GAAL- TransformaÇÕes Lineares Uem

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A´lgebra Linear
Pereira, C. G.
A.
Introduc¸a˜o
Conceitos e
Teoremas
Aplicac¸o˜es
Lineares e
Matrizes
Transformac¸o˜es Lineares
Cl´ıcia G A Pereira
24 de junho de 2015
A´lgebra Linear
Pereira, C. G.
A.
Introduc¸a˜o
Conceitos e
Teoremas
Aplicac¸o˜es
Lineares e
Matrizes
1 Introduc¸a˜o
2 Conceitos e Teoremas
3 Aplicac¸o˜es Lineares e Matrizes
A´lgebra Linear
Pereira, C. G.
A.
Introduc¸a˜o
Conceitos e
Teoremas
Aplicac¸o˜es
Lineares e
Matrizes
Suma´rio
1 Introduc¸a˜o
2 Conceitos e Teoremas
3 Aplicac¸o˜es Lineares e Matrizes
A´lgebra Linear
Pereira, C. G.
A.
Introduc¸a˜o
Conceitos e
Teoremas
Aplicac¸o˜es
Lineares e
Matrizes
Definic¸a˜o
Definic¸a˜o (Transformac¸o˜es Lineares)
Sejam E, F espac¸os vetoriais. Uma transformac¸a˜o linear
T : E → F e´ uma correspondeˆncia que associa a cada
vetor v ∈ E um vetor T (v) = T · v = Tv ∈ F de modo que
valham, para quaisquer u, v ∈ E e α ∈ IR, as relac¸o˜es:
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Introduc¸a˜o
Conceitos e
Teoremas
Aplicac¸o˜es
Lineares e
Matrizes
Definic¸a˜o
Definic¸a˜o (Transformac¸o˜es Lineares)
Sejam E, F espac¸os vetoriais. Uma transformac¸a˜o linear
T : E → F e´ uma correspondeˆncia que associa a cada
vetor v ∈ E um vetor T (v) = T · v = Tv ∈ F de modo que
valham, para quaisquer u, v ∈ E e α ∈ IR, as relac¸o˜es:
T (u + v) = T (u) + T (v),
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Introduc¸a˜o
Conceitos e
Teoremas
Aplicac¸o˜es
Lineares e
Matrizes
Definic¸a˜o
Definic¸a˜o (Transformac¸o˜es Lineares)
Sejam E, F espac¸os vetoriais. Uma transformac¸a˜o linear
T : E → F e´ uma correspondeˆncia que associa a cada
vetor v ∈ E um vetor T (v) = T · v = Tv ∈ F de modo que
valham, para quaisquer u, v ∈ E e α ∈ IR, as relac¸o˜es:
T (u + v) = T (u) + T (v),
T (α · v) = α · T (v).
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Conceitos e
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Aplicac¸o˜es
Lineares e
Matrizes
Definic¸a˜o
Definic¸a˜o (Transformac¸o˜es Lineares)
Sejam E, F espac¸os vetoriais. Uma transformac¸a˜o linear
T : E → F e´ uma correspondeˆncia que associa a cada
vetor v ∈ E um vetor T (v) = T · v = Tv ∈ F de modo que
valham, para quaisquer u, v ∈ E e α ∈ IR, as relac¸o˜es:
T (u + v) = T (u) + T (v),
T (α · v) = α · T (v).
O vetor T (v) chama-se a imagem (ou o transformado) de v
pela transformac¸a˜o T . [1]
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Conceitos e
Teoremas
Aplicac¸o˜es
Lineares e
Matrizes
Exemplos
Exemplo
Sejam E = IR2, F = IR3 espac¸os vetoriais. Considere
T : E → F
(x , y) 7→ T (x , y) = (2x , 0, x + y)
.
Vamos verificar que T e´ uma transformac¸a˜o linear.
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Aplicac¸o˜es
Lineares e
Matrizes
Exemplos
Exemplo
Sejam E = IR2, F = IR3 espac¸os vetoriais. Considere
T : E → F
(x , y) 7→ T (x , y) = (2x , 0, x + y)
.
Vamos verificar que T e´ uma transformac¸a˜o linear.
Soluc¸a˜o:
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Conceitos e
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Exemplos
Exemplo
Sejam E = IR2, F = IR3 espac¸os vetoriais. Considere
T : E → F
(x , y) 7→ T (x , y) = (2x , 0, x + y)
.
Vamos verificar que T e´ uma transformac¸a˜o linear.
Soluc¸a˜o: Dados u, v ∈ IR2, sejam u = (x1, y1) e v = (x2, y2)
onde xi , yi ∈ IR com i = 1, 2.
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Exemplos
Exemplo
Sejam E = IR2, F = IR3 espac¸os vetoriais. Considere
T : E → F
(x , y) 7→ T (x , y) = (2x , 0, x + y)
.
Vamos verificar que T e´ uma transformac¸a˜o linear.
Soluc¸a˜o: Dados u, v ∈ IR2, sejam u = (x1, y1) e v = (x2, y2)
onde xi , yi ∈ IR com i = 1, 2. Temos
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Exemplos
Exemplo
Sejam E = IR2, F = IR3 espac¸os vetoriais. Considere
T : E → F
(x , y) 7→ T (x , y) = (2x , 0, x + y)
.
Vamos verificar que T e´ uma transformac¸a˜o linear.
Soluc¸a˜o: Dados u, v ∈ IR2, sejam u = (x1, y1) e v = (x2, y2)
onde xi , yi ∈ IR com i = 1, 2. Temos
T (u + v)
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Exemplos
Exemplo
Sejam E = IR2, F = IR3 espac¸os vetoriais. Considere
T : E → F
(x , y) 7→ T (x , y) = (2x , 0, x + y)
.
Vamos verificar que T e´ uma transformac¸a˜o linear.
Soluc¸a˜o: Dados u, v ∈ IR2, sejam u = (x1, y1) e v = (x2, y2)
onde xi , yi ∈ IR com i = 1, 2. Temos
T (u + v) = T ((x1, y1) + (x2, y2))
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Exemplo
Sejam E = IR2, F = IR3 espac¸os vetoriais. Considere
T : E → F
(x , y) 7→ T (x , y) = (2x , 0, x + y)
.
Vamos verificar que T e´ uma transformac¸a˜o linear.
Soluc¸a˜o: Dados u, v ∈ IR2, sejam u = (x1, y1) e v = (x2, y2)
onde xi , yi ∈ IR com i = 1, 2. Temos
T (u + v) = T ((x1, y1) + (x2, y2))
= T (x1 + x2, y1 + y2)
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Exemplos
Exemplo
Sejam E = IR2, F = IR3 espac¸os vetoriais. Considere
T : E → F
(x , y) 7→ T (x , y) = (2x , 0, x + y)
.
Vamos verificar que T e´ uma transformac¸a˜o linear.
Soluc¸a˜o: Dados u, v ∈ IR2, sejam u = (x1, y1) e v = (x2, y2)
onde xi , yi ∈ IR com i = 1, 2. Temos
T (u + v) = T ((x1, y1) + (x2, y2))
= T (x1 + x2, y1 + y2)
= (2(x1 + x2), 0, (x1 + x2) + (y1 + y2))
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Exemplos
Exemplo
Sejam E = IR2, F = IR3 espac¸os vetoriais. Considere
T : E → F
(x , y) 7→ T (x , y) = (2x , 0, x + y)
.
Vamos verificar que T e´ uma transformac¸a˜o linear.
Soluc¸a˜o: Dados u, v ∈ IR2, sejam u = (x1, y1) e v = (x2, y2)
onde xi , yi ∈ IR com i = 1, 2. Temos
T (u + v) = T ((x1, y1) + (x2, y2))
= T (x1 + x2, y1 + y2)
= (2(x1 + x2), 0, (x1 + x2) + (y1 + y2))
= (2x1 + 2x2, 0 + 0, x1 + y1 + x2 + y2)
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Lineares e
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Exemplos
Exemplo
Sejam E = IR2, F = IR3 espac¸os vetoriais. Considere
T : E → F
(x , y) 7→ T (x , y) = (2x , 0, x + y)
.
Vamos verificar que T e´ uma transformac¸a˜o linear.
Soluc¸a˜o: Dados u, v ∈ IR2, sejam u = (x1, y1) e v = (x2, y2)
onde xi , yi ∈ IR com i = 1, 2. Temos
T (u + v) = T ((x1, y1) + (x2, y2))
= T (x1 + x2, y1 + y2)
= (2(x1 + x2), 0, (x1 + x2) + (y1 + y2))
= (2x1 + 2x2, 0 + 0, x1 + y1 + x2 + y2)
= (2x1, 0, x1 + y1) + (2x2, 0, x2 + y2)
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Exemplos
Exemplo
Sejam E = IR2, F = IR3 espac¸os vetoriais. Considere
T : E → F
(x , y) 7→ T (x , y) = (2x , 0, x + y)
.
Vamos verificar que T e´ uma transformac¸a˜o linear.
Soluc¸a˜o: Dados u, v ∈ IR2, sejam u = (x1, y1) e v = (x2, y2)
onde xi , yi ∈ IR com i = 1, 2. Temos
T (u + v) = T ((x1, y1) + (x2, y2))
= T (x1 + x2, y1 + y2)
= (2(x1 + x2), 0, (x1 + x2) + (y1 + y2))
= (2x1 + 2x2, 0 + 0, x1 + y1 + x2 + y2)
= (2x1, 0, x1 + y1) + (2x2, 0, x2 + y2)
= T (u) + T (v)
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Da mesma forma,
T (αu)
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Da mesma forma,
T (αu) = T (α(x1, y1))
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Da mesma forma,
T (αu) = T (α(x1, y1))
= T (αx1, αy1)
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Da mesma forma,
T (αu) = T (α(x1, y1))
= T (αx1, αy1)
= (2(αx1), 0, (αx1 + αy1))
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Da mesma forma,
T (αu) = T (α(x1, y1))
= T (αx1, αy1)
= (2(αx1), 0, (αx1 + αy1))
= (α(2x1), α0, α(x1 + y1))
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Da mesma forma,
T (αu) = T (α(x1, y1))
= T (αx1, αy1)
= (2(αx1), 0, (αx1 + αy1))
= (α(2x1), α0, α(x1 + y1))
= α(2x1, 0, x1 + y1)
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Matrizes
Da mesma forma,
T (αu) = T (α(x1, y1))
= T (αx1, αy1)
= (2(αx1), 0, (αx1 + αy1))
= (α(2x1), α0, α(x1 + y1))
= α(2x1, 0, x1 + y1)
= αT (u)
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Da mesma forma,
T (αu) = T (α(x1, y1))
= T (αx1, αy1)
= (2(αx1), 0, (αx1 + αy1))
= (α(2x1), α0, α(x1 + y1))
= α(2x1, 0, x1 + y1)
= αT (u)
isto mostra que a segunda condic¸a˜o e´ satisfeita.
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Da mesma forma,
T (αu) = T (α(x1, y1))
= T (αx1, αy1)
= (2(αx1), 0, (αx1 + αy1))
= (α(2x1), α0, α(x1 + y1))
= α(2x1, 0, x1 + y1)
= αT (u)
isto mostra que a segunda condic¸a˜o e´ satisfeita. Enta˜o T e´
uma transformac¸a˜o linear.
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Exemplo
Sejam E = IR, F = IR espac¸os vetoriais. Considere
G : E → F
u 7→ G (u) = u2
.
Vamos verificar se G e´ uma transformac¸a˜o linear.
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Exemplo
Sejam E = IR, F = IR espac¸os vetoriais. Considere
G : E → F
u 7→ G (u) = u2
.
Vamos verificar se G e´ uma transformac¸a˜o linear.
Soluc¸a˜o:
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Exemplo
Sejam E = IR, F = IR espac¸os vetoriais. Considere
G : E → F
u 7→ G (u) = u2
.
Vamos verificar se G e´ uma transformac¸a˜o linear.
Soluc¸a˜o:
G (u+v)
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Exemplo
Sejam E = IR, F = IR espac¸os vetoriais. Considere
G : E → F
u 7→ G (u) = u2
.
Vamos verificar se G e´ uma transformac¸a˜o linear.
Soluc¸a˜o:
G (u+v) = (u+v)2
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Exemplo
Sejam E = IR, F = IR espac¸os vetoriais. Considere
G : E → F
u 7→ G (u) = u2
.
Vamos verificar se G e´ uma transformac¸a˜o linear.
Soluc¸a˜o:
G (u+v) = (u+v)2 = u2+2uv+v2
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Exemplo
Sejam E = IR, F = IR espac¸os vetoriais. Considere
G : E → F
u 7→ G (u) = u2
.
Vamos verificar se G e´ uma transformac¸a˜o linear.
Soluc¸a˜o:
G (u+v) = (u+v)2 = u2+2uv+v2 6= u2+v2
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Exemplo
Sejam E = IR, F = IR espac¸os vetoriais. Considere
G : E → F
u 7→ G (u) = u2
.
Vamos verificar se G e´ uma transformac¸a˜o linear.
Soluc¸a˜o:
G (u+v) = (u+v)2 = u2+2uv+v2 6= u2+v2 = G (u)+G (v),
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Exemplo
Sejam E = IR, F = IR espac¸os vetoriais. Considere
G : E → F
u 7→ G (u) = u2
.
Vamos verificar se G e´ uma transformac¸a˜o linear.
Soluc¸a˜o:
G (u+v) = (u+v)2 = u2+2uv+v2 6= u2+v2 = G (u)+G (v),
isto e´,
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Exemplo
Sejam E = IR, F = IR espac¸os vetoriais. Considere
G : E → F
u 7→ G (u) = u2
.
Vamos verificar se G e´ uma transformac¸a˜o linear.
Soluc¸a˜o:
G (u+v) = (u+v)2 = u2+2uv+v2 6= u2+v2 = G (u)+G (v),
isto e´,
G (u + v) 6= G (u) + G (v),
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Exemplo
Sejam E = IR, F = IR espac¸os vetoriais. Considere
G : E → F
u 7→ G (u) = u2
.
Vamos verificar se G e´ uma transformac¸a˜o linear.
Soluc¸a˜o:
G (u+v) = (u+v)2 = u2+2uv+v2 6= u2+v2 = G (u)+G (v),
isto e´,
G (u + v) 6= G (u) + G (v),
isto mostra que G na˜o e´ uma transformac¸a˜o linear.
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Propriedade
Decorre da definic¸a˜o que uma transformac¸a˜o linear
T : E → F leva o vetor nulo de E no vetor nulo de F ,
isto e´, se 0 ∈ E , T (0) = 0 ∈ F .
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Propriedade
Decorre da definic¸a˜o que uma transformac¸a˜o linear
T : E → F leva o vetor nulo de E no vetor nulo de F ,
isto e´, se 0 ∈ E , T (0) = 0 ∈ F .
De fato,
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Propriedade
Decorre da definic¸a˜o que uma transformac¸a˜o linear
T : E → F leva o vetor nulo de E no vetor nulo de F ,
isto e´, se 0 ∈ E , T (0) = 0 ∈ F .
De fato,
T (0)
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Propriedade
Decorre da definic¸a˜o que uma transformac¸a˜o linear
T : E → F leva o vetor nulo de E no vetor nulo de F ,
isto e´, se 0 ∈ E , T (0) = 0 ∈ F .
De fato,
T (0) = T (0 + 0)
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Propriedade
Decorre da definic¸a˜o que uma transformac¸a˜o linear
T : E → F leva o vetor nulo de E no vetor nulo de F ,
isto e´, se 0 ∈ E , T (0) = 0 ∈ F .
De fato,
T (0) = T (0 + 0) = T (0) + T (0)
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Teoremas
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Lineares e
Matrizes
Propriedade
Decorre da definic¸a˜o que uma transformac¸a˜o linear
T : E → F leva o vetor nulo de E no vetor nulo de F ,
isto e´, se 0 ∈ E , T (0) = 0 ∈ F .
De fato,
T (0) = T (0 + 0) = T (0) + T (0)
⇒ T (0) = T (0) + T (0)
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Propriedade
Decorre da definic¸a˜o que uma transformac¸a˜o linear
T : E → F leva o vetor nulo de E no vetor nulo de F ,
isto e´, se 0 ∈ E , T (0) = 0 ∈ F .
De fato,
T (0) = T (0 + 0) = T (0) + T (0)
⇒ T (0) = T (0) + T (0)
⇒ T (0)− T (0) = T (0)
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Aplicac¸o˜es
Lineares e
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Propriedade
Decorre da definic¸a˜oque uma transformac¸a˜o linear
T : E → F leva o vetor nulo de E no vetor nulo de F ,
isto e´, se 0 ∈ E , T (0) = 0 ∈ F .
De fato,
T (0) = T (0 + 0) = T (0) + T (0)
⇒ T (0) = T (0) + T (0)
⇒ T (0)− T (0) = T (0)
⇒ 0 = T (0)
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Teoremas
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Propriedade
Decorre da definic¸a˜o que uma transformac¸a˜o linear
T : E → F leva o vetor nulo de E no vetor nulo de F ,
isto e´, se 0 ∈ E , T (0) = 0 ∈ F .
De fato,
T (0) = T (0 + 0) = T (0) + T (0)
⇒ T (0) = T (0) + T (0)
⇒ T (0)− T (0) = T (0)
⇒ 0 = T (0)
⇒ T (0) = 0
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Matrizes
Propriedade
Decorre da definic¸a˜o que uma transformac¸a˜o linear
T : E → F leva o vetor nulo de E no vetor nulo de F ,
isto e´, se 0 ∈ E , T (0) = 0 ∈ F .
De fato,
T (0) = T (0 + 0) = T (0) + T (0)
⇒ T (0) = T (0) + T (0)
⇒ T (0)− T (0) = T (0)
⇒ 0 = T (0)
⇒ T (0) = 0
Isto nos ajuda a detectar transformac¸o˜es na˜o lineares.
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Exemplo de uma transformac¸a˜o na˜o linear
Exemplo
Sejam E = IR3, F = IR3 espac¸os vetoriais. Considere
H : IR3 → IR3
(x , y , z) 7→ H(x , y , z) = (x + 1, y , z)
.
Vamos verificar se H e´ uma transformac¸a˜o linear.
A´lgebra Linear
Pereira, C. G.
A.
Introduc¸a˜o
Conceitos e
Teoremas
Aplicac¸o˜es
Lineares e
Matrizes
Exemplo de uma transformac¸a˜o na˜o linear
Exemplo
Sejam E = IR3, F = IR3 espac¸os vetoriais. Considere
H : IR3 → IR3
(x , y , z) 7→ H(x , y , z) = (x + 1, y , z)
.
Vamos verificar se H e´ uma transformac¸a˜o linear.
Soluc¸a˜o:
A´lgebra Linear
Pereira, C. G.
A.
Introduc¸a˜o
Conceitos e
Teoremas
Aplicac¸o˜es
Lineares e
Matrizes
Exemplo de uma transformac¸a˜o na˜o linear
Exemplo
Sejam E = IR3, F = IR3 espac¸os vetoriais. Considere
H : IR3 → IR3
(x , y , z) 7→ H(x , y , z) = (x + 1, y , z)
.
Vamos verificar se H e´ uma transformac¸a˜o linear.
Soluc¸a˜o:
H(0)
A´lgebra Linear
Pereira, C. G.
A.
Introduc¸a˜o
Conceitos e
Teoremas
Aplicac¸o˜es
Lineares e
Matrizes
Exemplo de uma transformac¸a˜o na˜o linear
Exemplo
Sejam E = IR3, F = IR3 espac¸os vetoriais. Considere
H : IR3 → IR3
(x , y , z) 7→ H(x , y , z) = (x + 1, y , z)
.
Vamos verificar se H e´ uma transformac¸a˜o linear.
Soluc¸a˜o:
H(0) = H(0, 0, 0)
A´lgebra Linear
Pereira, C. G.
A.
Introduc¸a˜o
Conceitos e
Teoremas
Aplicac¸o˜es
Lineares e
Matrizes
Exemplo de uma transformac¸a˜o na˜o linear
Exemplo
Sejam E = IR3, F = IR3 espac¸os vetoriais. Considere
H : IR3 → IR3
(x , y , z) 7→ H(x , y , z) = (x + 1, y , z)
.
Vamos verificar se H e´ uma transformac¸a˜o linear.
Soluc¸a˜o:
H(0) = H(0, 0, 0) = (0 + 1, 0, 0)
A´lgebra Linear
Pereira, C. G.
A.
Introduc¸a˜o
Conceitos e
Teoremas
Aplicac¸o˜es
Lineares e
Matrizes
Exemplo de uma transformac¸a˜o na˜o linear
Exemplo
Sejam E = IR3, F = IR3 espac¸os vetoriais. Considere
H : IR3 → IR3
(x , y , z) 7→ H(x , y , z) = (x + 1, y , z)
.
Vamos verificar se H e´ uma transformac¸a˜o linear.
Soluc¸a˜o:
H(0) = H(0, 0, 0) = (0 + 1, 0, 0) 6= (0, 0, 0).
A´lgebra Linear
Pereira, C. G.
A.
Introduc¸a˜o
Conceitos e
Teoremas
Aplicac¸o˜es
Lineares e
Matrizes
Exemplo de uma transformac¸a˜o na˜o linear
Exemplo
Sejam E = IR3, F = IR3 espac¸os vetoriais. Considere
H : IR3 → IR3
(x , y , z) 7→ H(x , y , z) = (x + 1, y , z)
.
Vamos verificar se H e´ uma transformac¸a˜o linear.
Soluc¸a˜o:
H(0) = H(0, 0, 0) = (0 + 1, 0, 0) 6= (0, 0, 0).
Portanto, F na˜o e´ uma transformac¸a˜o linear.
A´lgebra Linear
Pereira, C. G.
A.
Introduc¸a˜o
Conceitos e
Teoremas
Aplicac¸o˜es
Lineares e
Matrizes
Cuidado!
Vimos que
G : E → F
u 7→ G (u) = u2
.
na˜o e´ uma transformac¸a˜o linear,
A´lgebra Linear
Pereira, C. G.
A.
Introduc¸a˜o
Conceitos e
Teoremas
Aplicac¸o˜es
Lineares e
Matrizes
Cuidado!
Vimos que
G : E → F
u 7→ G (u) = u2
.
na˜o e´ uma transformac¸a˜o linear, no entanto,
A´lgebra Linear
Pereira, C. G.
A.
Introduc¸a˜o
Conceitos e
Teoremas
Aplicac¸o˜es
Lineares e
Matrizes
Cuidado!
Vimos que
G : E → F
u 7→ G (u) = u2
.
na˜o e´ uma transformac¸a˜o linear, no entanto,
G (0)
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Introduc¸a˜o
Conceitos e
Teoremas
Aplicac¸o˜es
Lineares e
Matrizes
Cuidado!
Vimos que
G : E → F
u 7→ G (u) = u2
.
na˜o e´ uma transformac¸a˜o linear, no entanto,
G (0) = 02
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Pereira, C. G.
A.
Introduc¸a˜o
Conceitos e
Teoremas
Aplicac¸o˜es
Lineares e
Matrizes
Cuidado!
Vimos que
G : E → F
u 7→ G (u) = u2
.
na˜o e´ uma transformac¸a˜o linear, no entanto,
G (0) = 02 = 0.
A´lgebra Linear
Pereira, C. G.
A.
Introduc¸a˜o
Conceitos e
Teoremas
Aplicac¸o˜es
Lineares e
Matrizes
Cuidado!
Vimos que
G : E → F
u 7→ G (u) = u2
.
na˜o e´ uma transformac¸a˜o linear, no entanto,
G (0) = 02 = 0.
Observac¸a˜o
Se T (0) 6= 0, T na˜o e´ linear. Mas cuidado T (0) = 0 na˜o e´
suficiente para que T seja linear.
A´lgebra Linear
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Introduc¸a˜o
Conceitos e
Teoremas
Aplicac¸o˜es
Lineares e
Matrizes
Matrizes e Transformac¸o˜es Lineares
O pro´ximo exemplo mostra que a toda matriz m × n esta´
associada uma transformac¸a˜o linear de IRn em IRm. Em outras
palavras, podemos dizer que uma matriz produz uma
transformac¸a˜o linear.
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Conceitos e
Teoremas
Aplicac¸o˜es
Lineares e
Matrizes
Matrizes e Transformac¸o˜es Lineares
O pro´ximo exemplo mostra que a toda matriz m × n esta´
associada uma transformac¸a˜o linear de IRn em IRm. Em outras
palavras, podemos dizer que uma matriz produz uma
transformac¸a˜o linear.
Exemplo
Sejam E = IRn, F = IRm e A uma matriz m × n. Definimos
LA : IR
n → IRm
v → LA(v) = A · v
onde v =


x1
x2
...
xn

 e LA(v) = A ·


x1
x2
...
xn

 =


y1
y2
...
ym

. Vamos
verificar que LA e´ uma transformac¸a˜o linear.[2]
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Teoremas
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Lineares e
Matrizes
Soluc¸a˜o:
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Lineares e
Matrizes
Soluc¸a˜o: Temos
LA(u + v)
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Soluc¸a˜o: Temos
LA(u + v) = A(u + v)
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Teoremas
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Lineares e
Matrizes
Soluc¸a˜o: Temos
LA(u + v) = A(u + v) = A(u) + A(v)
A´lgebra Linear
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Conceitos e
Teoremas
Aplicac¸o˜es
Lineares e
Matrizes
Soluc¸a˜o: Temos
LA(u + v) = A(u + v) = A(u) + A(v) = LA(u) + LA(v),
A´lgebra Linear
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A.
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Conceitos e
Teoremas
Aplicac¸o˜es
Lineares e
Matrizes
Soluc¸a˜o: Temos
LA(u + v) = A(u + v) = A(u) + A(v) = LA(u) + LA(v),
LA(αu)
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Conceitos e
Teoremas
Aplicac¸o˜es
Lineares e
Matrizes
Soluc¸a˜o: Temos
LA(u + v) = A(u + v) = A(u) + A(v) = LA(u) + LA(v),
LA(αu) = A(αu)
A´lgebra Linear
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Conceitos e
Teoremas
Aplicac¸o˜es
Lineares e
Matrizes
Soluc¸a˜o: Temos
LA(u + v) = A(u + v) = A(u) + A(v) = LA(u) + LA(v),
LA(αu) = A(αu) = αA(u)
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Conceitos e
Teoremas
Aplicac¸o˜es
Lineares e
Matrizes
Soluc¸a˜o: Temos
LA(u + v) = A(u + v) = A(u) + A(v) = LA(u) + LA(v),
LA(αu) = A(αu) = αA(u) = αLA(u).
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Teoremas
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Lineares e
Matrizes
Soluc¸a˜o: Temos
LA(u + v) = A(u + v) = A(u) + A(v) = LA(u) + LA(v),
LA(αu) = A(αu) = αA(u) = αLA(u).
e portanto LA e´ uma transformac¸a˜o linear.
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Introduc¸a˜o
Conceitos e
Teoremas
Aplicac¸o˜es
Lineares e
Matrizes
Como exemplo, suponhamos A =

 2 00 0
1 1

 e
LA : IR
2 → IR3 .
Temos
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Conceitos e
Teoremas
Aplicac¸o˜es
Lineares e
Matrizes
Como exemplo, suponhamos A =

 2 00 0
1 1

 e
LA : IR
2 → IR3 .
Temos
LA : IR
2 → IR3[
x
y
]
→ LA(v) = A ·
[
x
y
]
=

 2 00 0
1 1

 · [ x
y
]
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Conceitos e
Teoremas
Aplicac¸o˜es
Lineares e
Matrizes
Como exemplo, suponhamos A =

 2 00 0
1 1

 e
LA : IR
2 → IR3 .
Temos
LA : IR
2 → IR3[
x
y
]
→ LA(v) = A ·
[
x
y
]
=

 2 00 0
1 1

 · [ x
y
]
da´ı
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A.
Introduc¸a˜o
Conceitos e
Teoremas
Aplicac¸o˜es
Lineares e
Matrizes
Como exemplo, suponhamos A =

 2 00 0
1 1

 e
LA : IR
2 → IR3 .
Temos
LA : IR
2 → IR3[
x
y
]
→ LA(v) = A ·
[
x
y
]
=

 2 00 0
1 1

 · [ x
y
]
da´ı
LA(x , y) = (2x , 0, x + y).
Observe que LA e´ uma transformac¸a˜o linear, conforme
verificamos no primeiro exemplo.
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Introduc¸a˜o
Conceitos e
Teoremas
Aplicac¸o˜es
Lineares e
Matrizes
Suma´rio
1 Introduc¸a˜o
2 Conceitos e Teoremas
3 Aplicac¸o˜es Lineares e Matrizes
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Pereira, C. G.
A.
Introduc¸a˜o
Conceitos e
Teoremas
Aplicac¸o˜es
Lineares e
Matrizes
Teorema
Teorema
Dados dois espac¸os vetoriais reais V e W e uma base de V ,
{v1, · · · , vn}, sejam {w1, · · · ,wn} elementos arbitra´rios de W .
Enta˜o existe uma u´nica aplicac¸a˜o linear T : V → W
tal que T (v1) = w1, · · · ,T (vn) = wn. Esta aplicac¸a˜o e´ dada
por: se v = a1v1 + · · ·+ anvn,
T (v) = a1T (v1) + · · ·+ anT (vn) = a1w1 + · · ·+ anwn
A´lgebra Linear
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Introduc¸a˜o
Conceitos e
Teoremas
Aplicac¸o˜es
Lineares e
Matrizes
Exemplos
Exemplo
Determine a transformac¸a˜o linear T : IR2 → IR3 tal
que T (1, 0) = (2,−1, 0) e T (0, 1) = (0, 0, 1).
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Teoremas
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Lineares e
Matrizes
Exemplos
Exemplo
Determine a transformac¸a˜o linear T : IR2 → IR3 tal
que T (1, 0) = (2,−1, 0) e T (0, 1) = (0, 0, 1).
Soluc¸a˜o:
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Introduc¸a˜o
Conceitos e
Teoremas
Aplicac¸o˜es
Lineares e
Matrizes
Exemplos
Exemplo
Determine a transformac¸a˜o linear T : IR2 → IR3 tal
que T (1, 0) = (2,−1, 0) e T (0, 1) = (0, 0, 1).
Soluc¸a˜o: Temos e1 = (1, 0) e e2 = (0, 1) base de IR
2,
w1 = T (e1) = (2,−1, 0) e w2 = T (e2) = (0, 0, 1).
A´lgebra Linear
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Introduc¸a˜o
Conceitos e
Teoremas
Aplicac¸o˜es
Lineares e
Matrizes
Exemplos
Exemplo
Determine a transformac¸a˜o linear T : IR2 → IR3 tal
que T (1, 0) = (2,−1, 0) e T (0, 1) = (0, 0, 1).
Soluc¸a˜o: Temos e1 = (1, 0) e e2 = (0, 1) base de IR
2,
w1 = T (e1) = (2,−1, 0) e w2 = T (e2) = (0, 0, 1). Dado
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Conceitos e
Teoremas
Aplicac¸o˜es
Lineares e
Matrizes
Exemplos
Exemplo
Determine a transformac¸a˜o linear T : IR2 → IR3 tal
que T (1, 0) = (2,−1, 0) e T (0, 1) = (0, 0, 1).
Soluc¸a˜o: Temos e1 = (1, 0) e e2 = (0, 1) base de IR
2,
w1 = T (e1) = (2,−1, 0) e w2 = T (e2) = (0, 0, 1). Dado
v = (x , y)
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Teoremas
Aplicac¸o˜es
Lineares e
Matrizes
Exemplos
Exemplo
Determine a transformac¸a˜o linear T : IR2 → IR3 tal
que T (1, 0) = (2,−1, 0) e T (0, 1) = (0, 0, 1).
Soluc¸a˜o: Temos e1 = (1, 0) e e2 = (0, 1) base de IR
2,
w1 = T (e1) = (2,−1, 0) e w2 = T (e2) = (0, 0, 1). Dado
v = (x , y) = x(1, 0) + y(0, 1)
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Teoremas
Aplicac¸o˜es
Lineares e
Matrizes
Exemplos
Exemplo
Determine a transformac¸a˜o linear T : IR2 → IR3 tal
que T (1, 0) = (2,−1, 0) e T (0, 1) = (0, 0, 1).
Soluc¸a˜o: Temos e1 = (1, 0) e e2 = (0, 1) base de IR
2,
w1 = T (e1) = (2,−1, 0) e w2 = T (e2) = (0, 0, 1). Dado
v = (x , y) = x(1, 0) + y(0, 1) = xe1 + ye2
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Lineares e
Matrizes
Exemplos
Exemplo
Determine a transformac¸a˜o linear T : IR2 → IR3 tal
que T (1, 0) = (2,−1, 0) e T (0, 1) = (0, 0, 1).
Soluc¸a˜o: Temos e1 = (1, 0) e e2 = (0, 1) base de IR
2,
w1 = T (e1) = (2,−1, 0) e w2 = T (e2) = (0, 0, 1). Dado
v = (x , y) = x(1, 0) + y(0, 1) = xe1 + ye2
⇒ v = xe1 + ye2
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Lineares e
Matrizes
Exemplos
Exemplo
Determine a transformac¸a˜o linear T : IR2 → IR3 tal
que T (1, 0) = (2,−1, 0) e T (0, 1) = (0, 0, 1).
Soluc¸a˜o: Temos e1 = (1, 0) e e2 = (0, 1) base de IR
2,
w1 = T (e1) = (2,−1, 0) e w2 = T (e2) = (0, 0, 1). Dado
v = (x , y) = x(1, 0) + y(0, 1) = xe1 + ye2
⇒ v = xe1 + ye2
da´ı
T (v) = T (xe1 + ye2)
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Teoremas
Aplicac¸o˜es
Lineares e
Matrizes
Exemplos
Exemplo
Determine a transformac¸a˜o linear T : IR2 → IR3 tal
que T (1, 0) = (2,−1, 0) e T (0, 1) = (0, 0, 1).
Soluc¸a˜o: Temos e1 = (1, 0) e e2 = (0, 1) base de IR
2,
w1 = T (e1) = (2,−1, 0) e w2 = T (e2) = (0, 0, 1). Dado
v = (x , y) = x(1, 0) + y(0, 1) = xe1 + ye2
⇒ v = xe1 + ye2
da´ı
T (v) = T (xe1 + ye2)
= T (xe1) + T (ye2)
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Teoremas
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Lineares e
Matrizes
Exemplos
Exemplo
Determine a transformac¸a˜o linear T : IR2 → IR3 tal
que T (1, 0) = (2,−1, 0) e T (0, 1) = (0, 0, 1).
Soluc¸a˜o: Temos e1 = (1, 0) e e2 = (0, 1) base de IR
2,
w1 = T (e1) = (2,−1, 0) e w2 = T (e2) = (0, 0, 1). Dado
v = (x , y) = x(1, 0) + y(0, 1) = xe1 + ye2
⇒ v = xe1 + ye2
da´ı
T (v) = T (xe1 + ye2)
= T (xe1) + T (ye2)
= xT (e1) + yT (e2)
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Lineares e
Matrizes
Exemplos
Exemplo
Determine a transformac¸a˜o linear T : IR2 → IR3 tal
que T (1, 0) = (2,−1, 0) e T (0, 1) = (0, 0, 1).
Soluc¸a˜o: Temos e1 = (1, 0) e e2 = (0, 1) base de IR
2,
w1 = T (e1) = (2,−1, 0) e w2 = T (e2) = (0, 0, 1). Dado
v = (x , y) = x(1, 0) + y(0, 1) = xe1 + ye2
⇒ v = xe1 + ye2
da´ı
T (v) = T (xe1 + ye2)
= T (xe1) + T (ye2)
= xT (e1) + yT (e2)
= x(2,−1, 0) + y(0, 0, 1)
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Aplicac¸o˜es
Lineares e
Matrizes
Exemplos
Exemplo
Determine a transformac¸a˜olinear T : IR2 → IR3 tal
que T (1, 0) = (2,−1, 0) e T (0, 1) = (0, 0, 1).
Soluc¸a˜o: Temos e1 = (1, 0) e e2 = (0, 1) base de IR
2,
w1 = T (e1) = (2,−1, 0) e w2 = T (e2) = (0, 0, 1). Dado
v = (x , y) = x(1, 0) + y(0, 1) = xe1 + ye2
⇒ v = xe1 + ye2
da´ı
T (v) = T (xe1 + ye2)
= T (xe1) + T (ye2)
= xT (e1) + yT (e2)
= x(2,−1, 0) + y(0, 0, 1)
= (2x ,−x , y)
Portanto, T (x , y) = (2x ,−x , y).
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Teoremas
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Lineares e
Matrizes
Exemplos
Exemplo
Determine a transformac¸a˜o linear T : IR2 → IR3 tal
que T (1, 1) = (3, 2, 1) e T (0,−2) = (0, 1, 0).
A´lgebra Linear
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Introduc¸a˜o
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Teoremas
Aplicac¸o˜es
Lineares e
Matrizes
Exemplos
Exemplo
Determine a transformac¸a˜o linear T : IR2 → IR3 tal
que T (1, 1) = (3, 2, 1) e T (0,−2) = (0, 1, 0).
Soluc¸a˜o:
A´lgebra Linear
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Introduc¸a˜o
Conceitos e
Teoremas
Aplicac¸o˜es
Lineares e
Matrizes
Exemplos
Exemplo
Determine a transformac¸a˜o linear T : IR2 → IR3 tal
que T (1, 1) = (3, 2, 1) e T (0,−2) = (0, 1, 0).
Soluc¸a˜o: Neste caso na˜o temos a base canoˆnica. Devemos
escrever o vetor v = (x , y) como combinac¸a˜o linear dos vetores
(1, 1) e (0,−2) que formam uma base para o IR2.
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Exemplos
Exemplo
Determine a transformac¸a˜o linear T : IR2 → IR3 tal
que T (1, 1) = (3, 2, 1) e T (0,−2) = (0, 1, 0).
Soluc¸a˜o: Neste caso na˜o temos a base canoˆnica. Devemos
escrever o vetor v = (x , y) como combinac¸a˜o linear dos vetores
(1, 1) e (0,−2) que formam uma base para o IR2. Dado
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Conceitos e
Teoremas
Aplicac¸o˜es
Lineares e
Matrizes
Exemplos
Exemplo
Determine a transformac¸a˜o linear T : IR2 → IR3 tal
que T (1, 1) = (3, 2, 1) e T (0,−2) = (0, 1, 0).
Soluc¸a˜o: Neste caso na˜o temos a base canoˆnica. Devemos
escrever o vetor v = (x , y) como combinac¸a˜o linear dos vetores
(1, 1) e (0,−2) que formam uma base para o IR2. Dado
v = (x , y)
A´lgebra Linear
Pereira, C. G.
A.
Introduc¸a˜o
Conceitos e
Teoremas
Aplicac¸o˜es
Lineares e
Matrizes
Exemplos
Exemplo
Determine a transformac¸a˜o linear T : IR2 → IR3 tal
que T (1, 1) = (3, 2, 1) e T (0,−2) = (0, 1, 0).
Soluc¸a˜o: Neste caso na˜o temos a base canoˆnica. Devemos
escrever o vetor v = (x , y) como combinac¸a˜o linear dos vetores
(1, 1) e (0,−2) que formam uma base para o IR2. Dado
v = (x , y) = λ(1, 1) + β(0,−2)
A´lgebra Linear
Pereira, C. G.
A.
Introduc¸a˜o
Conceitos e
Teoremas
Aplicac¸o˜es
Lineares e
Matrizes
Exemplos
Exemplo
Determine a transformac¸a˜o linear T : IR2 → IR3 tal
que T (1, 1) = (3, 2, 1) e T (0,−2) = (0, 1, 0).
Soluc¸a˜o: Neste caso na˜o temos a base canoˆnica. Devemos
escrever o vetor v = (x , y) como combinac¸a˜o linear dos vetores
(1, 1) e (0,−2) que formam uma base para o IR2. Dado
v = (x , y) = λ(1, 1) + β(0,−2) = (λ, λ− 2β)
A´lgebra Linear
Pereira, C. G.
A.
Introduc¸a˜o
Conceitos e
Teoremas
Aplicac¸o˜es
Lineares e
Matrizes
Exemplos
Exemplo
Determine a transformac¸a˜o linear T : IR2 → IR3 tal
que T (1, 1) = (3, 2, 1) e T (0,−2) = (0, 1, 0).
Soluc¸a˜o: Neste caso na˜o temos a base canoˆnica. Devemos
escrever o vetor v = (x , y) como combinac¸a˜o linear dos vetores
(1, 1) e (0,−2) que formam uma base para o IR2. Dado
v = (x , y) = λ(1, 1) + β(0,−2) = (λ, λ− 2β)
enta˜o
A´lgebra Linear
Pereira, C. G.
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Introduc¸a˜o
Conceitos e
Teoremas
Aplicac¸o˜es
Lineares e
Matrizes
Exemplos
Exemplo
Determine a transformac¸a˜o linear T : IR2 → IR3 tal
que T (1, 1) = (3, 2, 1) e T (0,−2) = (0, 1, 0).
Soluc¸a˜o: Neste caso na˜o temos a base canoˆnica. Devemos
escrever o vetor v = (x , y) como combinac¸a˜o linear dos vetores
(1, 1) e (0,−2) que formam uma base para o IR2. Dado
v = (x , y) = λ(1, 1) + β(0,−2) = (λ, λ− 2β)
enta˜o{
x = λ
A´lgebra Linear
Pereira, C. G.
A.
Introduc¸a˜o
Conceitos e
Teoremas
Aplicac¸o˜es
Lineares e
Matrizes
Exemplos
Exemplo
Determine a transformac¸a˜o linear T : IR2 → IR3 tal
que T (1, 1) = (3, 2, 1) e T (0,−2) = (0, 1, 0).
Soluc¸a˜o: Neste caso na˜o temos a base canoˆnica. Devemos
escrever o vetor v = (x , y) como combinac¸a˜o linear dos vetores
(1, 1) e (0,−2) que formam uma base para o IR2. Dado
v = (x , y) = λ(1, 1) + β(0,−2) = (λ, λ− 2β)
enta˜o{
x = λ
y = λ− 2β
A´lgebra Linear
Pereira, C. G.
A.
Introduc¸a˜o
Conceitos e
Teoremas
Aplicac¸o˜es
Lineares e
Matrizes
Exemplos
Exemplo
Determine a transformac¸a˜o linear T : IR2 → IR3 tal
que T (1, 1) = (3, 2, 1) e T (0,−2) = (0, 1, 0).
Soluc¸a˜o: Neste caso na˜o temos a base canoˆnica. Devemos
escrever o vetor v = (x , y) como combinac¸a˜o linear dos vetores
(1, 1) e (0,−2) que formam uma base para o IR2. Dado
v = (x , y) = λ(1, 1) + β(0,−2) = (λ, λ− 2β)
enta˜o{
x = λ
y = λ− 2β ⇒ y = x − 2β
A´lgebra Linear
Pereira, C. G.
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Introduc¸a˜o
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Teoremas
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Lineares e
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Exemplos
Exemplo
Determine a transformac¸a˜o linear T : IR2 → IR3 tal
que T (1, 1) = (3, 2, 1) e T (0,−2) = (0, 1, 0).
Soluc¸a˜o: Neste caso na˜o temos a base canoˆnica. Devemos
escrever o vetor v = (x , y) como combinac¸a˜o linear dos vetores
(1, 1) e (0,−2) que formam uma base para o IR2. Dado
v = (x , y) = λ(1, 1) + β(0,−2) = (λ, λ− 2β)
enta˜o{
x = λ
y = λ− 2β ⇒ y = x − 2β ⇒ 2β = x − y
A´lgebra Linear
Pereira, C. G.
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Introduc¸a˜o
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Lineares e
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Exemplos
Exemplo
Determine a transformac¸a˜o linear T : IR2 → IR3 tal
que T (1, 1) = (3, 2, 1) e T (0,−2) = (0, 1, 0).
Soluc¸a˜o: Neste caso na˜o temos a base canoˆnica. Devemos
escrever o vetor v = (x , y) como combinac¸a˜o linear dos vetores
(1, 1) e (0,−2) que formam uma base para o IR2. Dado
v = (x , y) = λ(1, 1) + β(0,−2) = (λ, λ− 2β)
enta˜o{
x = λ
y = λ− 2β ⇒ y = x − 2β ⇒ 2β = x − y ⇒ β =
x − y
2
A´lgebra Linear
Pereira, C. G.
A.
Introduc¸a˜o
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Lineares e
Matrizes
Exemplos
Exemplo
Determine a transformac¸a˜o linear T : IR2 → IR3 tal
que T (1, 1) = (3, 2, 1) e T (0,−2) = (0, 1, 0).
Soluc¸a˜o: Neste caso na˜o temos a base canoˆnica. Devemos
escrever o vetor v = (x , y) como combinac¸a˜o linear dos vetores
(1, 1) e (0,−2) que formam uma base para o IR2. Dado
v = (x , y) = λ(1, 1) + β(0,−2) = (λ, λ− 2β)
enta˜o{
x = λ
y = λ− 2β ⇒ y = x − 2β ⇒ 2β = x − y ⇒ β =
x − y
2
da´ı
A´lgebra Linear
Pereira, C. G.
A.
Introduc¸a˜o
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Lineares e
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Exemplos
Exemplo
Determine a transformac¸a˜o linear T : IR2 → IR3 tal
que T (1, 1) = (3, 2, 1) e T (0,−2) = (0, 1, 0).
Soluc¸a˜o: Neste caso na˜o temos a base canoˆnica. Devemos
escrever o vetor v = (x , y) como combinac¸a˜o linear dos vetores
(1, 1) e (0,−2) que formam uma base para o IR2. Dado
v = (x , y) = λ(1, 1) + β(0,−2) = (λ, λ− 2β)
enta˜o{
x = λ
y = λ− 2β ⇒ y = x − 2β ⇒ 2β = x − y ⇒ β =
x − y
2
da´ı
v = (x , y)
A´lgebra Linear
Pereira, C. G.
A.
Introduc¸a˜o
Conceitos e
Teoremas
Aplicac¸o˜es
Lineares e
Matrizes
Exemplos
Exemplo
Determine a transformac¸a˜o linear T : IR2 → IR3 tal
que T (1, 1) = (3, 2, 1) e T (0,−2) = (0, 1, 0).
Soluc¸a˜o: Neste caso na˜o temos a base canoˆnica. Devemos
escrever o vetor v = (x , y) como combinac¸a˜o linear dos vetores
(1, 1) e (0,−2) que formam uma base parao IR2. Dado
v = (x , y) = λ(1, 1) + β(0,−2) = (λ, λ− 2β)
enta˜o{
x = λ
y = λ− 2β ⇒ y = x − 2β ⇒ 2β = x − y ⇒ β =
x − y
2
da´ı
v = (x , y) = x(1, 1) +
x − y
2
(0,−2)
A´lgebra Linear
Pereira, C. G.
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Aplicac¸o˜es
Lineares e
Matrizes
temos
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temos
T (v) = T (x , y)
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Lineares e
Matrizes
temos
T (v) = T (x , y)
= T
(
x(1, 1) +
x − y
2
(0,−2)
)
A´lgebra Linear
Pereira, C. G.
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Aplicac¸o˜es
Lineares e
Matrizes
temos
T (v) = T (x , y)
= T
(
x(1, 1) +
x − y
2
(0,−2)
)
= T (x(1, 1)) + T
(
x − y
2
(0,−2)
)
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Pereira, C. G.
A.
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Conceitos e
Teoremas
Aplicac¸o˜es
Lineares e
Matrizes
temos
T (v) = T (x , y)
= T
(
x(1, 1) +
x − y
2
(0,−2)
)
= T (x(1, 1)) + T
(
x − y
2
(0,−2)
)
= xT (1, 1) +
x − y
2
T (0,−2)
A´lgebra Linear
Pereira, C. G.
A.
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Conceitos e
Teoremas
Aplicac¸o˜es
Lineares e
Matrizes
temos
T (v) = T (x , y)
= T
(
x(1, 1) +
x − y
2
(0,−2)
)
= T (x(1, 1)) + T
(
x − y
2
(0,−2)
)
= xT (1, 1) +
x − y
2
T (0,−2)
= x(3, 2, 1) +
x − y
2
(0, 1, 0)
A´lgebra Linear
Pereira, C. G.
A.
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Teoremas
Aplicac¸o˜es
Lineares e
Matrizes
temos
T (v) = T (x , y)
= T
(
x(1, 1) +
x − y
2
(0,−2)
)
= T (x(1, 1)) + T
(
x − y
2
(0,−2)
)
= xT (1, 1) +
x − y
2
T (0,−2)
= x(3, 2, 1) +
x − y
2
(0, 1, 0)
= (3x , 2x , 1x) +
(
0,
x − y
2
, 0
)
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A.
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Conceitos e
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Aplicac¸o˜es
Lineares e
Matrizes
temos
T (v) = T (x , y)
= T
(
x(1, 1) +
x − y
2
(0,−2)
)
= T (x(1, 1)) + T
(
x − y
2
(0,−2)
)
= xT (1, 1) +
x − y
2
T (0,−2)
= x(3, 2, 1) +
x − y
2
(0, 1, 0)
= (3x , 2x , 1x) +
(
0,
x − y
2
, 0
)
=
(
3x ,
5x − y
2
, 1x
)
Portanto, T (x , y) =
(
3x ,
5x − y
2
, 1x
)
.
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Pereira, C. G.
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Conceitos e
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Lineares e
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Definic¸a˜o (Imagem da Transformac¸a˜o)
Seja T : V → W uma transformac¸a˜o linear.
A´lgebra Linear
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Conceitos e
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Lineares e
Matrizes
Definic¸a˜o (Imagem da Transformac¸a˜o)
Seja T : V → W uma transformac¸a˜o linear. A imagem
de T e´ o conjunto dos vetores w ∈W tais que existe um vetor
v ∈ V , que satisfaz T (v) = w.
A´lgebra Linear
Pereira, C. G.
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Conceitos e
Teoremas
Aplicac¸o˜es
Lineares e
Matrizes
Definic¸a˜o (Imagem da Transformac¸a˜o)
Seja T : V → W uma transformac¸a˜o linear. A imagem
de T e´ o conjunto dos vetores w ∈W tais que existe um vetor
v ∈ V , que satisfaz T (v) = w. Ou seja,
A´lgebra Linear
Pereira, C. G.
A.
Introduc¸a˜o
Conceitos e
Teoremas
Aplicac¸o˜es
Lineares e
Matrizes
Definic¸a˜o (Imagem da Transformac¸a˜o)
Seja T : V → W uma transformac¸a˜o linear. A imagem
de T e´ o conjunto dos vetores w ∈W tais que existe um vetor
v ∈ V , que satisfaz T (v) = w. Ou seja,
Im(T ) = {w ∈W ;T (v) = w para algum v ∈ V }.
A´lgebra Linear
Pereira, C. G.
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Introduc¸a˜o
Conceitos e
Teoremas
Aplicac¸o˜es
Lineares e
Matrizes
Definic¸a˜o (Imagem da Transformac¸a˜o)
Seja T : V → W uma transformac¸a˜o linear. A imagem
de T e´ o conjunto dos vetores w ∈W tais que existe um vetor
v ∈ V , que satisfaz T (v) = w. Ou seja,
Im(T ) = {w ∈W ;T (v) = w para algum v ∈ V }.
Observac¸a˜o
A´lgebra Linear
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A.
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Conceitos e
Teoremas
Aplicac¸o˜es
Lineares e
Matrizes
Definic¸a˜o (Imagem da Transformac¸a˜o)
Seja T : V → W uma transformac¸a˜o linear. A imagem
de T e´ o conjunto dos vetores w ∈W tais que existe um vetor
v ∈ V , que satisfaz T (v) = w. Ou seja,
Im(T ) = {w ∈W ;T (v) = w para algum v ∈ V }.
Observac¸a˜o
Temos que Im(T ) e´ um subconjunto de W e, ale´m disso, e´ um
subespac¸o vetorial de W .
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Aplicac¸o˜es
Lineares e
Matrizes
A´lgebra Linear
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Introduc¸a˜o
Conceitos e
Teoremas
Aplicac¸o˜es
Lineares e
Matrizes
Definic¸a˜o (Nu´cleo da Transformac¸a˜o)
Seja T : V → W uma transformac¸a˜o linear.
A´lgebra Linear
Pereira, C. G.
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Teoremas
Aplicac¸o˜es
Lineares e
Matrizes
Definic¸a˜o (Nu´cleo da Transformac¸a˜o)
Seja T : V → W uma transformac¸a˜o linear. O
conjunto de todos os vetores v ∈ V tais que T (v) = 0 e´
chamado nu´cleo de T , sendo denotado por ker(T ).
A´lgebra Linear
Pereira, C. G.
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Introduc¸a˜o
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Teoremas
Aplicac¸o˜es
Lineares e
Matrizes
Definic¸a˜o (Nu´cleo da Transformac¸a˜o)
Seja T : V → W uma transformac¸a˜o linear. O
conjunto de todos os vetores v ∈ V tais que T (v) = 0 e´
chamado nu´cleo de T , sendo denotado por ker(T ).Isto e´,
ker(T ) = {v ∈ V ;T (v) = 0}.
A´lgebra Linear
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A.
Introduc¸a˜o
Conceitos e
Teoremas
Aplicac¸o˜es
Lineares e
Matrizes
Definic¸a˜o (Nu´cleo da Transformac¸a˜o)
Seja T : V → W uma transformac¸a˜o linear. O
conjunto de todos os vetores v ∈ V tais que T (v) = 0 e´
chamado nu´cleo de T , sendo denotado por ker(T ).Isto e´,
ker(T ) = {v ∈ V ;T (v) = 0}.
Observac¸a˜o
Temos que ker(T ) e´ um subconjunto de V e, ale´m disso, e´ um
subespac¸o vetorial de V .
A´lgebra Linear
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A.
Introduc¸a˜o
Conceitos e
Teoremas
Aplicac¸o˜es
Lineares e
Matrizes
Exemplo
Seja a transformac¸a˜o linear
T : IR3 → IR3
(x , y , z) 7→ T (x , y , z) = (x , 2y , 0)
.
Encontre a ImT e ker T .
A´lgebra Linear
Pereira, C. G.
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Conceitos e
Teoremas
Aplicac¸o˜es
Lineares e
Matrizes
Exemplo
Seja a transformac¸a˜o linear
T : IR3 → IR3
(x , y , z) 7→ T (x , y , z) = (x , 2y , 0)
.
Encontre a ImT e ker T .
Soluc¸a˜o:
A´lgebra Linear
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Introduc¸a˜o
Conceitos e
Teoremas
Aplicac¸o˜es
Lineares e
Matrizes
Exemplo
Seja a transformac¸a˜o linear
T : IR3 → IR3
(x , y , z) 7→ T (x , y , z) = (x , 2y , 0)
.
Encontre a ImT e ker T .
Soluc¸a˜o: A imagem de T e´ dada por
Im T = {(x , 2y , 0); x , y ∈ IR}
A´lgebra Linear
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Conceitos e
Teoremas
Aplicac¸o˜es
Lineares e
Matrizes
Exemplo
Seja a transformac¸a˜o linear
T : IR3 → IR3
(x , y , z) 7→ T (x , y , z) = (x , 2y , 0)
.
Encontre a ImT e ker T .
Soluc¸a˜o: A imagem de T e´ dada por
Im T = {(x , 2y , 0); x , y ∈ IR}
= {x(1, 0, 0) + y(0, 2, 0); x , y ∈ IR}
A´lgebra Linear
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Lineares e
Matrizes
Exemplo
Seja a transformac¸a˜o linear
T : IR3 → IR3
(x , y , z) 7→ T (x , y , z) = (x , 2y , 0)
.
Encontre a ImT e ker T .
Soluc¸a˜o: A imagem de T e´ dada por
Im T = {(x , 2y , 0); x , y ∈ IR}
= {x(1, 0, 0) + y(0, 2, 0); x , y ∈ IR}
= [(1, 0, 0), (0, 2, 0)].
Observe que dim [Im T ] = 2.
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TeoremasAplicac¸o˜es
Lineares e
Matrizes
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Teoremas
Aplicac¸o˜es
Lineares e
Matrizes
O nu´cleo de T e´ dada por
ker T = {(x , y , z);T (x , y , z) = (0, 0, 0)}
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Lineares e
Matrizes
O nu´cleo de T e´ dada por
ker T = {(x , y , z);T (x , y , z) = (0, 0, 0)}
= {(x , y , z); (x , 2y , 0) = (0, 0, 0)}
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Lineares e
Matrizes
O nu´cleo de T e´ dada por
ker T = {(x , y , z);T (x , y , z) = (0, 0, 0)}
= {(x , y , z); (x , 2y , 0) = (0, 0, 0)}
= {(0, 0, z); z ∈ IR}
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Aplicac¸o˜es
Lineares e
Matrizes
O nu´cleo de T e´ dada por
ker T = {(x , y , z);T (x , y , z) = (0, 0, 0)}
= {(x , y , z); (x , 2y , 0) = (0, 0, 0)}
= {(0, 0, z); z ∈ IR}
= {z(0, 0, 1); z ∈ IR}
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Teoremas
Aplicac¸o˜es
Lineares e
Matrizes
O nu´cleo de T e´ dada por
ker T = {(x , y , z);T (x , y , z) = (0, 0, 0)}
= {(x , y , z); (x , 2y , 0) = (0, 0, 0)}
= {(0, 0, z); z ∈ IR}
= {z(0, 0, 1); z ∈ IR}
= [(0, 0, 1)]
Observe que dim [ker T ] = 1.
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Definic¸a˜o (Injetora)
Dada uma transformac¸a˜o linear T : V → W diremos
que T e´ injetora se dados u ∈ V , v ∈ V com T (u) = T (v)
tivermos u = v.
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Definic¸a˜o (Injetora)
Dada uma transformac¸a˜o linear T : V → W diremos
que T e´ injetora se dados u ∈ V , v ∈ V com T (u) = T (v)
tivermos u = v. Ou equivalentemente, T e´ injetora se dados
u, v ∈ V com u 6= v, enta˜o T (u) 6= T (v).
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Definic¸a˜o (Injetora)
Dada uma transformac¸a˜o linear T : V → W diremos
que T e´ injetora se dados u ∈ V , v ∈ V com T (u) = T (v)
tivermos u = v. Ou equivalentemente, T e´ injetora se dados
u, v ∈ V com u 6= v, enta˜o T (u) 6= T (v).
Definic¸a˜o (Sobrejetora)
Dada uma transformac¸a˜o linear T : V → W diremos
que T e´ sobrejetora se a imagem de T coincidir com W , ou
seja, T (V ) = W.
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Lineares e
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Definic¸a˜o (Injetora)
Dada uma transformac¸a˜o linear T : V → W diremos
que T e´ injetora se dados u ∈ V , v ∈ V com T (u) = T (v)
tivermos u = v. Ou equivalentemente, T e´ injetora se dados
u, v ∈ V com u 6= v, enta˜o T (u) 6= T (v).
Definic¸a˜o (Sobrejetora)
Dada uma transformac¸a˜o linear T : V → W diremos
que T e´ sobrejetora se a imagem de T coincidir com W , ou
seja, T (V ) = W. Em outras palavras, T sera´ sobrejetora se
dado w ∈W, existir v ∈ V tal que T (v) = w .
A´lgebra Linear
Pereira, C. G.
A.
Introduc¸a˜o
Conceitos e
Teoremas
Aplicac¸o˜es
Lineares e
Matrizes
Observe que a transformac¸a˜o linear dada por
A´lgebra Linear
Pereira, C. G.
A.
Introduc¸a˜o
Conceitos e
Teoremas
Aplicac¸o˜es
Lineares e
Matrizes
Observe que a transformac¸a˜o linear dada por
T : IR3 → IR3
(x , y , z) 7→ T (x , y , z) = (x , 2y , 0)
.
A´lgebra Linear
Pereira, C. G.
A.
Introduc¸a˜o
Conceitos e
Teoremas
Aplicac¸o˜es
Lineares e
Matrizes
Observe que a transformac¸a˜o linear dada por
T : IR3 → IR3
(x , y , z) 7→ T (x , y , z) = (x , 2y , 0)
.
na˜o e´ injetora
A´lgebra Linear
Pereira, C. G.
A.
Introduc¸a˜o
Conceitos e
Teoremas
Aplicac¸o˜es
Lineares e
Matrizes
Observe que a transformac¸a˜o linear dada por
T : IR3 → IR3
(x , y , z) 7→ T (x , y , z) = (x , 2y , 0)
.
na˜o e´ injetora e nem sobrejetora. Pois
A´lgebra Linear
Pereira, C. G.
A.
Introduc¸a˜o
Conceitos e
Teoremas
Aplicac¸o˜es
Lineares e
Matrizes
Observe que a transformac¸a˜o linear dada por
T : IR3 → IR3
(x , y , z) 7→ T (x , y , z) = (x , 2y , 0)
.
na˜o e´ injetora e nem sobrejetora. Pois
T (2, 1,−1) = (2, 2 · 1, 0) = (2, 2, 0)
A´lgebra Linear
Pereira, C. G.
A.
Introduc¸a˜o
Conceitos e
Teoremas
Aplicac¸o˜es
Lineares e
Matrizes
Observe que a transformac¸a˜o linear dada por
T : IR3 → IR3
(x , y , z) 7→ T (x , y , z) = (x , 2y , 0)
.
na˜o e´ injetora e nem sobrejetora. Pois
T (2, 1,−1) = (2, 2 · 1, 0) = (2, 2, 0)
T (2, 1, 1) = (2, 2 · 1, 0) = (2, 2, 0)
mostra na˜o ser injetora.
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Introduc¸a˜o
Conceitos e
Teoremas
Aplicac¸o˜es
Lineares e
Matrizes
Observe que a transformac¸a˜o linear dada por
T : IR3 → IR3
(x , y , z) 7→ T (x , y , z) = (x , 2y , 0)
.
na˜o e´ injetora e nem sobrejetora. Pois
T (2, 1,−1) = (2, 2 · 1, 0) = (2, 2, 0)
T (2, 1, 1) = (2, 2 · 1, 0) = (2, 2, 0)
mostra na˜o ser injetora. E
[(1, 0, 0), (0, 2, 0)] = IR2
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Conceitos e
Teoremas
Aplicac¸o˜es
Lineares e
Matrizes
Observe que a transformac¸a˜o linear dada por
T : IR3 → IR3
(x , y , z) 7→ T (x , y , z) = (x , 2y , 0)
.
na˜o e´ injetora e nem sobrejetora. Pois
T (2, 1,−1) = (2, 2 · 1, 0) = (2, 2, 0)
T (2, 1, 1) = (2, 2 · 1, 0) = (2, 2, 0)
mostra na˜o ser injetora. E
[(1, 0, 0), (0, 2, 0)] = IR2 6=
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Conceitos e
Teoremas
Aplicac¸o˜es
Lineares e
Matrizes
Observe que a transformac¸a˜o linear dada por
T : IR3 → IR3
(x , y , z) 7→ T (x , y , z) = (x , 2y , 0)
.
na˜o e´ injetora e nem sobrejetora. Pois
T (2, 1,−1) = (2, 2 · 1, 0) = (2, 2, 0)
T (2, 1, 1) = (2, 2 · 1, 0) = (2, 2, 0)
mostra na˜o ser injetora. E
[(1, 0, 0), (0, 2, 0)] = IR2 6= IR3.
] Na˜o e´ injetora, pois T (x , y , z) 6= W
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Conceitos e
Teoremas
Aplicac¸o˜es
Lineares e
Matrizes
A´lgebra Linear
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Conceitos e
Teoremas
Aplicac¸o˜es
Lineares e
Matrizes
Teorema
Seja T : V → W , uma transformac¸a˜o linear. Enta˜o
ker(T ) = {0}, se e somente se T e´ injetora.
A´lgebra Linear
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Conceitos e
Teoremas
Aplicac¸o˜es
Lineares e
Matrizes
Teorema
Seja T : V → W , uma transformac¸a˜o linear. Enta˜o
ker(T ) = {0}, se e somente se T e´ injetora.
Teorema
Seja T : V → W , uma transformac¸a˜o linear. Enta˜o
dim ker T + dim ImT = dimV .
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Conceitos e
Teoremas
Aplicac¸o˜es
Lineares e
Matrizes
A´lgebra Linear
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Conceitos e
Teoremas
Aplicac¸o˜es
Lineares e
Matrizes
Corola´rio
Seja dimV = dimW , enta˜o a transformac¸a˜o linear
T : V → W , e´ injetora se e somente se T e´
sobrejetora.
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Conceitos e
Teoremas
Aplicac¸o˜es
Lineares e
Matrizes
Corola´rio
Seja dimV = dimW , enta˜o a transformac¸a˜o linear
T : V → W , e´ injetora se e somente se T e´
sobrejetora.
Corola´rio
Seja T : V → W , uma transformac¸a˜o linear injetora.
A´lgebra Linear
Pereira, C. G.
A.
Introduc¸a˜o
Conceitos e
Teoremas
Aplicac¸o˜esLineares e
Matrizes
Corola´rio
Seja dimV = dimW , enta˜o a transformac¸a˜o linear
T : V → W , e´ injetora se e somente se T e´
sobrejetora.
Corola´rio
Seja T : V → W , uma transformac¸a˜o linear injetora.
Se dimV = dimW , enta˜o T leva base em base.
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Conceitos e
Teoremas
Aplicac¸o˜es
Lineares e
Matrizes
Observac¸a˜o
A dimensa˜o do nu´cleo da transformac¸a˜o linear e´ chamada de
nulidade e a dimensa˜o da imagem e´ chamada de posto da
transformac¸a˜o.
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Conceitos e
Teoremas
Aplicac¸o˜es
Lineares e
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Exemplo
Seja P2 −→ P2 a transformac¸a˜o linear definida por
L(at2 + bt + c) = (a + 2b)t + (b + c).
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Conceitos e
Teoremas
Aplicac¸o˜es
Lineares e
Matrizes
Observac¸a˜o
Quando uma transformac¸a˜o linear T : V → W , for
injetora e sobrejetora, ao mesmo tempo, da´-se o nome de
isomorfismo.
A´lgebra Linear
Pereira, C. G.
A.
Introduc¸a˜o
Conceitos e
Teoremas
Aplicac¸o˜es
Lineares e
Matrizes
Observac¸a˜o
Quando uma transformac¸a˜o linear T : V → W , for
injetora e sobrejetora, ao mesmo tempo, da´-se o nome de
isomorfismo. Quando ha´ uma tal transformac¸a˜o entre dois
espac¸os vetoriais dizemos que eles sa˜o isomorfos.
A´lgebra Linear
Pereira, C. G.
A.
Introduc¸a˜o
Conceitos e
Teoremas
Aplicac¸o˜es
Lineares e
Matrizes
Observac¸a˜o
Quando uma transformac¸a˜o linear T : V → W , for
injetora e sobrejetora, ao mesmo tempo, da´-se o nome de
isomorfismo. Quando ha´ uma tal transformac¸a˜o entre dois
espac¸os vetoriais dizemos que eles sa˜o isomorfos. Espac¸os
vetoriais isomorfos tem a mesma dimensa˜o, ale´m disso um
isomorfismo T : V −→W tem uma aplicac¸a˜o inversa
T−1 : W −→ V que e´ linear e tambe´m e´ um isomorfismo.
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Conceitos e
Teoremas
Aplicac¸o˜es
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Matrizes
Exemplo
Seja T : R3 −→ R3 dada por T (x , y , z) = (x − 2y , z , x + y).
Vamos mostrar que T e´ isomorfismo e calcular T−1.
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Conceitos e
Teoremas
Aplicac¸o˜es
Lineares e
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Suma´rio
1 Introduc¸a˜o
2 Conceitos e Teoremas
3 Aplicac¸o˜es Lineares e Matrizes
A´lgebra Linear
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A.
Introduc¸a˜o
Conceitos e
Teoremas
Aplicac¸o˜es
Lineares e
Matrizes
Aplicac¸o˜es Lineares e Matrizes
Veremos que uma vez fixadas as bases, a toda transformac¸a˜o
linear T : V −→W esta´ associada a uma u´nica matriz.
A´lgebra Linear
Pereira, C. G.
A.
Introduc¸a˜o
Conceitos e
Teoremas
Aplicac¸o˜es
Lineares e
Matrizes
Aplicac¸o˜es Lineares e Matrizes
Veremos que uma vez fixadas as bases, a toda transformac¸a˜o
linear T : V −→W esta´ associada a uma u´nica matriz.
Exemplo
A´lgebra Linear
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A.
Introduc¸a˜o
Conceitos e
Teoremas
Aplicac¸o˜es
Lineares e
Matrizes
Aplicac¸o˜es Lineares e Matrizes
Veremos que uma vez fixadas as bases, a toda transformac¸a˜o
linear T : V −→W esta´ associada a uma u´nica matriz.
Exemplo
Considerando R2 e as bases β = {(1, 0), (0, 1)} e
β′ {(1, 1), (−1, 1)} e a matriz
A =
[
2 −0
0 1
]
.
A´lgebra Linear
Pereira, C. G.
A.
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Conceitos e
Teoremas
Aplicac¸o˜es
Lineares e
Matrizes
Aplicac¸o˜es Lineares e Matrizes
Veremos que uma vez fixadas as bases, a toda transformac¸a˜o
linear T : V −→W esta´ associada a uma u´nica matriz.
Exemplo
Considerando R2 e as bases β = {(1, 0), (0, 1)} e
β′ {(1, 1), (−1, 1)} e a matriz
A =
[
2 −0
0 1
]
.
Queremos associar a matriz A uma aplicac¸a˜o linear que
depende de β e β′.
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Introduc¸a˜o
Conceitos e
Teoremas
Aplicac¸o˜es
Lineares e
Matrizes
Matriz de uma Transformac¸a˜o Linear
A´lgebra Linear
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Conceitos e
Teoremas
Aplicac¸o˜es
Lineares e
Matrizes
Matriz de uma Transformac¸a˜o Linear
Definic¸a˜o
Seja T : V −→W linear, β {v1, v2, ...vn} base de V e
β′ {w1,w2, ...,wn} base de W . Enta˜o a matriz Am×n tem a
seguinte propriedade
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Conceitos e
Teoremas
Aplicac¸o˜es
Lineares e
Matrizes
Matriz de uma Transformac¸a˜o Linear
Definic¸a˜o
Seja T : V −→W linear, β {v1, v2, ...vn} base de V e
β′ {w1,w2, ...,wn} base de W . Enta˜o a matriz Am×n tem a
seguinte propriedade
[T (v)]β′ = A [v ]β
A´lgebra Linear
Pereira, C. G.
A.
Introduc¸a˜o
Conceitos e
Teoremas
Aplicac¸o˜es
Lineares e
Matrizes
Matriz de uma Transformac¸a˜o Linear
Definic¸a˜o
Seja T : V −→W linear, β {v1, v2, ...vn} base de V e
β′ {w1,w2, ...,wn} base de W . Enta˜o a matriz Am×n tem a
seguinte propriedade
[T (v)]β′ = A [v ]β
para todo v ∈ Ve ainda, [v ]β e [T (v)]β′ sa˜o as coordenadas de
v e de T (v) em relac¸a˜o as bases β e β′, respectivamente.
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A.
Introduc¸a˜o
Conceitos e
Teoremas
Aplicac¸o˜es
Lineares e
Matrizes
Exemplo
Seja T : R3 −→ R2 tal que T (x , y , z) = (x + y , y − z). Seja
β = {(1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 1)} e β′ {(1, 2), (−1, 1)}.
Procuremos [T ]ββ′ .
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Conceitos e
Teoremas
Aplicac¸o˜es
Lineares e
Matrizes
Exemplo
Seja T : R3 −→ R2 tal que T (x , y , z) = (x + y , y − z). Seja
β = {(1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 1)} e β′ {(1, 2), (−1, 1)}.
Procuremos [T ]ββ′ .
Observac¸a˜o
Observe que fixando outras bases β e β′, obtemos outra
transformac¸a˜o linear.
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Conceitos e
Teoremas
Aplicac¸o˜es
Lineares e
Matrizes
Exemplo
Seja T : R3 −→ R2 tal que T (x , y , z) = (x + y , y − z). Seja
β = {(1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 1)} e β′ {(1, 2), (−1, 1)}.
Procuremos [T ]ββ′ .
Observac¸a˜o
Observe que fixando outras bases β e β′, obtemos outra
transformac¸a˜o linear.
Exemplo 3, Boldrini, pag 160.
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Conceitos e
Teoremas
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Lineares e
Matrizes
Exemplo
Seja T : R3 −→ R2 tal que T (x , y , z) = (x + y , y − z). Seja
β = {(1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 1)} e β′ {(1, 2), (−1, 1)}.
Procuremos [T ]ββ′ .
Observac¸a˜o
Observe que fixando outras bases β e β′, obtemos outra
transformac¸a˜o linear.
Exemplo 3, Boldrini, pag 160.
A´lgebra Linear
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A.
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Conceitos e
Teoremas
Aplicac¸o˜es
Lineares e
Matrizes
Exemplo
Seja L : P1 −→ P2 definida por L [p(t)] = tp(t) e considere as
bases ordenadas T = {t, 1} e S =
{
t2, t, 1
}
para P1 e P2,
respectivamente.
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Aplicac¸o˜es
Lineares e
Matrizes
Exemplo
Seja L : P1 −→ P2 definida por L [p(t)] = tp(t) e considere as
bases ordenadas T = {t, 1} e S =
{
t2, t, 1
}
para P1 e P2,
respectivamente.
a) Encontre a matriz A associada a L.
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Exemplo
Seja L : P1 −→ P2 definida por L [p(t)] = tp(t) e considere as
bases ordenadas T = {t, 1} e S =
{
t2, t, 1
}
para P1 e P2,
respectivamente.
a) Encontre a matriz A associada a L.
b) Se p(t) = 3t − 2, calcule [p(t)] usando A.
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Exemplo
Seja L : P1 −→ P2 definida por L [p(t)]= tp(t) e considere as
bases ordenadas T = {t, 1} e S =
{
t2, t, 1
}
para P1 e P2,
respectivamente.
a) Encontre a matriz A associada a L.
b) Se p(t) = 3t − 2, calcule [p(t)] usando A.
Observac¸a˜o
Sugesta˜o de estudo: Steinbruch: Cap 4, exerc´ıcios sec¸a˜o
4.8, 1-37.
Boldrini: Cap 5, pag 142 a` 161, exerc´ıcios 1, 2, 3, 4, 5,
11, 14 e 16.
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Bibliografia
Lima, Elon L. “A´lgebra Linear”, 3. ed., Rio de Janeiro,
Instituto de Matema´tica Pura e Aplicada, CNPq, 1998,
357p.
Boldrini, Jose´ L. “A´lgebra Linear”, 3. ed., Sa˜o Paulo,
Harper & Row do Brasil, 1980.
Steinbruch, Alfredo. “Introduc¸a˜o a` A´lgebra Linear”, Sa˜o
Paulo, Pearson Education do Brasil,1997.
	Introdução
	Conceitos e Teoremas
	Aplicações Lineares e Matrizes