Juros compostos

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MATEMÁTICA FINANCEIRA 
PROF. ELISSON DE ANDRADE 
 
 
Blog: www.profelisson.com.br 
 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 3: JUROS COMPOSTOS 
 
 
Exercícios resolvidos e comentados 
 
 
 
 
 
 
 
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RESUMO SOBRE JUROS COMPOSTOS 
 
 
Fórmulas: 
J = VF - VP 
 
�� = ��(� + �)
 
 
Obs: considerar um mês contendo 30 dias; e um ano contendo 360 dias. 
 
 
 
Lembre-se dos 3 passos: 
1) Identifique as variáveis: muito importante antes de 
iniciar qualquer exercício 
2) Verifique se i e n estão na mesma unidade de 
tempo: se não estiverem, será preciso transformar a 
variável n (por ora só transformaremos n, pois não 
aprendemos a fazer equivalência de taxas) 
3) Resolva a equação: aqui a questão é aprender a 
manusear a calculadora científica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TRANSFORMANDO DATAS 
 
 
Antes de iniciarmos os exercícios propriamente ditos, é preciso esclarecer como 
transformar datas. Isso significa passar um período que está em mês para ano. Ou um 
período que está em dias em bimestre. Tal questão é de suma importância, dado que não 
sabemos como transformar as taxas de juros (i) – isso é matéria da AULA 4: 
Equivalência de Taxas. Dessa forma, toda vez que i e n não estiverem na mesma 
unidade, transformaremos o período (n). 
VAMOS PARA ALGUNS EXEMPLOS: 
 
1) Transformar n = 1 mês, para ano 
Para fazer tal transformação, basta aplicar uma regra de 3 
 
1 ano -------------- 12 meses 
x ano -------------- 1 mês 
 
Resolvendo a regra de 3, chegamos que x = 1/12 , ou seja, um mês é igual a um doze 
avos (1/12) ano. 
 
2) Transformar n = 168 dias, para bimestre 
Regra de 3: 
 
1 bimestre ------------------- 60 dias 
x bimestre ------------------- 168 dias 
 
Resolvendo a regra de 3, verificamos que x = 168/60. Isso significa que o resultado 
dessa divisão é exatamente quantos bimestres existem dentro de 168 dias. 
 
Nos demais exercícios veremos outros casos de aplicação de transformação de 
datas. 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
Imprima esta folha e tente resolver os exercícios abaixo, sem olhar na 
resolução comentada. Aplique os conceitos aprendidos no vídeo 
correspondente à Aula 3. 
 
1) Qual o valor a ser pago de um empréstimo de R$1.000,00, daqui a 6 meses, sendo a 
taxa de juros de 1,8% ao mês? 
 
2) Depois de 5 anos, retirei da conta do meu banco o valor de R$6.500,00. Sabendo que 
ele ficou rendendo a uma taxa de juros de 12% ao ano, qual foi o valor aplicado? 
 
3) Um investidor colocou R$55.000,00 em uma aplicação que rende 1,2% ao mês. 
Depois de quantos meses ele terá R$67.364,55? 
 
4) Maristela fez um empréstimo de R$6.000,00 e ao final de 12 meses, pagou 
R$7.609,45. Qual a taxa de juros mensal dessa aplicação? 
 
5) Aplicando-se $ 1.000,00 por um prazo de dois anos a uma taxa de 5% ao semestre, 
qual será o montante no fim do período? 
 
6) Um capital de $ 2.000.000,00 é aplicado durante um ano e três meses à taxa de 2% 
a.m. Quais os juros gerados no período? 
 
7) Calcule qual o montante que se obtém de uma aplicação de $1.000,00 à taxa de 10% 
a.a. durante 50 dias. 
 
8) Em quantos dias uma aplicação de R$374.938,00, à taxa de 3,25% ao mês, gera um 
resgate de R$500.000,00? 
 
9) Qual o montante produzido pela aplicação de R$580,00, à taxa de 175% ao ano, pelo 
prazo de 213 dias? 
 
10) Determinado capital aplicado a juros compostos, durante 12 meses, rende uma 
quantia de juros igual ao valor aplicado. Qual a taxa mensal dessa aplicação? 
 
11) Se um capital investido por 16 semestres, à taxa de 16 % ao ano, rende de juros 
exatamente R$ 21.945,08, determine o valor inicial e o montante. 
 
12) Qual o valor aplicado durante 12 meses ao recebermos juros de $ 23.500, se a taxa é 
de 5,0625 % ao bimestre? 
 
 
 
 
 
1) Qual o valor a ser pago de um empréstimo de R$1.000,00, daqui a 6 meses, 
sendo a taxa de juros de 1,8% ao mês? 
 
RESOLUÇÃO 
PASSO 1: identificar as variáveis 
As variáveis são: VP = 1000 ; VF = ? ; n = 6 meses ; i = 1,8% ao mês 
 
PASSO 2: verificar se i e n estão na mesma unidade de tempo 
Sim. Ambas as variáveis estão em meses. 
 
PASSO 3: resolver a equação 
Substituindo as variáveis na equação. 
�� = ����(� + �, ��
)� 
Resolvendo o termo elevado a 6 na calculadora, conforme aprendemos na vídeo-aula 3, 
temos: 
�� = ����	. �, �����
 
�� = ����, �� 
 
RESPOSTA: R$1.112,97 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Depois de 5 anos, retirei da conta do meu banco o valor de R$6.500,00. Sabendo 
que ele ficou rendendo a uma taxa de juros de 12% ao ano, qual foi o valor 
aplicado? 
 
RESOLUÇÃO 
PASSO 1: identificar as variáveis 
As variáveis são: VP = ? ; VF =6500 ; n = 5 anos ; i = 12% ao ano 
 
PASSO 2: verificar se i e n estão na mesma unidade de tempo 
Ambas as variáveis estão em ano. Logo, não precisa transformar nada. 
 
 
PASSO 3: resolver a equação 
Substituindo as variáveis na equação. 
���� = ��(� + �, ��)� 
Resolvendo o termo entre parênteses na calculadora, conforme aprendemos na vídeo-
aula 3, temos: 
���� = ��	. �, ������ 
����
	�, ������
= �� 
�� = ��
, �� 
 
RESPOSTA: R$3.688,27 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Um investidor colocou R$55.000,00 em uma aplicação que rende 1,2% ao mês. 
Depois de quantos meses ele terá R$67.364,55? 
 
RESOLUÇÃO 
PASSO 1: identificar as variáveis 
As variáveis são: VP = 55000 ; VF =67364,55 ; n = ? ; i = 1,2% ao mês 
 
PASSO 2: verificar se i e n estão na mesma unidade de tempo 
Queremos a resposta em mês e a taxa já está em mês. Logo, não é necessário fazer 
qualquer transformação. 
 
PASSO 3: resolver a equação 
Substituindo as variáveis na equação. 
�����, �� = �����(� + �, ���)
 
Passando o 55000 dividindo o termo da esquerda 
�����, ��
�����
= (� + �, ���)
 
�, ���
� = (� + �, ���)
 
Aplicando logaritmo em ambos os lados da equação, temos que: 
���(�, ���
�) = 
	. ���(�, ���) 
���(�, ���
�)
���(�, ���)
= 
	 
Resolvendo essa conta dos logaritmos da mesma forma que aprendemos na vídeo-aula 
3, chegamos a 
�� = 
 
 
RESPOSTA: 17 meses 
 
 
 
 
 
 
 
4) Maristela fez um empréstimo de R$6.000,00 e ao final de 12 meses, pagou 
R$7.609,45. Qual a taxa de juros mensal dessa aplicação? 
 
RESOLUÇÃO 
PASSO 1: identificar as variáveis 
As variáveis são: VP = 6000 ; VF = 7609,45 ; n = 12 meses ; i = ? 
 
PASSO 2: verificar se i e n estão na mesma unidade de tempo 
Queremos a resposta em mês e o período já está em mês. Logo, não é necessário fazer 
qualquer transformação. 
 
PASSO 3: resolver a equação 
Substituindo as variáveis na equação. 
����, �� = ����(� + �)�� 
Passando o 6000 dividindo o termo da esquerda, temos 
����, ��
����
= (� + �)�� 
�, ��
��� = (� + �)�� 
Conforme vimos na vídeo-aula 3, é necessário passar o expoente 12, para o outro lado 
da equação, invertido. Ou seja, se ele está igual a 12/1, agora passará para o outro lado 
como 1/12. Veja abaixo. 
�, ��
���
�
�� = � + � 
 
Resolvendo o a potência 1,268241
�
� 
 na calculadora, podemos continuar a conta, como 
segue. 
�, ������ = � + � 
De forma a isolar a taxa (i), passaremos o número 1 para a esquerda, de maneira 
negativa 
�, ������ − � = � 
�, ������ = � 
 
RESPOSTA: depois de multiplicar por 100, chegamos ao resultado de 1,9999% ao 
mês, ou aproximadamente, 2% ao mês. 
 
5) Aplicando-se R$1.000,00 por um prazo dedois anos a uma taxa de 5% ao 
semestre, qual será o montante no fim do período? 
 
RESOLUÇÃO 
PASSO 1: identificar as variáveis 
As variáveis são: VP = 1000 ; VF = ? ; n = 2 anos ; i = 5% ao semestre 
 
PASSO 2: verificar se i e n estão na mesma unidade de tempo 
Nesse caso, i e n deverão ficar na mesma unidade. 
SEMPRE iremos transformar o período, na mesma unidade da taxa 
1 ano -------------- 2 semestres 
2 anos -------------- x semestres 
x = 2 . 2 = 4 semestres 
 
PASSO 3: resolver a equação 
Substituindo as variáveis na equação. 
�� = ����(� + �, ��)� 
Resolvendo o termo entre parênteses na calculadora, conforme aprendemos na vídeo-
aula 3, temos: 
�� = ����	. �, ������ 
�� = ����, �� 
 
RESPOSTA: R$1.215,50 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) Um capital de $ 2.000,00 é aplicado durante um ano e três meses à taxa de 2% 
a.m. Quais os juros gerados no período? 
 
 
RESOLUÇÃO 
PASSO 1: identificar as variáveis 
As variáveis são: VP = 2000 ; J =? ; n = 1 ano e 3 meses ; i = 2% ao mês 
 
PASSO 2: verificar se i e n estão na mesma unidade de tempo 
Aqui a transformação do período para meses é simples, não necessitando nem fazer a 
regra de 3. Um ano tem 12 meses. Logo, um ano e três meses possui 12+3 = 15 meses. 
 
PASSO 3: resolver a equação 
Nesse caso, não iremos conseguir calcular os juros (J) com uma só fórmula. 
Primeiramente, precisaremos calcular o VF, para só depois calcular J. Dessa forma, 
substituindo os valores na fórmula usual? 
�� = ����(� + �, ��)�� 
Resolvendo o termo entre parênteses na calculadora, conforme aprendemos na vídeo-
aula 3, temos: 
�� = ����	. �, ���
�
 
�� = ����, �� 
 
Para calcular os juros, basta usar a fórmula J = VF – VP, da seguinte forma: 
" = ����, �� − ���� 
" = ���, �� 
 
RESPOSTA: R$691,73 
 
 
 
 
 
 
 
7) Calcule qual o montante que se obtém de uma aplicação de $1.000,00 à taxa de 
10% a.a. durante 50 dias. 
 
RESOLUÇÃO 
PASSO 1: identificar as variáveis 
As variáveis são: VP = 1000 ; VF = ? ; n = 50 dias ; i = 10% ao ano 
 
PASSO 2: verificar se i e n estão na mesma unidade de tempo 
Nesse caso, i e n deverão ficar na mesma unidade. 
SEMPRE iremos transformar o período, na mesma unidade da taxa 
1 ano -------------- 360 dias 
x ano -------------- 50 dias 
x = 
#$
%&$
 ano 
 
PASSO 3: resolver a equação 
Substituindo as variáveis na equação. 
�� = ����(� + �, �)
��
���
 
Resolvendo o termo entre parênteses na calculadora, conforme aprendemos na vídeo-
aula 3 (digita o 1,1, aperta o botão que faz esse número ser elevado a outro, abre 
parênteses, digita a divisão 50/360, fecha parênteses, e aperta igual), temos: 
�� = ����	. �, ����� 
�� = ����, �� 
 
RESPOSTA: R$1.013,32 
 
 
 
 
 
 
 
 
8) Em quantos dias uma aplicação de R$374.938,00, à taxa de 3,25% ao mês, gera 
um resgate de R$500.000,00? 
 
 
RESOLUÇÃO 
PASSO 1: identificar as variáveis 
As variáveis são: VP = 374938 ; VF =500000 ; n = ? ; i = 3,25% ao mês 
 
PASSO 2: verificar se i e n estão na mesma unidade de tempo 
Queremos a resposta em dia e a taxa já está em mês. Logo, não mexeremos na taxa e 
acharemos a resposta em mês. Ao final, fazemos a transformação de n, passando de 
mês para dia. 
 
PASSO 3: resolver a equação 
Substituindo as variáveis na equação. 
������ = �����
(� + �, ����)
 
Passando o 55000 dividindo o termo da esquerda 
������
�����
= (� + �, ����)
 
�, ������ = (�, ����)
 
Aplicando logaritmo em ambos os lados da equação, temos que: 
���(�, ������) = 
	. ���(�, ����) 
���(�, ������)
���(�, ����)
= 
	 
Resolvendo essa conta dos logaritmos da mesma forma que aprendemos na vídeo-aula 
3, chegamos a 
 = �	'()() 
 
Para transformar 9 meses em dias, basta que multipliquemos esse valor por 30. Logo: 
9	. 30 = 270	./01 
 
RESPOSTA: 270 dias 
 
 
9) Qual o montante produzido pela aplicação de R$580,00, à taxa de 175% ao ano, 
pelo prazo de 213 dias? 
 
RESOLUÇÃO 
PASSO 1: identificar as variáveis 
As variáveis são: VP = 580 ; VF = ? ; n = 213 dias ; i = 175% ao ano 
 
PASSO 2: verificar se i e n estão na mesma unidade de tempo 
Nesse caso, i e n deverão ficar na mesma unidade. 
SEMPRE iremos transformar o período, na mesma unidade da taxa 
1 ano -------------- 360 dias 
x ano -------------- 213 dias 
x = 
23%
%&$
 ano 
 
PASSO 3: resolver a equação 
Substituindo as variáveis na equação. 
�� = �
�(� + �, ��)
���
���
 
 
Perceba que ao dividir 175% por 100, para expressar tal valor na forma decimal, 
chegamos a 1,75. Depois, basta soma-lo a 1, que chegamos a: 
�� = �
�(�, ��)
���
���
 
Resolvendo o termo entre parênteses na calculadora, conforme aprendemos na vídeo-
aula 3, temos: 
�� = �
�	. �, 
����� 
�� = ����, �� 
 
RESPOSTA: R$1.055,27 
 
 
 
 
 
10) Determinado capital aplicado a juros compostos, durante 12 meses, rende uma 
quantia de juros igual ao valor aplicado. Qual a taxa mensal dessa aplicação? 
 
RESOLUÇÃO 
PASSO 1: identificar as variáveis 
Esse exercício parece, à primeira vista, que está faltando informação. Todavia, o 
importante é notarmos que irá render de juros (J) valor igual ao aplicado (VP). 
Sempre que eu aplico um dinheiro (VP), e vou resgatar VP + J (notem que isso sempre 
vai ocorrer, pois quando aplico um dinheiro, saco aquele dinheiro aplicado mais 
juros). 
Agora, sabemos que os juros serão iguais ao valor aplicado, ou seja, VP = J. Logo, 
podemos concluir que o valor futuro a ser resgatado, pode ser expresso por 
VF = VP + J que é o mesmo que VF = VP + VP ou VF = 2 . VP 
Portanto, as variáveis são: VP = ? ; VF = 2 . VP ; n = 12 meses ; i = ? 
 
PASSO 2: verificar se i e n estão na mesma unidade de tempo 
Sim. Queremos a resposta em mês e o período já está em mês. 
 
PASSO 3: resolver a equação 
Substituindo as variáveis na equação. 
�. �� = ��(� + �)�� 
Passando VP dividindo o termo da esquerda, ficará VP/VP. Essa divisão é igual a um, 
fazendo com que o VP desapareça da equação, resultando em 
� = (� + �)�� 
Conforme vimos na vídeo-aula 3, é necessário passar o expoente 12, para o outro lado 
da equação, invertido. Ou seja, se ele está igual a 12/1, agora passará para o outro lado 
como 1/12. Veja abaixo. 
�
�
�� = � + � 
�, ���� = � + � 
�, ���� − � = � 
�, ���� = � 
 
RESPOSTA: depois de multiplicar por 100, chegamos ao resultado de 5,94% ao 
mês. 
11) Se um capital investido por 16 semestres, à taxa de 16 % ao ano, rende de juros 
exatamente R$ 21.945,08, determine o valor inicial e o montante. 
 
RESOLUÇÃO 
PASSO 1: identificar as variáveis 
As variáveis são: VP = ? ; VF = ? ; n = 16 semestres ; i = 16% ao ano ; J = 21945,08 
Mais uma vez, temos um exercício um pouco mais complicado. Pois a nossa fórmula 
45 = 46(1 + /)7 não é possível de ser utilizada diretamente. 
 
Para resolver essa questão, como temos o valor dos juros (J), utilizaremos a fórmula 
VF = VP + J, substituindo-a na fórmula 45 = 46(1 + /)7. Dessa forma, nossa 
equação ficará da seguinte maneira: 
�� + " = ��(� + �)
 
 
PASSO 2: verificar se i e n estão na mesma unidade de tempo 
Nesse caso, i e n deverão ficar na mesma unidade. 
SEMPRE iremos transformar o período, na mesma unidade da taxa 
1 ano -------------- 2 semestres 
x anos -------------- 16 semestres 
x = 
3&
2
 = 8 anos 
 
PASSO 3: resolver a equação 
Substituindo as variáveis na equação descrita no PASSO 1: 
�� + �����, �
 = ��(� + �, ��)
 
�� + �����, �
 = �� . �, ��
��� 
 
Agora passarei o VP do lado esquerdo, de forma negativa, para o lado direito. 
�����, �
 = �� . �, ��
��� − �� 
 
 
 
 
 
 
Se de 3,278414VP, eu subtrair apenas um VP, sobram 2,278414 VP 
�����, �
 = �, ��
���	.		�� 
�����, �
�, ��
���	
= �� 
�� = ����, �� 
 
A primeira resposta, sobre VP já temos. Agora basta calcular o valor de VF, somando 
ao valor de VP, os juros. 
�� = �� + " = 	����, �� + �����, �
 
�� = �����, 
� 
 
 
RESPOSTAS: 
 
VP = R$ 9.631,73 
VF = R$ 31.576,81 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12) Qual o valor aplicado durante 12 meses ao recebermos juros de $ 23.500, se a 
taxa é de 5,0625 % ao bimestre? 
 
RESOLUÇÃO 
PASSO 1: identificar as variáveis 
As variáveis: VP = ? ; n = 12 meses ; i = 5,0625% ao bimestre ; J = 23500 
Esse exercício é muito parecido com o anterior. Oferece o valor dos Juros e quer o 
valor presente. Logo, utilizaremos novamente a fórmula. 
�� + " = ��(� + �)
 
 
PASSO 2: verificar se i e n estão na mesma unidade de tempo 
Nesse caso, i e n deverão ficar na mesma unidade. 
SEMPRE iremos transformar o período, na mesma unidade da taxa 
1 bimestre -------------- 2 meses 
x bimestres ------------- 12 semestres 
x = 
32
2
	= 6 bimestres 
 
PASSO 3: resolver a equação 
Substituindo as variáveis na equação descrita no PASSO 1: 
�� + ����� = ��(� + �, ������)� 
�� + ����� = ��	.		�, ���
 
 
Agora passarei o VP do lado esquerdo, de forma negativa, para o lado direito. 
����� = ��	. �, ���
 − �� 
 
Se de 1,344888 VP, eu subtrair apenas um VP, sobram 0,344888 VP 
����� = �, ���
	.		�� 
�����
�, ���
	
= �� 
�� = �
���, �� 
RESPOSTA: R$ 68.137,90