°
Af = ––––––––90°
Azona = 2π R h
Acal = 2π R h
π R3 α° 
Vc = ––––––––
270° 
4
Vesf = ––– π R
3
3
2
V = –– π R2 h
3
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• Segmento esférico de uma base • Segmento esférico de duas bases
 
π h
V = ––––– (3r2 + h2)
6
π h
V = –––– [3 (r1
2 + r2
2 ) + h2]
6
– 29
MÓDULO 27 Inscrição e Circunscrição de Sólidos
1. ESFERA INSCRITA NO CUBO
r + r = a ⇔
2. CUBO INSCRITO NA ESFERA
(2R)2 = (a���2 )
2
+ a2 ⇔ar = ––– 
2
a���3
R = ––––––
2 
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3. ESFERA INSCRITA NO CILINDRO
e
4. CILINDRO INSCRITO NA ESFERA
5. CILINDRO INSCRITO NO CUBO
e 
6. CUBO INSCRITO NO CILINDRO
e
7. ESFERA INSCRITA NO CONE
No triângulo retângulo BCA, de acordo com o
Teorema de Pitágoras, tem-se:
(2R)2 = (2r)2 + h2
h = a 
aR = –––
2
h = a a���2R = ––––––
2r = R h = 2 . R
g2 = h2 + R2
30 –
C4_3oMAT_TEO_CONV_Rose 04/03/11 08:38 Página 30
Da semelhança dos triângulos retân gulos DOA e
BCA, resulta:
8. CONE INSCRITO NA ESFERA
No triângulo retângulo MAO, de acordo com o
Teorema de Pitágoras, tem-se:
9. ESFERA INSCRITA NUMA PIRÂMIDE
REGULAR DE BASE QUADRADA
No triângulo retângulo AMV, de acordocom o Teo -
rema de Pitágoras, tem-se:
Da semelhança dos triângulos retân gulos POV e
AMV, resulta:
⇔
� 2g2 = h2 + (––)2
2r h – r
––– = ––––––
� g
r h – r
–––– = ––––––
�/2 gR
2 = r2 + (h – R)2
r h – r
––– = ––––––
R g
– 31
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1. ENTES PRIMITIVOS
Entende-se por “entes primitivos”
tudo o que não pode ser definido. Na
geometria, usamos três conceitos pri -
mi tivos: o PONTO, a RETA e o PLA -
NO. Apesar de não poder defini-los,
po demos estudá-los e rela cioná-los, e
é isso o que a “geo me tria de posi ção”
faz.
Representam-se o PONTO, a
RETA e o PLANO da seguinte forma:
Observe que para os pontos usa -
mos geralmente letras maiús culas,
para as retas, letras minús culas e
para plano, letras do alfabeto grego.
2. POSTULADOS
Entende-se por “postulado” toda
propriedade que não possui de mons -
 tração e que, portanto, só pode ser
aceita por ser evidente.
❑ Postulados de existência
a)Na reta ou fora dela
exis tem infinitos pontos:
b)No plano ou fora dele
exis tem infinitos pontos: 
❑ Postulado da inclusão
Se dois pontos distintos de uma
reta pertencem a um plano, ela está
contida neste plano.
❑ Postulados da
determinação
a)Determinação da reta
Dois pontos distintos determi -
nam uma reta.
b)Determinação do plano
Três pontos não colineares de -
ter mi nam um plano.
3. CASOS DE 
DETERMINAÇÃO
DE PLANOS
Além do caso abordado no item
anterior, têm-se mais três outras
formas de se determinar um plano,
que são as seguintes:
❑ Por um ponto e uma reta
Uma reta e um ponto não per ten -
 cente a ela determinam um plano.
❑ Por duas retas concor ren tes
Duas retas concorrentes de ter -
minam um plano.
❑ Por duas retas 
paralelas distintas
Duas retas paralelas distintas de -
terminam um plano.
32 –
MÓDULOS 28 e 29
Paralelismo, Perpendicularismo no 
Espaço e Projeções Ortogonais
C4_3oMAT_TEO_CONV_Rose 04/03/11 08:38 Página 32
4. POSIÇÕES RELATIVAS
❑ Entre retas
a)Coincidentes
Possuem todos os pontos em co -
mum.
b)Concorrentes
Possuem um único ponto em co -
mum.
c)Paralelas (distintas 
ou coincidentes)
Quando coincidem ou quando
não possuem pontos em comum e
existe um plano que as contém.
d)Reversas
Quando não existe plano que as
contém.
❑ Entre reta e plano
a)Contida
Quando todos os pontos da reta
per ten cem ao plano.
b) Incidente
Quando a reta e o plano pos suem
um único ponto em comum.
c)Paralela
Quando a reta e o plano não pos -
suem pontos em comum.
❑ Entre planos
a)Coincidentes
Possuem todos os pontos em co -
mum.
b)Secantes
Interceptam-se numa reta.
c)Paralelos
Quando coincidem ou possuem
in tersecção vazia.
5. INTERSECÇÃO DE PLANOS
❑ Intersecção de dois planos
Se dois planos distintos pos suem
um ponto em comum, então eles se
interceptam numa reta.
P ∈ α, P ∈ β e α ≠ β ⇒ ∃ | r |α ∩ β = r 
❑ Intersecção de três planos
Se três planos distintos se inter -
cep tam dois a dois em três retas,
então ou elas são concorrentes num
mesmo ponto, ou são paralelas.
– 33
C4_3oMAT_TEO_CONV_Rose 04/03/11 08:38 Página 33
6. TEOREMA FUNDAMENTAL DO
PARALELISMO DE RETA COM PLANO
A condição necessária e sufi cien te para que uma
reta seja para lela a um plano é que não esteja con tida
nele e seja paralela a uma reta desse plano.
7. TEOREMA FUNDAMENTAL 
DO PARALELISMO DE PLANOS
A condição necessária e sufi cien te para que dois
planos distintos sejam paralelos é um deles conter duas
retas concorrentes entre si e pa ralelas ao outro.
r � α, r // β
s � α, s // β } ⇔ α // βr � s = {P}
8. TEOREMA DE TALES
Um feixe de planos paralelos determina sobre duas
transversais segmentos correspondentes respec tiva -
mente proporcionais.
α //β // γ // ζ // …⇒ = = …AB–––––
A’B’
BC
–––––
B’C’
CD
–––––
C’D’
34 –
C4_3oMAT_TEO_CONV_Rose 04/03/11 08:38 Página 34
9. PERPENDICULARISMO 
ENTRE RETA E PLANO
❑ Definição
Uma reta é perpendicular a um pla no se, e somente
se, ela é per pen dicular a todas as retas do plano que
passam pelo ponto de intersecção dela com o plano
(pé).
❑ Teorema fundamental do
perpendicularismo entre reta e plano
A condição necessária e su fi ciente para que uma
reta seja per pen dicular a um plano é que forme ân gulo
reto com duas concor rentes do plano.
❑ Teorema das três perpendiculares
Sendo r perpendicular a α no ponto P, s contida em
α e passando por P, t contida em α, não passando por
P e perpendicular a s em Q, e R um ponto qualquer de
r, então a reta RQ
↔
é perpendicular à reta t.
❑ Propriedades do 
perpendicularismo de reta com plano
a) Duas retas perpendiculares a um mesmo plano
são paralelas.
b) Dois planos perpendiculares a uma mesma reta
são paralelos.
t ⊥ r � α
t ⊥ s � α } ⇒ t ⊥ αr � s = {P}
r ⊥ α } ⇒ r // ss ⊥ α
α ⊥ r } ⇒ α // ββ ⊥ r
– 35
C4_3oMAT_TEO_CONV_Rose 04/03/11 08:38 Página 35
10.PERPENDICULARISMO ENTRE PLANOS
Dois planos são perpendiculares se, e somente se,
um deles contém uma reta perpendicular ao outro.
❑ Propriedades do 
perpendicularismo de planos
a) Se uma reta é perpendi cular a um plano, qualquer
plano que a contenha é perpendicular ao primeiro.
b) Se dois planos secantes são perpendiculares a
um ter cei ro plano, a sua intersecção também será
perpendicular a este terceiro plano.
c) Se dois planos são perpen dicu lares, toda reta de
um, per pen dicular à intersecção, é per pendi cular ao
outro.
11. PROJEÇÕES ORTOGONAIS
❑ Projeção de um ponto
A projeção ortogonal de um ponto num plano é o “pé
da perpen dicular” ao plano pelo ponto.
O ponto P’ é a projeção ortogonal de P em α. O
plano α é chamado plano de projeção e a reta
perpendicular r é chamada reta projetante.
β ⊥ α
γ ⊥ α � ⇒ r ⊥ αβ ∩ γ = r
α ⊥ β
α ∩ β = s � ⇔ r ⊥ βr ⊂ α
r ⊥ s 
r � α } ⇒ α ⊥ βr ⊥ β
r ⊥ α β ⊥ α
r � β 
γ ⊥ α 
r � γ � ⇒ � δ ⊥ α
r � δ
36 –
C4_3oMAT_TEO_CONV_Rose 04/03/11 08:38 Página 36
❑ Projeção de uma figura
A projeção ortogonal de uma figura num plano é o
conjunto das projeções ortogonais dos pontos da figura.
Exemplo
A projeção ortogonal de um cilindro num plano
paralelo ao eixo é um retângulo. A projeção do mesmo
cilindro num plano paralelo à base é um círculo.
❑ Projeção de uma reta
A projeção ortogonal de uma reta num plano é o
conjunto das projeções ortogonais dos pontos da reta
neste plano.
a) Se a reta for perpendicular ao plano, a sua pro -
jeção orto gonal será um ponto.
Na figura, P é a projeção orto gonal de r em α.
b) Se a reta não for perpen di cular ao plano, a sua
projeção ortogonal será outra reta.
Na figura, r’ é a projeção ortogonal de r em �.
❑ Ângulo entre reta e plano
Se uma reta é perpendicular a um plano, o ângulo
entre ela e o plano é reto. Se a reta é oblíqua em relação
ao plano, o ângulo entre ela e o plano é o ângulo que ela
forma com a sua projeção ortogonal.
Na figura, temos:
a) A reta s forma ângulo reto com �.
b) O ângulo � que a reta r forma com o plano � é o
ângulo que a reta r forma com sua pro jeção
ortogonal r’.
❑ Retas de maior declive
Chamamos de retas de maior declive de um plano �
em relação a um plano � às retas de � que formam o
maior ângulo possível com �. Prova-se que, se os dois
planos são secantes, as retas de maior declive de um
em relação ao outro são per pendiculares à intersecção.
Na figura, r é uma reta de maior declive de � em
relação a �.
❑ Ângulos entre planos
Define-se ângulo entre dois planos como sendo o
ângulo que uma reta de maior declive de um forma com
o outro.
Na figura,
r é uma reta de maior declive de � em relação a �
r’ é a projeção ortogonal da reta r em �
� é o ângulo entre � e �
– 37C4_3oMAT_TEO_CONV_Rose 04/03/11 08:38 Página 37
1. DIEDROS
❑ Definição
Dois planos secantes α e β de ter minam no espaço
quatro semiespa ços.
Chama-se DIEDRO a intersecção não vazia de dois
desses semies pa ços.
Na figura, os semiplanos α e β são faces e a reta a
é a aresta do diedro determinado pela intersecção dos
semiespaços I e I’.
❑ Secção normal (ou reta) de um diedro
Chama-se secção normal (ou re ta) de um diedro a
intersecção desse diedro com um plano perpendicular
à sua aresta.
Observações
a) Todas as secções retas do mesmo diedro são
congruentes.
b) A medida de um diedro é a medida da sua secção
reta.
c) Dois diedros são congruentes quando suas
secções retas são con gruentes.
2. TRIEDROS
❑ Definição
Dadas três semirretas Va
→
, Vb
→
e Vc
→
de mesma origem
V e não copla nares, consideremos os semiespa ços I, II
e III, como se segue:
I com origem no plano (bc) e contendo Va
→
II com origem no plano (ac) e contendo Vb
→
III com origem no plano (ab) e contendo Vc
→
Chama-se triedro determinado por Va
→
, Vb
→
e Vc
→
a
intersecção dos semiespaços I, II e III.
V(a; b; c) = I ∩ II ∩ III
38 –
MÓDULO 30 Poliedros Convexos e Regulares
C4_3oMAT_TEO_CONV_Rose 04/03/11 08:38 Página 38
O ponto V é denominado vértice do triedro: as
semirretas Va
→
, Vb
→
e Vc
→
são as arestas, os ângulos aV
^
b,
aV
^
c e bV
^
c (ou a^b, ac^, e bc^ ) são as faces, e d1, d2, e d3
são os diedros do triedro.
❑ Relações entre as faces de um triedro
a) Em todo triedro, qualquer face é menor que a
soma das outras duas.
Assim, sendo f1, f2 e f3 as faces de um triedro, temos:
b) A soma das medidas (em graus) das faces de um
triedro qual quer é menor que 360°.
Assim:
❑ Relações entre os diedros de um triedro
a) Em qualquer triedro, a medida (em graus) de um
diedro aumentada de 180° supera a soma das medidas
dos outros dois.
Assim, sendo d1, d2 e d3 as me didas (em graus) dos
diedros de um triedro, temos:
 
b) A soma dos diedros de um trie dro está com -
preendida entre 2 re tos (180°) e 6 retos (540°).
Assim, sendo d1, d2 e d3 as me didas (em graus) dos
diedros de um trie dro, temos:
180° < d1 + d2 + d3 < 540°
3. POLIEDROS CONVEXOS
❑ Definição
Consideremos um número finito n (n ≥ 4) de
polígonos convexos, tal que:
– dois polígonos não estão num mesmo plano;
– cada lado de polígono é co mum a dois e somente
dois polígo nos;
– o plano de cada polígono dei xa todos os demais
polígonos num mes mo semiespaço.
Assim, ficam determinados n se mi espaços, cada um
dos quais tem origem no plano de um polígono e contém
os demais.
A intersecção desses n semies paços é denominada
poliedro conve xo.
❑ Elementos
Um poliedro convexo possui: fa ces, que são os
polígonos con vexos; arestas, que são os lados dos
polí gonos, e vértices, que são os vér tices dos po -
lígonos. A reunião das faces é denomi nada super fície
do poliedro.
❑ Relação de Euler
Para todo poliedro convexo de V vértices, A arestas
e F faces, ou para sua superfície, vale a relação:
❑ Soma dos ângulos das faces
Em todo poliedro convexo de V vértices, a soma dos
ângulos de to das as suas faces é dada por:
4. POLIEDROS DE PLATÃO
Um poliedro é denominado polie dro de Platão
quando:
a) todas as faces têm o mesmo número de lados;
b) em todos os vértices, concorre o mesmo número
de arestas;
c) vale a relação de Euler: 
(V – A + F = 2).
f1 < f2 + f3� f2 < f1 + f3f3 < f1 + f2
f1 + f2 + f3 < 360°
d1 + 180° > d2 + d3� d2 + 180° > d1 + d3d3 + 180° > d1 + d2 V – A + F = 2
S = (V – 2) . 360°
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Observação
Existem apenas cinco classes de poliedros de Platão.
5. POLIEDROS REGULARES (THODI)
São os poliedros de Platão em que as faces são regulares e con gruen tes.
Existem, portanto, apenas cinco tipos de poliedros regulares:
1) Tetraedros regulares
2) Hexaedros regulares (cubos)
3) Octaedros regulares 
4) Dodecaedros regulares
5) Icosaedros regulares
40 –
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