Provas de Cálculo

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Ca´lculo Diferencial e Integral 1 - MA026 - 1o Semestre de 2016 - 13/04/2016
Aluno(a): CPF:
1o Exerc´ıcio Escolar de Ca´lculo 1
Instruc¸o˜es
♦ Escreva seu nome e o nu´mero de seu CPF no lugar indicado desta folha.
♦ Confira que ha´ 4 questo˜es no caderno de prova.
♦ Na˜o e´ permitido qualquer tipo de consulta.
♦ Todos os aparelhos eletroˆnicos devera˜o permanecer desligados durante a prova.
♦ Leia atentamente o enunciado das questo˜es antes de tentar soluciona´-las.
♦ A interpretac¸a˜o da questa˜o faz parte do processo de avaliac¸a˜o.
♦ As respostas somente sera˜o aceitas com justificativas.
♦ Esta folha devera´ ser devolvida junto com o caderno de respostas.
Questo˜es
1. (2, 0 pontos) Considere a func¸a˜o
f(x) =
1− 2x
3 + x
.
Usando a definic¸a˜o de derivada, calcule f ′(a). Aqui, a 6= −3 e´ um nu´mero real qualquer.
Soluc¸a˜o 1. Por definic¸a˜o, temos que
f ′(a) = lim
h→ 0
f(a+ h)− f(a)
h
= lim
h→ 0
1− 2(a+ h)
3 + (a+ h)
− 1− 2a
3 + a
h
= lim
h→ 0
(3 + a)(1− 2a− 2h)− (3 + a+ h)(1− 2a)
(3 + a+ h)(3 + a)
h
= lim
h→ 0
3− 6a− 6h+ a− 2a2 − 2ah− 3− a− h+ 6a+ 2a2 + 2ah
h(3 + a+ h)(3 + a)
= lim
h→ 0
−7h
h(3 + a+ h)(3 + a)
= lim
h→ 0
−7
(3 + a+ h)(3 + a)
=
−7
(3 + a)2
.
1
Ca´lculo Diferencial e Integral 1 - MA026 - 1o Semestre de 2016 - 13/04/2016
Soluc¸a˜o 2.
f ′(a) = lim
x→ a
f(x)− f(a)
x− a
= lim
x→ a
1− 2x
3 + x
− 1− 2a
3 + a
x− a
= lim
x→ a
(3 + a)(1− 2x)− (3 + x)(1− 2a)
(3 + x)(3 + a)
x− a
= lim
x→ a
3− 6x+ a− 2ax− 3 + 6a− x+ 2ax
(3 + x)(3 + a)
x− a
= lim
x→ a
−7(x− a)
(3 + x)(3 + a)
x− a
= lim
x→ a
−7(x− a)
(3 + x)(3 + a)(x− a)
= lim
x→ a
−7
(3 + x)(3 + a)
=
−7
(3 + a)2
.
�
2
Ca´lculo Diferencial e Integral 1 - MA026 - 1o Semestre de 2016 - 13/04/2016
2. Calcule a derivada das seguintes func¸o˜es:
(a) (1, 0 ponto) g(x) = x3 cos(x);
Soluc¸a˜o. Usando a Regra do Produto, temos que
g′(x) = (x3)′ cos(x) + x3(cos(x))′ = 3x2 cos(x)− x3 sen(x).
�
(b) (1, 0 ponto) ϕ(x) =
tg(ex)
ln x
;
Soluc¸a˜o. Pela Regra da Cadeia, conclu´ımos que (tg(ex))′ = tg’(ex).(ex)′ = sec2(ex) ex.
Assim, pela Regra do Quociente, segue que
ϕ′(x) =
(tg(ex))′ ln x− tg(ex) (ln x)′
(ln x)2
=
sec2(ex) ex ln x− tg(ex) 1
x
(ln x)2
=
x sec2(ex) ex ln x− tg(ex)
x ln2 x
.
�
(c) (1, 0 ponto) y = x
√
x.
Soluc¸a˜o. Se y = x
√
x enta˜o
ln y = ln x
√
x =
√
x ln x =⇒ y = e
√
x ln x.
Portanto, pela Regra da Cadeia:
y′ =
d
dx
(x
√
x) =
d
dx
(e
√
x ln x) = e
√
x ln x d
dx
(
√
x ln x) = x
√
x d
dx
(
√
x ln x)
= x
√
x
[
(
√
x)′ ln x+
√
x (ln x)′
]
= x
√
x
[
1
2
√
x
ln x+
√
x
1
x
]
= x
√
x
[
1
2
√
x
ln x+
1√
x
]
= x
√
x
[
2 + ln x
2
√
x
]
.
�
3
Ca´lculo Diferencial e Integral 1 - MA026 - 1o Semestre de 2016 - 13/04/2016
3. (2, 0 pontos) Encontre uma equac¸a˜o da reta tangente a` curva y = x
√
x que seja paralela a`
reta y = 3x+ 1.
Soluc¸a˜o. Inicialmente, note que se f(x) = x
√
x = x. x1/2 = x3/2, enta˜o
f ′(x) =
3
2
x
3
2
−1 =
3
2
x
1
2 =
3
2
√
x.
Agora, se (a, b) denota o ponto de tangeˆncia, sabemos que o coeficiente angular da reta
tangente ao gra´fico de f no ponto (a, b) e´ f ′(a) = 3
2
√
a. Por outro lado, como a reta
tangente e´ paralela a` reta de equac¸a˜o y = 3x + 1, segue que o coeficiente angular da reta
tangente e´ igual a 3. Assim,
3
2
√
a = 3 =⇒ √a = 2 =⇒ a = 4.
Como o ponto (a, b) pertence ao gra´fico de f , segue que b = a
√
a, ou seja b = 4
√
4 = 8.
Portanto, uma equac¸a˜o da reta tangente no ponto (4, 8) e´
y − 8 = 3(x− 4) ou y = 3x− 4.
�
4
Ca´lculo Diferencial e Integral 1 - MA026 - 1o Semestre de 2016 - 13/04/2016
4. Calcule os seguintes limites (na˜o e´ permitido o uso da regra de l’Hoˆspital):
(a) (1, 0 ponto) lim
x→+∞
(√
2x+ 1−√x+ 1
)
;
Soluc¸a˜o.
lim
x→+∞
(√
2x+ 1−√x+ 1
)
= lim
x→+∞
√
2x+ 1−√x+ 1√
2x+ 1 +
√
x+ 1
(√
2x+ 1 +
√
x+ 1
)
= lim
x→+∞
(2x+ 1)− (x+ 1)√
2x+ 1 +
√
x+ 1
= lim
x→+∞
x√
2x+ 1 +
√
x+ 1
= lim
x→+∞
x
x√
2x+ 1 +
√
x+ 1
x
= lim
x→+∞
1√
2x+ 1 +
√
x+ 1√
x2
= lim
x→+∞
1√
2x+ 1
x2
+
√
x+ 1
x2
= lim
x→+∞
1√
2
x
+
1
x2
+
√
1
x
+
1
x2
= +∞.
�
(b) (1, 0 ponto) lim
x→ a
x2 − (a+ 1)x+ a
x2 − a2 ;
Soluc¸a˜o.
lim
x→ a
x2 − (a+ 1)x+ a
x2 − a2 = limx→ a
(x− a)(x− 1)
(x− a)(x+ a)
= lim
x→ a
x− 1
x+ a
=
a− 1
2a
, se a 6= 0.
Se a = 0, o limite lim
x→ a
x2 − (a+ 1)x+ a
x2 − a2 = limx→ 0
x2 − x
x2
na˜o existe. De fato,
lim
x→ 0+
x2 − x
x2
= lim
x→ 0+
(
1− 1
x
)
= −∞ e lim
x→ 0−
x2 − x
x2
= lim
x→ 0−
(
1− 1
x
)
= +∞.
�
OBS.: Os alunos que na˜o consideraram o caso a = 0, na˜o sera˜o penalizados!
(c) (1, 0 ponto) lim
x→ 0
f(x), onde
f(x) =


sen x
x + sen x
, se x 6= 0,
0 , se x = 0.
A func¸a˜o f e´ cont´ınua em x = 0? (Justifique!)
5
Ca´lculo Diferencial e Integral 1 - MA026 - 1o Semestre de 2016 - 13/04/2016
Soluc¸a˜o. Uma vez que lim
x→ 0
sen x
x
= 1, segue que
lim
x→ 0
f(x) = lim
x→ 0
sen x
x + sen x
= lim
x→ 0
sen x
x
x + sen x
x
= lim
x→ 0
sen x
x
1 +
sen x
x
=
lim
x→ 0
sen x
x
1 + lim
x→ 0
sen x
x
=
1
1 + 1
=
1
2
.
Assim, como
lim
x→ 0
f(x) =
1
2
6= 0 = f(0),
segue que f na˜o e´ cont´ınua em x = 0. �
6