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Aula 02 Polinômios Dispositivo prático de Briot-ruffini: Termo independente Todo polinômio que apresentar termo independente diferente de zero não terá raízes nulas. Porém se o termo independente for nulo (zero) então podemos dizer que o ZERO é raiz deste polinômio, e sua multiplicidade será igual ao menor valor do expoente da variável "x". Raízes reais e raízes imaginárias Todo polinômio tem um número par de raízes complexas, pois as raízes complexas são aos pares (o número complexo e seu conjugado). Portanto um polinômio de grau ímpar terá no mínimo uma raiz real! Raízes reais: a quantidade de raízes reais tem a mesma qualidade do grau do polinômio: Polinômio com grau ímpar possui quantidade ímpar de raízes reais. Polinômio com grau par possui quantidade par de raízes reais. Teorema do resto “O resto da divisão de um polinômio P(x) por um binômio do tipo (x – a) é o valor numérico para P(a)” Ou seja, para determinar o resto da divisão de um polinômio por um binômio do primeiro grau devemos substituir o “x” pela raiz do divisor. (igualar a zero e isolar o “x”) Obs: Se este resto for igual a zero, ou seja, P(a) = 0 então dizemos que o polinômio P(x) é DIVISÍVEL pelo binômio (x – a), e, portanto "a" é uma raiz do polinômio P(x). Ex1: O resto da divisão de P(x) = 2x3 + 5x2 – 4x – 3 por x +2 é 9 x + 2 = 0 2. (-2)3 + 5 . (-2)2 – 4 . (-2) – 3 x = -2 2.(-8) + 5 . 4 + 8 – 3 -16 +20 + 8 – 3 = 9 Ex2: O resto da divisão de P (x) = 2x2 – x – 1 por P (x)= x – 1 é ZERO, pois fazendo-se x – 1 = 0, temos que x = 1 e como a soma dos coeficientes de P(x) resulta zero, “1” também é raiz desse polinômio. Exercícios 1) (UFPR PR) O resto da divisão de P(x)= x4 – 2x3 + 2x2 + 5x +1 por x-2 é: a) 1 b) 20 c) 0 d) 19 e) 2 2) (UFRN RN) Seja P (x)= x3+ 6x – x – 30 . Se P(2) = 0, então o conjunto solução de P(x) = 0 é: a) {-2, -3, -5} b) {2, -3, -5} c) {2, -2, -2} d) {2, 3, 5} e) {2, 6, 30} 3) (PUC SP) Sabe-se que -1 é raiz do polinômio f= x3 + x2 – 2x – 2. As demais raízes desse polinômio são os números: a) irracionais. b) não reais. c) racionais não inteiros. d) inteiros positivos. e) inteiros e opostos entre si. 4) (UFMA MA) Sabendo que 2 é raiz da equação algébrica x3 + 4x2 – 4x – 16 = 0 , então o produto das outras duas raízes desta equação é: a) 2 b) 8 c) 10 d) -6 e) -4 5) (FAFI MG) O resto da divisão de P(x)= x5 – 3x4 + 2x3 – x2 + x – 1 por q(x)= x – 3 é: a) um múltiplo de 7. b) um número primo. c) um múltiplo de 12. d) um divisor de 100. e) maior que 50. Gabarito 1 - D 2 - B 3 - A 4 - B 5 – B
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