Álgebra Linear - Lista 8

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1. Ache os autovalores e autovetores correspondentes das transformações lineares dadas:
(i) T : R2 → R2, tal que T (x, y) = (2y, x)
(ii) T : R2 → R2, tal que T (x, y) = (x+ y, 2x+ y)
(iii) T : P2(R)→ P2(R), tal que T (ax2 + bx+ c) = ax2 + cx+ b.
2. Encontre a transformação linear T : R2 → R2 tal que T tenha autovalores −2 e 3
associados aos autovetores (3y, y) e (−2y, y) respectivamente.
3. Se λ é autovalor da transformação linear T : V → V e v é um autovetor associado a
ele, mostre que
(i) kv é outro autovetor associado a λ se k 6= 0.
(ii) O conjunto formado pelos autovetores associados a λ e o vetor nulo é subespaço de
V.
4. Suponha que λ1 e λ2 sejam autovalores distintos e diferentes de zero do operador
T : R2 → R2. Mostre que
(i) Os autovetores v1 e v2 correspondentes são LI.
(ii) T (v1) e T (v2) são LI.
5. Dizemos que uma matriz A de ordem n×n é diagonalizável se seu operador associado
TA : Rn → Rn for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n
autovetores LI. Baseado nisto, verifique se a matriz abaixo é diagonalizável:
A =

2 1 0 0
0 2 0 0
0 0 2 0
0 0 0 3

6. Seja A uma matriz 3 × 3 triangular superior, com todos os seus elementos acima da
diagonal distintos e não nulos.
A =
 a b c0 d e
0 0 f

Quais são os autovalores e autovetores de A?
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7. Sejam T : R3 → R3 linear, α = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}, a base canônica de
R3, β = {(0, 1, 1), (0, −1, 1), (1, 0, 1)} outra base de R3 e
[T ]αα =
 2 0 10 −3 1
0 0 −3

(i) Encontre o polinômio característico de T, os autovalores de T e os autovetores cor-
respondentes.
(ii) Ache [T ]ββe o polinômio característico. Que observação você faz a esse respeito?
(iii) Encontre uma base γ de R3, se for possível, tal que [T ]γγ seja diagonal.
8. Sejam T : V → V um operador linear, com dimV <∞. Suponha que α e β são bases
distintas de T. Mostre que
det[T ]αα = det[T ]
β
β.
9. Considere A =
( −3 4
−1 2
)
.
(i) Verifique que A é diagonalizável.
(ii) Calcule A20.
10. Considere A =
 2 1 −14 1 −3
0 1 1
 .
(i) Determine os autovalores de A.
(ii) Determine os autoespaços de A.
(iii) A é diagonalizável?
11. Sejam k um número real e T : R2 → R2 o operador linear tal que [T ]αα é a matriz
B =
(
2 k
1 1
)
,
onde α = {(1, 0), (0, 1)} é a base canônica do R2.
(i) Determine todos os valores de k para os quais o operador T não é diagonalizável.
(ii) Escolha um valor de k tal que T seja diagonalizável e determine uma matriz diagonal
D e uma matriz P tais que D = P−1BP.
12. Seja T : R3 → R3 transformação linear descrita por
T (x, y, z) = (x+ 2y + 2z, 2x+ y + 2z, −z).
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(i) Determine os autovalores e autovetores de T.
(ii) A transformação T é diagonalizável? Em caso afirmativo, exiba uma base com relação
à qual a matriz de T é diagonal.
13. Suponha que T : V → V é um operador linear.
(i) Suponha que 0 seja um autovalor de T. Mostre que T não é injetiva.
(ii) Suponha que dim(Nuc(T )) ≥ 1. Mostre que 0V é um autovalor de T.
14. Seja T : R3 → R3 uma transformação linear tal que λ1 e λ2 são autovalores de T com
autoespaços Vλ1 = {(x, y, z) ∈ R3;x+ z = 0} e Vλ2 = {(0, t, t) ∈ R3; t ∈ R}.
(i) T é diagonalizável? Em caso afirmativo, encontre β base de R3 tal que [T ]ββ seja uma
matriz diagonal.
(ii) Descreva T (x, y, z) em coordenadas.
15. Seja T :M2×2(R)→M2×2(R) um operador linear descrito por
T
(
x y
z t
)
=
(
2x+ t −y + z
z + 2t 3t
)
(i) Escreva [T ]CC, onde C é a base canônica deM2×2(R).
(ii) Determine os autovalores de T.
(iii) Determine se T é diagonalizável, e em caso afirmativo determine a matriz diagonal
correspondente.
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