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Aula 5 1. Existência e Unicidade Até aqui, estivemos interessados apenas em desenvolver técnicas que nos permitam resolver certos problemas de valor inicial. Seria interessante, no entanto, termos a priori alguma garantia de que uma solução existe, e caso exista, se é única. É claro que não vamos querer, por exemplo, dedicar esforços a resolver um problema que não tenha solução. O Teorema seguinte nos dá condições suficientes para que tenhamos existência e unicidade de soluções: Teorema de Existência e Unicidade Suponha que as funções e sejam contínuas em um retângulo R , contendo o ponto . Então, em algum intervalo contido em , existe uma solução única do problema de valor inicial Além disso, basta supor a continuidade de para garantir a existência de soluções do PVI, mas não a unicidade. Vamos entender o Teorema melhor aplicando-o em alguns exemplos: Exemplo 18: Vamos estudar existência e unicidade de soluções do PVI √ Aqui temos que a função √ , que é contínua sempre que . Logo, o Teorema de Existência e Unicidade garante que existem soluções para todo com . Além disso, temos que √ , que é contínua sempre que . Logo, qualquer que seja , sempre haverá solução única no ponto , pelo Teorema de Existência e Unicidade. Vejamos o que ocorre no ponto . Nesse caso, sabemos que existe uma solução, mas o Teorema não garante a unicidade! Vamos resolver a equação, que é de variáveis separáveis. Primeiramente, observe que a função constante é uma solução de equilíbrio. Em particular, é uma solução que satisfaz , logo já temos uma solução para o PVI. Separando as variáveis e integrando, obtemos ∫ √ ∫ Logo √ Como , obtemos , logo uma outra solução que satisfaz o PVI é √ . Note que isso não contraria o Teorema de Existência e Unicidade, já que a função NÃO é contínua em . Exemplo 19: Analise existência e unicidade de soluções para o PVI Aqui escrevemos . Essa função é contínua sempre que , logo temos garantida existência de soluções em todo ponto , com . Além disso, , que também é contínua sempre que . Logo, o Teorema de Existência e Unicidade nos garante existência de solução única para o PVI em todo ponto com . Vejamos agora o que ocorre para . Para isso, vamos resolver o PVI, cuja equação é de variáveis separáveis. Observe de antemão que a função constante é uma solução da EDO. Separando e integrando, temos Portanto a solução da EDO é Vamos primeiro analisar o que ocorre em pontos da forma , com . Como , temos que pela solução obtida acima, qualquer que seja a solução. Logo, não existem soluções passando por , com . E no ponto ? Nesse caso, observe que a solução acima é satisfeita qualquer que seja o valor da constante , pois ambos os lados da igualdade dão iguais a zero. Logo, qualquer função da forma é solução do PVI. Além dessas, a função identicamente nula também é solução do PVI. Assim, temos infinitas soluções que passam pelo ponto . O que observamos aqui também não contraria o Teorema de Existência e Unicidade, pois como vimos, NÃO é contínua em . Vamos agora dar uma ideia geral da demonstração do Teorema de Existência e Unicidade. Vamos usar o Método de Aproximações Sucessivas, de Picard. Vamos construir uma sequência de funções tal que e tal que se aproxima de uma solução do PVI quando . A primeira parte é mostrar que podemos escrever a expressão de um modo equivalente, da seguinte forma ∫ ( ) É claro que podemos fazer isso pela 2ª parte do Teorema Fundamental do Cálculo. Além disso, a função satisfaz o PVI, pois ∫ ( ) Novamente pelo Teorema Fundamental do Cálculo, agora pela primeira parte, podemos recuperar a equação original derivando a fórmula para . Assim, o método consiste em construir a seguinte sequência de funções: ∫ ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) Pode-se demonstrar que essa sequência converge para uma solução do PVI, e que essa solução é única. Vejamos como o método de Picard funciona em um exemplo: Exemplo 20: Usar o método de Picard para obter uma solução de Então ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ∫ ( ) ∫ ∫ ( ) Em geral, ( ) ( ) ( ) ( ) Lembre-se que Logo, Dissemos acima que o limite da sequência de funções que criamos é uma solução do PVI. Vejamos que isso ocorre de fato. Seja . Então, ( ) Além disso, . Logo, a solução obtida pelo método de Picard é .
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