Aula_17_Transformação e geometria do R2

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21/10/2013
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Professora: Jossana Ferreira
Transformação LinearTransformação Linear
Geometria do ℜ2
•Semelhança
•Rotações
•Projeções
•Cisalhamento
•Combinações
Modificações em vetores a partir de 
transformações lineares
•Semelhança (Expansão e contração)
•Considere u(x,y) ∈ ℜ2
•O vetor aumenta ou diminui de tamanho
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•Semelhança (Expansão contração)
0<K<1 K>1 K<0
•Semelhança (Expansão contração)
•Equação
x’=kx
y’=ky
•Matriz canônica






k
k
0
0
•Reflexão em torno do eixo x •Reflexão em torno do eixo x
•Equação
x’=x
y’=-y
•Matriz canônica






−10
01
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•Reflexão em torno do eixo y •Reflexão em torno do eixo y
•Equação
x’=-x
y’=y
•Matriz canônica





−
10
01
•Reflexão em torno da reta y=x •Reflexão em torno da reta y=x
•Equação
x’=y
y’=x
•Matriz canônica






01
10
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•Projeção ortogonal sobre o eixo x •Projeção ortogonal sobre o eixo x
•Equação
x’=x
y’=0
•Matriz canônica






00
01
•Projeção ortogonal sobre o eixo y •Projeção ortogonal sobre o eixo y
•Equação
x’=0
y’=y
•Matriz canônica






10
00
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•Rotação de um vetor por um ângulo θ •Rotação de um vetor por um ângulo θ
•Equação
x’=xcos(θ)-ysen(θ)
y’=xsen(θ)+ycos(θ)
•Matriz canônica





 −
)cos()(
)()cos(
θθ
θθ
sen
sen
•Cisalhamento de um fator k na direção X •Cisalhamento de um fator k na direção X
•Equação
x’= x + ky
y’= y
•Matriz canônica






10
1 k
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•Cisalhamento de um fator k na direção y •Cisalhamento de um fator k na direção y
•Equação
x’= x
y’= kx + y
•Matriz canônica






1
01
k
•Combinação de transformações lineares
•Aplicação de sequência de transformações a um 
determinado vetor
•Aplicação de T1 e em seguida T2.
( ) uuu →== 121212 TTTTTT ))(()( o 
1221 o o TTTT ≠
•Combinação de transformações lineares
•Exemplo: Composição de duas rotações 





 −
= )cos()(
)()cos(
11
11
1 θθ
θθ
sen
sen
T 




 −
= )cos()(
)()cos(
22
22
2 θθ
θθ
sen
sen
T
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•Combinação de transformações lineares
•Exemplo: Composição de duas rotações 





 −





 −
=== )cos()(
)()cos(
)cos()(
)()cos(
.T TT o T 11
11
11
22
22
22 θθ
θθ
θθ
θθ
sen
sen
sen
sen
T






+−+
−−−
= )cos()cos()()()()cos()cos()(
)cos()()()cos()()()cos()cos(
21212121
21212121
θθθθθθθθ
θθθθθθθθ
sensensensen
sensensensen
T






++
+−+
= )cos()(
)()cos(
2121
2121
θθθθ
θθθθ
sen
sen
T
•Combinação de transformações lineares
•Exemplo: Composição de duas transformações 
aplicada ao vetor (2,1): reflexão em torno da reta 
y=x e projeção ortogonal sobre o eixo x
u=(2,1)
Reflexão em torno da reta y=x 
Projeção ortogonal sobre o eixo x






=
01
10
1T






=
00
01
2T
u=(2,1)
Reflexão em torno da reta y=x 
Projeção ortogonal sobre o eixo x
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u=(2,1)
Reflexão em torno da reta y=x 
Projeção ortogonal sobre o eixo x






=











===
00
10
01
10
00
01
22 11 .T TT o TT






=











=
0
1
1
2
00
10)(uT
O que aconteceria se a ordem fosse invertida?
Exercício 1: Encontre a matriz canônica da transformação que 
resulta de uma rotação de 90 graus seguida de uma reflexão em 
torno da reta y=x.
Exercício 2: Encontre as coordenadas do vetor (-1,5) depois de 
aplicadas as seguintes operações:
i) Rotação de 180 graus
ii) reflexão em torno do eixo y
iii) Projeção ortogonal sobre o eixo y
Exercício 3: Encontre a matriz do cisalhamento na direção X que 
transforma o triângulo de vértices (0,0), (2,1) e (3,0) num triângulo 
retângulo com o ângulo reto na origem.
IMPORTANTE
•Saber manipular vetores no R2 utilizando 
Transformações Lineares, únicas ou combinadas
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jossana@ect.ufrn.br
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