Álgebra Linear - Lista 9

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VIRTUS IMPAVIDA
Centro Acadêmico do Agreste / N.F.D.
Profa. Giovana Siracusa
Disciplina: Álgebra Linear
Lista 09
Universidade Federal de Pernambuco
1. Considere V = R2. Mostre que a função 〈 , 〉 : R2 × R2 → R, definida por
〈(x, y), (x′, y′)〉 = 2xx′ − xy′ − x′y + 2yy′
é um produto interno.
2. Seja β = {v1, ..., vn} ⊂ V uma base ortonormal do espaço vetorial de V. Mostre que,
para v, w ∈ V arbitrários, tem-se 〈v, w〉 =
n∑
i=1
〈v, vi〉 〈w, vi〉 .
3. Mostre que se u e v são vetores de um espaço vetorial euclidiano, então:
(i) u ⊥ v =⇒ ‖u+ v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2. (Interprete geometricamente esse fato).
(ii) (u+ v) ⊥ (u− v) =⇒ ‖u‖ = ‖v‖.
(iii) ‖u+ v‖2 + ‖u− v‖2 = 2(‖u‖2 + ‖v‖2).
4. Considere o seguinte produto interno no espaço R2:
〈(x1, y1), (x2, y2)〉 = x1x2 + 2x1y2 + 2x2y1 + 5y1y2
Mostre que, em relação a este produto interno, o conjunto {(1, 0), (2, −1)} é uma
base ortonormal de R2
5. Considere R4 munido do produto interno canônico. SejaW subespaço de R4 descrito
por
W = {(x, y, z, t) ∈ R4; x+ y = 0 e x− z − t = 0}
(i) Determine uma base ortonormal para W.
(ii) Determine uma base ortonormal para W⊥.
(iii) Considere C a base canônica de R4 e γ a base ortonormal formada pela junção
das bases de W e W⊥, encontradas nos itens anteriores. Determine [I]Cγ .
6. Considere em R3 o produto interno dado por
< (x1, y1, z1), (x2, y2, z2) >= 2x1x2 − x1y2 − x2y1 + y1y2 + z1z2
(i) Determine o ângulo entre os vetores (1, 1, 0) e (1, 1,
√
3).
(ii) Ortogonalize a base β = {(1, 0, 0), (0, 2, 0), (0, 1, 1)}
(iii) Seja W ⊂ R3 o subespaço descrito por
W = [(0, 1, 0), (−1, 0, 1)].
Encontre o complemento ortogonal de W
7. Considere R3 munido com o produto interno canônico e seja W o subespaço descrito
por
W = {(x, y, z) ∈ R3; x+ y − z = 0}
(i) Encontre uma base ortonormal para V.
(ii) Seja α = {v1, v2} a base obtida no item anterior, encontre v3 ∈ R3 tal que
{v1, v2, v3} é uma base ortonormal de R3.
(iii) Determine a transformação linear R que é uma reflexão de R3 em relação ao
subespaço V.
(iv) Determine a transformação linear P que é uma projeção ortogonal de R3 sobre
V.
8. Seja V =M2×2(R) e considere W o subespaço de V descrito por
W =
{(
x1 x2
x3 x4
)
; x1 + x4 = 0 e x2 + x3 = 0
}
(i) Encontre o complemento ortogonal W⊥ de W , com relação ao produto interno
canônico de V, descrito por
〈(
x1 x2
x3 x4
)
,
(
y1 y2
y3 y4
)〉
= x1y1 + x2y2 + x3y3 + x4y4.
(ii) Encontre bases ortonormais para W e W⊥.
(iii) Encontre a projeção ortogonal de V sobre W .
(iv) Encontre a reflexão de V em relação a W.
ii