Objetiva e Discursiva - Algebra Linear Março 2016 - Gabarito

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Algebra Linear – Objetiva e Discursiva.
Questão 1/10
Qual o procedimento para verificar se uma transformação é linear? E qual o resultado obtido para a transformação T(x,y) = (x, y, x + 1) ?.
Analise as alternativas a seguir e assinale a correta:
	
	A
	Para verificar se T é uma transformação linear, deve-se checar se são verdadeiras as duas condições dadas na definição de transformações lineares, a saber:
T(u + v) = T(u) + T(v) e k.T(u) = T(k.u)
Para a transformação T(x,y) = (x, y, x + 1), obtém-se que é linear.
	
	B
	Para verificar se T é uma transformação linear, deve-se checar se são verdadeiras as duas condições dadas na definição de transformações lineares, a saber:
T(u + v) = T(u) + T(v) e k.T(u) = T(k.u)
Para a transformação T(x,y) = (x, y, x + 1), obtém-se que não é linear.
Você acertou!
Resolução:
Para verificar se T é uma transformação linear, deve-se checar se são verdadeiras as duas condições dadas na definição de transformações lineares, a saber:
T(u + v) = T(u) + T(v) e k.T(u) = T(k.u)
 
Verificação de T(u + v) = T(u)+ T(v):
Dados u = (a,b) e v = (c,d), tem-se:
T(u + v) = T(a+c,b+d) = (a+c,b+d,a+c+1)
T(u)+ T(v) = T(a,b) + T(c,d) = (a,b,a+1) + (c,d,c+1) = (a+c,b+d,a+c+2).
 
Como T(u + v) não é igual a T(u)+ T(v), T não é uma transformação linear.
	
	C
	Para verificar se T é uma transformação linear, deve-se checar se é verdadeira uma das duas condições dadas na definição de transformações lineares, a saber:
T(u + v) = T(u) + T(v) ou  k.T(u) = T(k.u)
Para a transformação T(x,y) = (x, y, x + 1), obtém-se que é linear.
	
	D
	Para verificar se T é uma transformação linear, deve-se checar se é verdadeira uma das duas condições dadas na definição de transformações lineares, a saber:
T(u + v) = T(u) + T(v) ou k.T(u) = T(k.u)
Para a transformação T(x,y) = (x, y, x + 1), obtém-se que não é linear.
Questão 2/10
Sobre a transformação linear T(x,y) = (x,–y), analise as proposições a seguir e marque V para as verdadeiras ou F para as falsas.
(   ) T é um operador linear de R².
(   ) T(1,3) = (1,–3).
(   ) O único vetor u tal que T(u) = (4,5) é o vetor u = (4, –5).
(   ) Nuc(T) = {(0,0)} e Im(T) = R².
	
	A
	V V F F
	
	B
	F V F V
	
	C
	V V V V
Você acertou!
	
	D
	V F V V
Questão 3/10
Após resolver um sistema de equações lineares pelo Método de Gauss-Jordan, você encontrou a matriz “W”, apresentada mais abaixo. Em relação à essa matriz “W”, analise as proposições a seguir e marque V para as verdadeiras e F para as falsas, depois assinale a alternativa correta:
 
Matriz “W” = 
(   ) O sistema é Possível e Determinado, pois seu grau de liberdade é 0;
(   ) O sistema é Possível e Indeterminado, pois seu grau de liberdade é 1;
(   ) O sistema é Impossível, pois foi obtida uma equação falsa;    
(   ) A matriz encontrada não está no formato escada reduzido por linhas.
	
	A
	V F V V
	
	B
	V F F V
	
	C
	F F V F
Você acertou!
Resolução:
o sistema é Impossível, já que foi obtida uma equação falsa (terceira linha da matriz).
	
	D
	F V V F
Questão 4/10
Analise as alternativas e assinale a alternativa verdadeira:
	
	A
	É possível e indeterminado (SPI) o sistema de equações lineares cuja matriz escada reduzida por linhas é:                
	
	B
	É possível e indeterminado (SPI) o sistema de equações lineares cuja matriz escada reduzida por linhas é: 
	
	C
	É igual a 1 o grau de liberdade do sistema de equações lineares cuja matriz escada reduzida por linhas é:
	
	D
	É possível e indeterminado (SPI) o sistema de equações lineares cuja matriz escada reduzida por linhas é:
Você acertou!
Resolução:
a) FALSO: o sistema é possível e determinado (SPD), já que o grau de liberdade é igual a 0 e não há equação falsa.
b) FALSO: o sistema é impossível (SI), já que apresenta duas equações falsas.
c) FALSO: o grau de liberdade é igual a 2 (há duas colunas sem pivô na matriz dos coeficientes).
d) VERDADEIRO: o grau de liberdade é igual a 2 (há duas colunas sem pivô na matriz dos coeficientes) e não há equação falsa, portanto, o sistema pode ser classificado como SPI.
Questão 5/10
Dados os dois sistemas de equações lineares a seguir (S1 e S2), avalie as proposições a seguir e marque V para as verdadeiras e F para as falsas:
 
(   ) O conjunto das soluções de S1 é um subespaço vetorial de R³.
(   ) O conjunto das soluções de S2 é um subespaço vetorial de R³.
(   ) S1 é um sistema de equações lineares homogêneo.
(   ) S2 é um sistema de equações lineares homogêneo.
	
	A
	V V F V
	
	B
	F V F V
Resolução:
S1 é um sistema não-homogêneo e o conjunto de suas soluções não é um espaço vetorial de R³.
S2 é um sistema homogêneo e o conjunto de suas soluções é um espaço vetorial de R³.
	
	C
	V F V F
	
	D
	V F F V
Questão 6/10
Utilizando o Método de Gauss-Jordan, calcule a matriz escalonada do sistema de equações lineares dado a seguir:
	
	A
	
	
	B
	
Você acertou!
	
	C
	
	
	D
	
Questão 7/10
Verifique se o conjunto {(1,2);(0,1);(2,3)} é linearmente dependente ou independente e interprete o significado da classificação encontrada para este conjunto.
	
	A
	conjunto é LD pois o sistema gerado pela equação é SPI.         
Você acertou!
	
	B
	conjunto é LD pois o sistema gerado pela equação é SI
	
	C
	conjunto é LI pois o sistema gerado pela equação é SPI.
	
	D
	conjunto é LI pois o sistema gerado pela equação é SPD
Questão 8/10
Em relação ao conjunto {(1,2,3),(0,1,2),(2,5,7)} pode-se afirmar:
	
	A
	não é uma base de R³.
	
	B
	é uma base de R³. 
Você acertou!
	
	C
	é um conjunto linearmente dependente.
	
	D
	é um conjunto linearmente independente, mas não é base de R³.
Questão 9/10
Seja M uma matriz qualquer quadrada de ordem 3. Sendo assim, analise as proposições a seguir e marque V para as verdadeiras ou F para as falsas e depois assinale a alternativa correta:
(   ) M sempre possui três autovalores distintos que podem ser reais ou imaginários.
(   ) M pode possuir autovalores reais e/ou autovalores imaginários.
(  ) Considerando-se o conjunto dos números complexos (reais e imaginários), M sempre terá autovalores.
	
	A
	F V V
Você acertou!
	
	B
	V F V
	
	C
	V V F
	
	D
	F V F
Questão 10/10
Classifique o sistema a seguir:
	
	A
	Sistema Impossível - SI
	
	B
	Sistema Possível e Determinado - SPD
	
	C
	Sistema Possível e Indeterminado, com grau de liberdade igual a 1 - SPI
Você acertou!
	
	D
	Sistema Possível e Indeterminado, com grau de liberdade igual a 2 - SPI
DISCURSIVA
Questão 1/5
	
Resposta:
Questão 2/5
	
Resposta:
Questão 3/5
	
Resposta:
Questão 4/5
Escreva as matrizes aumentadas para os sistemas abaixo:
 a) x1 + 2x2 – x3 + x4 = 7
     2x1 – x2 + 2x4 = -8
 
b) –x + 2y – 3z = 4
      2x + z = 2
      Y – 3z = 5
	
Resposta:
Questão 5/5