Estimação de Parâmetros em Distribuição Gaussiana

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T20, *
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 ESTATÍSTICA
T20, *
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

p


ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS
Estimação pontual
Estimação intervalar
 Método dos momentos
 Método da máxima verosimilhança
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Estimação intervalar de parâmetros quando XGaussiana(,) 
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Sabemos que se X1, …, Xn for uma amostra aleatória de parente XGaussiana(,), então 
Estimação de  quando  é conhecido
Gaussiana
e, consequentemente, 
Gaussiana
Gaussiana
(0,
1).
de onde resulta
independência
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Consideremos  (0,1). Temos
Área = /2
Área = /2
1-
z/2
-z/2
O intervalo aleatório
contém o parâmetro  com probabilidade 1- . Por exemplo, em 100 amostras, para  = 0.05, esperamos que 95% dos intervalos construídos contenham o parâmetro .
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Dada uma amostra aleatória de 
parente XGaussiana(, ), o 
intervalo de confiança para o valor
médio de uma v.a. Gaussiana
quando é conhecido o valor do
seu desvio-padrão é, para um nível
de confiança de (1-)*100%,
Estimação de  quando  é conhecido
T20, *
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Estimação de  quando  é conhecido (cont.)
O comprimento do intervalo é
e, como seria de esperar, quanto maior for a amostra, mais estreito é o intervalo.
Por exemplo, se  = 1 e  = 0.05, a dimensão mínima que a amostra terá de ter para que o intervalo de confiança tenha comprimento inferior a 0.5 é…
Se se pretender um intervalo com comprimento inferior a 0.1,…
…n = 62.
…n = 1537.
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Estimação de  quando  é desconhecido
Sabemos que se (X1, X2, …, Xn) for uma amostra aleatória de parente XGaussiana(, ), então
Gaussiana (0, 1)
Quando  é desconhecido não podemos utilizar este na normalização.
Um estimador centrado para 2 é 
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Será então natural fazer a normalização
cuja distribuição é (cf. e.g., Pestana e Velosa (2002), pp. 772-774)

t de Student com n-1 graus de liberdade. A f.d.p. de Xtn é
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A distribuição t de Student
Função densidade de probabilidade
1
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Quando n = 1
t1 é a distribuição de Cauchy.
2
Quando n + 
3
Se Xntn, então
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4
ZGaussiana(0,1)
Y2n
Z e Y são independentes
 tn
5
Xtn 
E(X) = 0, se n>2 e var(X) = n/(n-2), se n>2.
6
A tabela…
(Cf. e.g., Pestana e Velosa (2002), pp. 772-774.)
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n = 6
0.1
1.44
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Consideremos  (0,1). Temos
Área = /2
tn-1,/2
-tn-1, /2
Área = /2
Dada uma amostra aleatória de parente XGaussiana(,) de dimensão n, o intervalo de confiança para o valor médio da v.a. Gaussiana, quando é desconhecido o valor do seu desvio-padrão é, para um nível de confiança de (1-)*100%,
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Exemplo
Sete medições são feitas à resistência de um certo tipo de fio, fornecendo valores para X1, …, X7. Suponha que
e que
Supondo que a resistência tem distribuição normal o intervalo de 90% de confiança para a variância é…
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Estimação intervalar de 2, a variância de XGaussiana(,)
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A distribuição de (n-1)S2/s2
Mostra-se que se (X1, X2, …, Xn) for uma amostra aleatória de parente XGaussiana(, ), então 

onde, recorde-se, X2n é uma v.a. com f.d.p. dada por
Gráfico de fX para n = 6.
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
De facto,
A distribuição de (n-1)S2/s2
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Ora,
A distribuição de (n-1)S2/s2
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Concluimos então que
Ora, de XiGaussiana(m, s) resulta que
Gaussiana(0, 1),
que
21,
e, dado que X1, X2, …, Xn são independentes, que
2n.
2n
A distribuição de (n-1)S2/s2
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Temos então
Por outro lado,
e
Student mostrou que para uma amostra aleatória de parente gaussiana, 
21.
são independentes, logo
2n
21
A distribuição de (n-1)S2/s2
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Mas, a função geradora de momentos da v.a. XGama(a, ) (a, >0)
2n
21
e, dado nN1, dizemos que uma v.a. X tem distribuição qui-quadrado com n graus de liberdade, e escrevemos X 2n, se X tiver distribuição Gama (n/2, 1/2). Resulta então que, para t<1/2,
2n-1.
A distribuição de (n-1)S2/s2
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Área = /2
qn-1,/2
qn-1,1-/2
Área = /2
1-

Estimação de s
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Mas
Dada uma amostra aleatória de parente XGaussiana(,) de dimensão n, o intervalo de confiança para a variância é, para um nível de confiança de (1- )*100%,
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Intervalo de confiança para a diferença dos valores médios de duas populações gaussianas independentes
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X1, X2, ...., Xn uma amostra aleatória de parente XGaussiana(X, X),
Y1, Y2, ...., Ym uma amostra aleatória de parente YGaussiana(Y, Y),
Sejam
Então


independentes. 
e, consequentemente,

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de onde resulta
obtemos


De
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e, consequentemente,
O intervalo de confiança para a diferença entre os valores médios, para um nível de confiança de (1- )*100%, quando as variâncias são conhecidas, é
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TPC
Ler: 
Introdução à Probabilidade e à Estatística, de D. Pestana e S. Velosa, 
1ª Edição: pp. 528-531