Álgebra Linear - Lista 4

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1. O vetor 5 + 3x+ 2x2 ∈ P2[x](R) é combinação linear dos vetores 1 + x+ x2 e 3 + x ?
2. Verifique se os seguintes conjuntos são L.I. ou L.D.
(i) S = {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)} ⊂ R3.
(ii) S = {1 + 2x, x+ x3, x2 + x3} ⊂ P3[x](R).
(iii) S =
{[
1 0
1 1
]
,
[ −1 2
0 1
]
,
[
0 −1
2 1
]
,
[
1 8
0 5
]}
.
(iv) S = {(−1, 1, 0), (0, 1, −2), (−2, 3, 1)} ⊂ R3.
(v) S = {(1, 2, −1), (−1, 1, 0), (−3, 0, 1), (−2, −1, 1)} ⊂ R3.
(vi) S = {2x+ 2, −x2 + x+ 3, x2 + 2x} ⊂ P2[x](R)
3. Considere S o subespaço deM2×2(R) descrito por
S =
{[
a− b 2a
a+ b −b
]
/a, b ∈ R
}
.
(i)
[
5 6
1 2
]
∈ S?
(ii) Encontre um valor para k de forma que o vetor
[ −4 k
2 −3
]
pertença a S.
4. Considere os vetores v1 = (1, 1, 1), v2 = (1, 2, 0) e v3 = (1, 3,−1). Se (3, −1, k) ∈
[v1, v2, v3](= espaço gerado pelos vetores v1, v2 e v3). Qual o valor de k?
5. Mostre que os vetores v1 = (1, 1, 1), v2 = (0, 1, 1) e v3 = (0, 0, 1) geram o espaço
euclidiano R3.
6. Verifique que o vetor (−1, −3, 2, 0) pertence ao subespaço de R4 gerado pelos vetores
(2, −1, 3, 0), (1, 0, 1, 0) e (0, 1, −1, 0).
7. Mostre que
{[
1 0
0 0
]
,
[
0 1
0 0
]
,
[
0 0
1 0
]
,
[
0 0
0 1
]}
é base deM2x2(R).
8. Determine uma base para o espaço vetorial das matrizes n×n. Qual a dimensão deste
espaço.
1
9. Determine uma base para Pn[x](R). Qual a dimensão deste espaço?
10. Mostre que o conjunto {(1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1), (1, 0, 0, 3), (0, 0, 0, 5)} é base de R4.
11. Mostre que os polinômios 1− t3, (1− t)2, 1− t e 1 formam uma base para o espaço
dos polinômios de grau ≤ 3 na variável t.
12. Mostre que os vetores v1 = (1, 1, 1), v2 = (1, 2, 3), v3 = (3, 0, 2) e v4 = (2, −1, 1)
geram o espaço R3 e encontre uma base dentre os vetores v1, v2, v3 e v4.
13. Seja V = R3 e o conjunto B = {(0, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 2, 1)} ⊂ R3.
(i) Mostre que B não é base de R3.
(ii) Determine uma base de R3 que possua dois elementos de B.
14. Sejam os vetores v1 = (1, 0, −1), v2 = (1, 2, 1) e v3 = (0, −1, 0) do espaço euclidiano
R3.
(i) Mostre que B = {v1, v2, v3} é base de R3.
(ii) Escreva e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e e3 = (0, 0, 1) como combinação linear dos
vetores da base B.
15. Seja S =
{[
a b
c d
]
/ c = a+ b e d = a
}
⊂M2×2(R).
(i) Qual a dimensão de S?
(ii) O conjunto
{[
1 −1
0 1
]
,
[
2 1
3 4
]}
é uma base de S?
16. Seja V o espaço das matrizes 2 × 2 sobre R e seja W o subespaço gerado por[
1 −5
−4 2
]
,
[
1 1
−1 5
]
,
[
2 −4
−5 7
]
,
[
1 −7
−5 1
]
. Determine uma base para W e sua
dimensão.
17. Considere o subespaço de R4 gerado pelos vetores v1 = (1, −1, 0, 0), v2 = (0, 0, 1, 1),
v3 = (−2, 2, 1, 1) e v4 = (1, 0, 0, 0).
(i) O vetor (2, −3, 2, 2) ∈ [v1, v2, v3, v4] ?
(ii) Exiba uma base para [v1, v2, v3, v4] e determine sua dimensão.
(iii) [v1, v2, v3, v4] = R4 ?
18. Considere o sistema linear
(?) =

2x1 + 4x2 − 6x3 = a
x1 − x2 + 4x3 = b
6x2 − 14x3 = c
Seja W = {(x1, x2, x3) ∈ R3 / (x1, x2, x3) é solução de (?)}
2
(i) Que condições devemos impor a a, b e c de forma que W seja subespaço vetorial de
R3 ?
(ii) Nas condições impostas acima encontre uma base para W.
(iii) Que relação existe entre a dimensão de W e o grau de liberdade do sistema?
19. DefinimosW1⊕W2 = {w1 + w2/w1 ∈ W1, w2 ∈ W2 and W1 ∩W2 = {0}} como sendo
a soma direta dos subespaçosW1 eW2. SeW1 = {(x, y, z, t) ∈ R4/ x+ y = 0 e z − t = 0}
e W2 = {(x, y, z, t) ∈ R4/ x− y − z = 0} .
(i) Exiba uma base para W1 e para W2.
(ii) Exiba uma base para W1 ∩W2.
(iii) Exiba uma base para W1 +W2.
(iv) W1 +W2 é soma direta?
(v) W1 +W2 = R4 ?
20. Sejam W1 =
{[
a b
c d
]
/ a = d e b = c
}
e W2 =
{[
a b
c d
]
/ a = c e b = d
}
su-
bespaços deM2×2(R).
(i) Determine W1 ∩W2 e exiba uma base.
(ii) Determine W1 +W2. Tal soma é direta? W1 ∩W2 =M2×2(R) ?
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