LISTA DE EXERCÍCIO 2 - VETORES E GEOMETRIA ANALÍTICA

Prévia do material em texto

Universidade Federal de Sergipe
Centro de Cieˆncias Exatas e Tecnologia
Departamento de Matema´tica
Vetores & Geometria Anal´ıtica– Lista 2 I Semestre/2016
Prof. Douglas F. de Albuquerque e-mail: douglas@ufs.br
E. 1 . Calcule a distaˆncia entre os pontos:
(a) A(2, 1, 5), B(2, 0, 1) .
(b) A(0, 1, 0), B(2, 0, 0) .
(c) P (0, −1, 2), Q(2, −1, 4) .
(d) R(2, 1, 0), S(2, −2, 0) .
(e) P (0, 1, −1), Q(2, 0, −1) .
(f) P (1, −1, 0), Q(−2, −2, 1) .
E. 2 . Considere os vetores
−−→
PQ e
−→
RS em R3, em que P (2, 1, 5), Q(3, 5, 7), R(1, −3, −2), e S(2, 1, 0) .−−→
PQ =
−→
RS ? Calcule os mo´dulos desses vetores.
E. 3 . Considere um vetor, na˜o nulo, ~r = (x, y, z) formando aˆngulos α, β e γ com os eixos x, y e z,
respectivamente. Mostre que:
(a) cosα =
x√
x2 + y2 + z2
, cosβ =
y√
x2 + y2 + z2
e cos γ =
z√
x2 + y2 + z2
.
(b) cos2 α+ cos2 β + cos2 γ = 1 .
E. 4 . Considere ~v = (1, 0, 0) e ~w = (a, 0, 0) vetores em R3. Mostre que ‖ ~w ‖= |a| ‖ ~v ‖ .
E. 5 . A velocidade de um pequeno barco A em relac¸a˜o a um outro barco B, ~vrel, e´ definida pela
relac¸a˜o ~vrel = ~vA − ~vB , em que ~vA e´ a velocidade de A e ~vB e´ a velocidade de B. Determine a
velocidade de A relativa a B se vA = 30 km/h sentido oeste, vB = 40 km/h sentido norte.
E. 6 . Um triaˆngulo e´ definido pelos ve´rtices de treˆs vetores, ~A, ~B e ~C, que extendem-se a partir da
origem. Em termos desses vetores, mostre que o vetor soma dos sucessivos lados do triaˆngulo
e´ nulo.
E. 7 . sabido que ~u×~v um vetor ortogonal (aqui, perpendicular) a ambos ~u e ~v. Considere um vetor
na˜o nulo, ~w, e mostre que o produto vetorial ~w × (~u× ~v) ortogonal a ~u× ~v.
E. 8 . Use o resultado da questa˜o anterior para mostrar que ~w×(~u×~v) pode ser escrito como p ~u+q ~v,
em que p e q sa˜o constantes reais. Ou seja, o produto ~w × (~u × ~v) uma combinc¸a˜o linear dos
vetores ~u e ~v . Determine p e q.
E. 9 . Os vetores ~u e ~v formam com os eixos x, y e z aˆngulos α1, β1, γ1 e α2, β2, γ2. Determine o
aˆngulo entre estes vetores em termos destes aˆngulos.
E. 10 . Dados os vetores ~v = (2, −1, −1) e ~w = (3, −4, 2) em R3. Calcule:
(a) ~v + ~w
(b) ~v − ~w
(c) 3~v + α ~w
(d) ~v − 3 ~w
E. 11 . Use os dados acima para obter os vetores unita´rios de ~v e ~w e dos resultados (a) - (d).
1