Exercício Álgebra Linear Aplicada

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Exercícios de Álgebra Linear Aplicados. 
QUESTÕES DESAFIO 
Transformações lineares, contextualizando. 
Escala: Podemos usar matrizes para representar outros eixos coordenados, diferentes do eixo 
de base. Basta, para isso, imaginarmos como esse eixo seria. 
Por exemplo, vamos supor que queiramos ampliar uma imagem em duas vezes. Isso significa que 
queremos que seu eixo de base seja duas vezes maior que nosso próprio eixo, certo? 
 
Portanto, usando as proporções do segundo eixo como uma matriz, teríamos: 
 
Com essa matriz, podemos transformar qualquer ponto do sistema de base, num ponto do sistema 
escalado. Para isso, a matriz de escala é multiplicada pelo vetor que queremos ampliar. Tomemos 
como exemplo o nosso vetor [50 60]: 
 
Não surpreendentemente, os pontos dobraram de valor. Para ampliar uma figura inteira, 
multiplicaríamos o vetor que representa cada um de seus pontos. 
Rotação: Alterar o tamanho não é a única coisa que podemos fazer com transformações 
lineares. O que aconteceria se no lugar da matriz [
2 0
0 2
] usasse a matriz [
2 −1
1 2
] ? 
Veja um eixo sobre o outro: 
Note que agora não só alterou o tamanho da imagem, como também alterou a inclinação dos eixos. 
Como consequência, a transformação final também será inclinada (nesse caso, em 26°). 
 
Se lembrar da formula sobre como criar um vetor baseado num ângulo, poderá facilmente chegar 
a uma matriz, que faz uma rotação qualquer. Se você não se lembra, foi criado um vetor de tamanho 
t, baseado num ângulo α com a função: 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
Vector2D Vector2D::bySizeAndAngle(float size, float angle) 
{ 
 return Vector2D( 
 cos(angle) * size, 
 sin(angle) * size); 
} 
Ou seja, equivalente à formula: 
 
Se na hora de montar o novo sistema coordenado esse for o vetor de um dos eixos, então, o vetor 
perpendicular a ele, será o vetor do outro eixo. Há uma regra simples para achar um vetor 
perpendicular. Basta inverter a posição dos dois valores, e o sinal de um deles. Por exemplo, se o 
vetor em questão é (x,y) o seu perpendicular será (-y, x). 
Dessa forma, como queremos alterar apenas o ângulo, teremos t = 1, é formado o seguinte sistema 
em azul, sobre nosso sistema base, em cinza: 
 
E com isso, podem-se deduzir a matriz de rotação genérica, que é: 
 
Repare bem que a primeira linha dessa matriz é exatamente a fórmula do método 
Vector2D::bySizeAndAngle. E note que a segunda, nada mais é que seu vetor perpendicular. 
Assim, se tivermos um vetor (x,y) qualquer, sua rotação será definida por: 
 
Exercícios. 
1. Marina e Leandro foram a uma lanchonete. Marina consumiu um sanduíche e dois sucos e 
pagou R$ 26,00. Leandro consumiu dois sanduíches e um suco, totalizando R$ 28,00. A partir 
dessas informações, determine o preço de cada sanduíche e o preço de cada suco. 
 
 
2. Uma indústria produz dois modelos de cobertores: um para casal e um para solteiro. O modelo 
para casal tem 4 m2 e o modelo para solteiro tem 3 m2. O total de tecido que a indústria possui 
para a produção dos cobertores corresponde a 3.100 m2. A produção total de cobertores precisa 
ser de 850 unidades. Quantas unidades de cada modelo devem ser produzidas para que todo o 
tecido seja utilizado e a produção total seja atendida? 
 
 
3. Um automóvel com o tanque cheio de combustível pesa 2.420 quilos e com o tanque com 3/4 
de combustível pesa 2.400. Qual é o peso do automóvel com o tanque vazio? 
 
Vetores e matrizes, contextualizando. 
Você deve se lembrar que vetores podem representar pontos. Não se lembra? Então confira 
rapidamente o texto abaixo sobre vetores. 
Por exemplo, o ponto do canto superior direito daquela figura que no exemplo calculamos ser 
(50,60), poderia ser representado pelo seguinte vetor: 
 
O que muitos não sabem, é que esse vetor pode ser representado como uma matriz de uma linha, 
e duas colunas, como essa aqui: [50 60] 
Ou mesmo como uma matriz de uma única coluna e duas linhas, como essa: [
50
60
]. Como a notação 
de coluna é difícil ocupa muito espaço escrita, podemos usar a notação de linha, através da matriz 
transposta: [50 60]𝑇. 
Você deve estar se perguntando. E daí? Se você ainda não reparou, uma vez que um vetor é 
representado por uma matriz, isso também significa que ele pode ser multiplicado por uma matriz. 
E essa multiplicação permite-nos transformar um vetor que está num sistema de coordenadas 
qualquer, em um vetor em outro sistema. 
Usar linhas ou colunas tem uma implicação importante: Matrizes linhas representam o sistema de 
coordenadas da mão esquerda. Nele, as funções de rotação funcionam no sentido horário, e as 
transformações ocorrerão na ordem em que são multiplicadas. Na matriz coluna, as rotações 
ocorrem em sentido anti-horário, e as transformações ocorrem em ordem inversa da multiplicação. 
Exercício: 
4. Dada A = (
2 1
0 −1
) e B== (
4 0
−2 6
), determine 3(2𝐴𝑇 −
1
2
𝐵)
𝑇
 
 
5. Encontre uma base e dê a dimensão do subespaço de 𝑀2(ℝ) gerado por 
µ=[
1 −2
3 1
] , V=[
3 2
−1 5
], w=[
3 10
−11 7
]. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Referências: 
http://pontov.com.br/site/index.php/matematica-e-fisica/238-matrizes-e-transformacoes-parte-1 
A Steinbruch, P. Winterle, Álgebra Linear, 2. ed., Pearson Makron Books, 2008.