Aula - Rotação. Resistência dos Materiais

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ROTAÇÃO 
Ji-Paraná, 2016 
Docente: M.Sc. Marcos Leandro Alves Nunes 
y 
x 𝜃 
s r 
Eixo de rotação 
𝜃 
r 
Se o objeto gira, o 𝜃 irá 
variar 
Corpo rígido em torno 
de um eixo fixo 
ROTAÇÃO 
y 
x 𝜃 
s r 
𝜃 =
𝑠
𝑟
 [𝑟𝑎𝑑] 
Posição angular Deslocamento angular 
∆𝜃 = 𝜃 − 𝜃0 
Se o ângulo varia de 𝜃 para 𝜃0 ele 
desenvolve uma velocidade 
𝜔𝑚𝑒𝑑 =
∆𝜃
∆𝑡
=
𝜃 − 𝜃0
𝑡 − 𝑡0
 
𝑣 =
∆𝑥
∆𝑡
 
𝜃 = 𝜃0 + 𝜔𝑚𝑒𝑑 . 𝑡 [rad/s] 
ROTAÇÃO 
𝜔 = lim
∆𝑡→0
∆𝜃
∆𝑡
 
Velocidade angular instantânea 
𝜔 =
𝑑𝜃
𝑑𝑡
 
Mas a velocidade angular não é constante, nesse 
caso tem uma aceleração 
𝛼𝑚𝑒𝑑 =
∆𝜔
∆𝑡
=
𝜔−𝜔0
𝑡−𝑡0
 [rad/s²] 
𝜔 = 𝜔0 + 𝛼𝑚𝑒𝑑 . 𝑡 
ROTAÇÃO 
Aceleração angular instantânea 
𝛼 =
𝑑
𝑑𝑡
 
Conclui-se que as fórmulas existentes para os 
movimentos de translação são válidas para os 
movimentos de rotação. 
𝛼𝑚𝑒𝑑 = lim
∆𝑡→0
∆𝜔
∆𝑡
 
ROTAÇÃO 
+ 
- 
As grandezas angulares são vetores, para representar 
o seu sentido, basta somente representar por positivo 
ou negativo. 
ROTAÇÃO 
Relacionar grandezas lineares e angulares 
𝜃 =
𝑠
𝑟
 
𝑠 = 𝜃. 𝑟 
𝑑𝑠
𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
(𝜃. 𝑟) 
𝑑𝑠
𝑑𝑡
=
𝑑𝜃
𝑑𝑡
. 𝑟 + 𝜃.
𝑑𝑟
𝑑𝑡
 
𝑣 = 𝑟. 𝜔 + 0 𝑣 = 𝑟. 𝜔 
ROTAÇÃO 
Relacionar grandezas lineares e angulares 
𝑑𝑣
𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
(𝜔. 𝑟) 
𝑑𝑣
𝑑𝑡
=
𝑑𝜔
𝑑𝑡
. 𝑟 + 𝜔.
𝑑𝑟
𝑑𝑡
 
𝑎𝑡 = 𝛼. 𝑟 𝑎𝑟 =
𝑣²
𝑟
 
ROTAÇÃO 
Tempo para fechar uma volta 
∆𝑥 = 𝑣. 𝑡 linear 
∆𝜃 = 𝜔. 𝑡 angular 
2𝜋 = 𝜔. 𝑡 
𝜔 =
2𝜋
𝑇
 𝑇 =
2𝜋
𝜔
 
ROTAÇÃO 
Energia cinética na rotação 
𝑘 =
1
2
𝑚1𝑣²1 +
1
2
𝑚2𝑣²2 +⋯+
1
2
𝑚𝑛𝑣²𝑛 
Se o corpo se move é porque possui energia 
Essas velocidades não são iguais. Os elementos 
que estão mais próximos da borda possuem 
velocidade maior. 
ROTAÇÃO 
Energia cinética na rotação 
𝑘 =
1
2
𝑚1(ω𝑟1)² + ⋯+
1
2
𝑚𝑛(ω𝑟𝑛)² 
Se o corpo se move é porque possui energia 
𝑘 =
1
2
ω²(𝑚1𝑟²1) + ⋯+
1
2
ω²(𝑚𝑛𝑟²𝑛) 
𝑘 =
1
2
ω² (𝑚𝑖𝑟²𝑖)
𝑛
𝑖=1
 
Momento de inércia 
ROTAÇÃO 
Momento de inércia 
Parâmetro que mede como a massa está distribuída ao 
longo do eixo de rotação. Na translação, o parâmetro 
que norteia para verificar se o corpo acelera pouco ou 
não é a massa. Na rotação, apenas a massa não 
expressa muita coisa. Deve-se informar como ela está 
distribuída ao longo do seu eixo. 
ROTAÇÃO 
Energia cinética na rotação 
Se o corpo se move é porque possui energia 
𝑘 =
1
2
ω² (𝑚𝑖𝑟²𝑖)
𝑛
𝑖=1
 
Mais próximo do eixo de rotação, menor o “r”, 
menor o momento de inércia e menor a energia 
cinética necessária. 
ROTAÇÃO 
Energia cinética na rotação 
𝑘 =
1
2
𝐼. ω² 
𝐼 = lim
𝑛→∞
 (𝑚𝑖𝑟²𝑖)
𝑛
𝑖=1
 
Distribuição de massa contínua 
𝐼 = (𝑚𝑖𝑟²𝑖)
𝑛
𝑖=1
 
𝐼 = 𝑟². 𝑑𝑚 
Valores tabelados 
(eixo de rotação 
coincide com o CM) 
ROTAÇÃO 
Alguns momentos de inércia 
Exemplo 1 
Durante um intervalo de tempo t , a turbina de 
um gerador gira um ângulo 𝜃 = 𝑎𝑡 + 𝑏𝑡3 − 𝑐𝑡4, 
onde a , b e c são constantes. 
a) Determine a expressão para sua velocidade angular. 
 
b) Determine a expressão para sua aceleração angular. 
Um prato de toca-discos, rodando a 33 1/3 rev/min, 
diminui e para 30s após o motor ser desligado. 
 
 a) Determine a sua aceleração angular (uniforme) 
em rev/min²; 
 
b) Quantas revoluções o motor realiza neste 
intervalo? 
 
Exemplo 2 
Exemplo 3 
Exemplo 4