Resumo de esboço de gráficos de função simplificado

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Resumo de esboço de um gráfico de função 
 [f(x) = ] 
1º passo: 
Determinar o domínio da função, ou seja, dizer todos os pontos onde 
aquela função existe. 
Ex: 
 
O domínio dessa função seriam todos os números reais. (Df=R) 
 
2º passo: 
Determinar as raízes ou utilizar pontos de referência, como x=0 ou y=0. 
Ex: 
 
 
 
Raízes= -1 e 1 
OBS: para descobrir a raiz de uma função com numerador e 
denominador, deve-se olhar para a equação do numerador, pois o 
denominador nunca poderá ser 0. 
 
 
 
 
3º passo: 
Determinar as assíntotas: 
a) Verticais 
a.1) Para isso, devemos fazer o limite da função com x tendendo a 
restrição do domínio(RD), tanto pela esquerda, quanto pela direita. 
Como não possui RD, não possuirá Assíntota 
vertical. Usaremos a função 
 
 
 , cuja RD é = 0 
 
 
 
 
 
 = +∞ 
 
 
 
 = -∞ 
 
 
 
b) Horizontais 
 
b.1) Para isso, devemos 
fazer o limite da função 
com x tendendo a +∞ e -∞. 
Para 
 
 
 : 
 
 
 
 = +∞ 
 
 
 
 = -∞ 
 
Para 
 
 = +∞ 
 
 = -∞ 
*Como o valor desses limites não resultou numa constante, não existem 
assíntotas horizontais. 
 
 
 
4º passo: 
Determinar os intervalos de crescimento e decrescimento. Para isso, 
devemos estudar o sinal da derivada de 1º ordem da função. 
 
 Usando a função f(x) = 
f(x)= , 
f’(x)= . 
Tirando as raízes e fazendo o estudo dos sinais da derivada da função, 
temos: 
 
 
 
 e 1 como raízes, ou seja, números 
menores que 
 
 
 resultarão em valores 
positivos no coeficiente angular da reta derivada, o que prova que a 
função é crescente até aquele ponto, e 
 
 
 acaba por ser o ponto máximo 
da função. Números maiores que 
 
 
 e menores que 1, resultarão em 
valores negativos no coeficiente angular da reta derivada, o que prova que 
a função é decrescente entre aqueles pontos e 1 acaba por ser o ponto 
mínimo da função, por ser aonde a função “muda” de negativo para 
positivo. Números maiores que 1 resultarão em valores positivos no 
coeficiente angular da reta derivada, o que prova que a função é crescente 
a partir daquele ponto. 
 
 
5º passo: 
Determinar a concavidade e o ponto de inflexão da função. Para isso 
devemos fazer a derivada de segunda ordem da função. 
 Usando a função f(x) = 
f(x)= , 
f’(x)= . 
f’’(x)= 6x-2 
O que resulta numa reta com raíz = 
 
 
, o que nos fornece o ponto de 
inflexão, que somente existe se a derivada de segunda ordem tiver uma 
raíz (mudança de sinal). 
Onde a função for negativa, a concavidade é voltada para baixo, e onde a 
função for positiva, a concavidade é voltada para cima. 
 
 
 
 
6º passo: 
Organizar informações adquiridas e introduzi-las no gráfico. 
Domínio da função: R 
Raízes: -1 e 1 
Assíntotas verticais: Não 
existem, pois não há RD, 
o que prova que a função 
é contínua 
Assíntotas horizontais: 
Não existem, porem 
quando x tende a +∞, a 
função tende a +∞ e 
quando x tende a -∞ a 
função tende a -∞. 
Pontos de crescimento: 
(-∞,
 
 ]U[1,+∞) 
Pontos de 
decrescimento: [
 
 ,1] 
Concavidade: Voltada 
para baixo para valores 
menores que 
 
 e voltada 
para cima para valores maiores que 
 
 . 
Pontos de interesse: 
*Raízes: [x=-1,y=0], [x=1,y=0] 
*Ponto de intersecção com o eixo y: [x=0,y=1] 
*Ponto(s) de máximo: [x=
 
 ,y=
 
 
] 
*Ponto(s) de mínimo: [x=1,y=0] 
*Ponto de inflexão: [x=
 
 ,y=
 
 
]