Sistema de Equações Lineares

Prévia do material em texto

Sistemas de Equações Lineares
Denominamos sistema de equações lineares um conjunto de equações:
onde 
 são as variáveis ou incógnitas ,cada 
 é um coeficiente e os termos bi são ditos termos independentes.
Uma solução para o sistema (I) é um conjunto de valores das variáveis que torna cada equação uma identidade. Esses valores são denominados raízes do sistema.
Um sistema se classifica como:
 Compatível determinado se tem uma única solução.
 Compatível indeterminado se tem mais do que uma solução.
 Incompatível se não tem solução.
Representação matricial do sistema (I)
A = 
 é denominada matriz do sistema, 
Note que: Sendo 
 e 
 temos A . X = B 
Matriz aumentada do sistema: 
O sistema é dito homogêneo se a matriz B dos termos independentes é nula.
Observe que todo sistema homogêneo é compatível.
Métodos de resolução de sistemas
Método de Cramer: ( para sistemas com número de equações igual ao número de incógnitas, ou seja, a matriz do sistema é quadrada)
Se DetA ( 0 então o sistema é compatível determinado e 
 
 onde Ai é obtida de A substituindo–se a coluna i por 
Se DetA = 0 e cada DetAi = 0 então o sistema é compatível indeterminado.
Se DetA = 0 e algum detAi ( 0 então o sistema é incompatível.
Exemplos: 1) 
 A = 
 detA= 1
Ax = 
 detAx = -18 ( x = -18/1 = -18
 Ay = 
 detA y = 8 ( y = 8/1 = 8
2) 
 A = 
 det A = 0
Ax = 
 detAx = 0 x = 0/0 indeterminação
Ay = 
 detAy = 0 y = 0/0 indeterminação
3) 
 A = 
 det A = 0
Ax = 
 detAx = 21 x = 21/0 impossível
Ay = 
 detAy = -9 y = -9/0 impossível 
Sistema incompatível
 Método da matriz inversa: ( para sistemas com número de equações igual ao número de incógnitas, ou seja, a matriz do sistema é quadrada)
Se A tem inversa então AX = B
 A-1 AX = A-1 . B
 X= A-1 . B
Exemplos: 1) 
 
A = 
 A-1 = 
 
X = 
.
=
 ( x = -1 , y = 5 e z = 4
Método de Gauss: ( para qualquer sistema )
Consiste em transformar, através das operações elementares, a matriz aumentada do sistema em uma matriz escalonada (*) , obtendo a matriz de um sistema equivalente ( com as mesmas soluções ) ao inicial.
(*) M é matriz escalonada se:
O primeiro elemento não nulo de cada linha não nula é 1 ( elemento principal ou pivô)
 Cada coluna que contém o elemento principal 1 em uma determinada linha, tem os elementos das linhas posteriores a essa nulos.
 A relação linha coluna dos elementos principais é crescente.
 As linhas nulas são posteriores às não nulas.
Obs: O Método é dito de Gauss-jordan se considerarmos matriz escalonada na definição anterior com o item (2) acrescentado de “ e linhas anteriores a essa nulos” 
Exemplos: 1) 
 ( 
 ( 
 ( 
 
(
 ( 
 ( z = 4 , y = 5 e x = -1
ou continuando para Gauss- Jordan 
 ( 
2) 
 ( 
 ( 
 ( 
 ( 
 
 ( 
 ( 
 sistema incompatível
3) 
 
 ( 
 ( 
 ( 
 ( 
 ( 
( sistema indeterminado
4) 
 sistema homogêneo ( é sempre compatível )
 
 → 
 → 
 → 
 
→ 
 → 
 sistema indeterminado 
5) 
 sistema homogêneo
 ( 
 ( 
 
→
 → 
 → 
 →
 
 ( 
( x = y = z = 0( sistema determinado
_1296291093.unknown
_1296298590.unknown
_1296299291.unknown
_1342949883.unknown
_1387890445.unknown
_1387890540.unknown
_1387890803.unknown
_1387890825.unknown
_1387890922.unknown
_1387890756.unknown
_1387890720.unknown
_1387890488.unknown
_1342949979.unknown
_1342950040.unknown
_1387890292.unknown
_1342949939.unknown
_1296300649.unknown
_1342949300.unknown
_1342949846.unknown
_1342949191.unknown
_1296300403.unknown
_1296300620.unknown
_1296299315.unknown
_1296299346.unknown
_1296298883.unknown
_1296299246.unknown
_1296299260.unknown
_1296299188.unknown
_1296298635.unknown
_1296298822.unknown
_1296298625.unknown
_1296292020.unknown
_1296292255.unknown
_1296298534.unknown
_1296298569.unknown
_1296298379.unknown
_1296292162.unknown
_1296292186.unknown
_1296292106.unknown
_1296291340.unknown
_1296291772.unknown
_1296291795.unknown
_1296291759.unknown
_1296291294.unknown
_1296291184.unknown
_1296291241.unknown
_1250417969.unknown
_1296290751.unknown
_1296290968.unknown
_1296291027.unknown
_1296290902.unknown
_1296290774.unknown
_1296290518.unknown
_1296290684.unknown
_1296290367.unknown
_1250416898.unknown
_1250417254.unknown
_1250417466.unknown
_1250417193.unknown
_1250416588.unknown
_1250416639.unknown
_1250416311.unknown