P3 MTM5186 14.2 Bortolan

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3a PROVA - DISCIPLINA MTM 5186: CÁLCULO IV
Professor: Matheus C. Bortolan
Nome:___________________________________________ Matrícula: _____________
(a) (b) (c)
Questão 1 xxxxx xxxxx
Questão 2 xxxxx xxxxx
Questão 3
Questão 4 xxxxx
Total / 10.0
Orientações para a avaliação
• Leia atentamente cada uma das questões da prova.
• Justifique cada uma de suas respostas. Respostas sem justificativa serão desconsideradas.
• As respostas devem estar escritas à caneta e as resoluções devem estar legíveis.
• A prova é individual e sem consulta a nenhum material.
• Não é permitido sair da sala durante o período da avaliação.
• Não é permitido uso nenhum tipo de calculadora, celulares, tablets, notebooks e
smartphones. O não cumprimento desta regra anulará completamente a sua avaliação.
• Faça cada questão com calma e tenha uma boa prova! =)
3a PROVA - DISCIPLINA MTM 5186: CÁLCULO IV
Professor: Matheus C. Bortolan
Nome:___________________________________________ Matrícula: _____________
(Valor 2.5) Questão 1: Considere u uma solução da equação de Laplace em um domínio limitado
Ω de R3; isto é,
∆u= 0, em Ω.
Usando a função de Green G(x,x0) em Ω, mostre que se u= 0 em ∂Ω, então u= 0 em Ω.
(Valor 2.5) Questão 2: Sabendo que a solução para o problema de Dirichlet para a equação da
onda, dado por 
ut t = ux x , para 0< x < pi
u(0, t) = u(pi, t) = 0
u(x , 0) = φ(x) e ut(x , 0) =ψ(x)
é dada por
u(x , t) =
∞∑
n=1
�
an cos(nt) + bn sin(nt)
�
sin(nx),
onde φ(x) =
∑∞
n=1 an sin(nx) e ψ(x) =
∑∞
n=1 nbn sin(nx), encontre a solução explícita
para o problema quando φ(x) = sin(9x) + sin(15x) e ψ(x) = 0.
(Valor 3.0) Questão 3: Considere a equação de Laplace em coordenadas polares em R2
ur r +
1
r
ur +
1
r2
uθθ = 0.
(1.0) (a) Usando o método da separação de variáveis, assumindo u(r,θ) = R(r)Θ(θ), mostre
que existe uma constante λ tal que
Θ′′(θ) +λΘ(θ) = 0 e r2R′′(r) + rR′(r)−λR(r) = 0.
(1.0) (b) Sabendo que λ = n2, encontre a solução geral de cada uma das equações do item
(a) para cada n= 0, 1,2, · · · .
(1.0) (c) Usando o item (b), se Ω = {(x , y) ∈ R2 : x2 + y2 > ρ2} (isto é, o exterior de um
disco), mostre que a solução geral para a equação de Laplace em Ω é dada por
u(r,θ) =
∞∑
n=0
r−n(an cos(nθ) + bn sin(nθ)),
onde an e bn são constantes, para cada n¾ 0.
(Valor 2.0) Questão 4: Lembre que para um par de funções u, v definidas em um conjunto Ω de
R3, temos (vux)x = vxux + vux x (da regra do produto de derivadas).
(1.0) (a) Mostre que
div(v∇u) =∇v · ∇u+ v∆u.
(1.0) (b) Usando o item (a) e lembrando que
∫∫∫
Ω
div(v∇u)dx= ∫∫
∂Ω
v ∂ u
∂ n
, mostre a primeira
identidade de Green.
(Valor 1.0) Questão Extra: Considere a equação∆u= 1 em Ω∂ u
∂ n
= 0 em ∂Ω
Esta equação possui solução? Justifique.
(Valor 1.0) Questão Extra: Demonstre a segunda identidade de Green.