Integral Indefinida e Aplicações

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INTEGRAL INDEFINIDA: 12/NOV/2013 
 
 
Definição 1: Uma função F(x) é chamada de primitiva da função f(x) no intervalo I se para 
todo x ∈ I, tem-se: F’(x) = f(x) 
 
Exemplo: Seja f(x)= x
3
, então F(x)=
4
x
4 é uma primitiva de f nos reais (R), pois F’(x)= x3 = f(x). 
Também, F(x) = 
4
x
4 +3 é uma primitiva de f em R, pois F’(x) = x3 = f(x). 
Portanto, toda e qualquer F(x) = 
c
4
x
4

, para todo cR é primitiva de f pois F’(x) = x3 = f(x). 
Proposição 1: Seja F uma primitiva da função f no intervalo I. Então, G(x) = F(x) + c, cR, 
também é uma primitiva de f no intervalo I. 
 
Proposição 2: Se F e G são primitivas de uma função f num intervalo I, então existe cR tal 
que G(x) = F(x) + c, para todo x ∈ I. 
 
Prova: Seja H(x) = F(x) − G(x) então, para todo xI, temos que: 
H’(x) = F’(x) – G’(x) = f(x) – f(x) = 0. 
Logo, através do Teorema do Valor Médio, sabemos que existe pelo menos um valor cI tal 
que H’(x=c) = 0  H(x)=c. Portanto, para todo xI tem-se: F(x) − G(x)=c. 
 
Definição 2: Seja F(x) uma primitiva da função f(x) no intervalo I. A expressão F(x) + c, com 
cR é chamada a integral indefinida da função f e é assim representada: 
 
f(x)(x)F' c F(x) dx f(x) 
 
 
NOTA: Se em particular F(x)=f(x) for a primitiva de f ’(x) então 
  c f(x) dx (x)' f
 
 
 
 
Teorema da Linearidade da Integral: Sejam F, G primitivas de f e g, respectivamente, num 
intervalo e , R. Então, F + G é uma primitiva de f + g. 
 
Prova: Se por hipótese, F e G são primitivas de f e g, respectivamente, então são válidas as 
seguintes relações: 



 g(x)=(x)G'
f(x)=(x)F' 
Por outro lado, sendo T=F uma função primitiva de t então T’(x)= t(x)=F’(x)=f(x). 
Conclusão: F é função primitiva de f. 
De modo análogo, G é função primitiva de g. 
Devemos agora avaliar o que acontece com a função primitiva V quando esta for dada por 
V=F + G. Se v=V’ então v=d(F + Gf + g. 
Conclusão: F + G é uma primitiva de f + g. 
 
 
 
O resultado do teorema da Linearidade do Integral nos permite constatar que: 
 
 
     
 
c βG(x) αF(x) g(x)dxβ f(x)dxα
βcαc βG(x) αF(x) βcβG(x)αcαF(x) βg(x)dx αf(x)dx
cG(x)β cF(x)α βg(x)dxαf(x)dx
cβG(x) αF(x) dx βg(x)αf(x)
 21 21
21




 
 


 
 
 
Com base no resultado no teorema da Linearidade do Integral podemos estabelecer as seguintes 
regras: 
 
 
REGRAS ALGÉBRICAS PARA INTEGRAÇÃO INDEFINIDA 
 
1. Regra da multiplicação por uma constante K: 
  f(x)dxK Kf(x)dx 
 
2. Regra da soma: 
     g(x)dxf(x)dxdxg(x)f(x)
 
3. Regra da diferença: 
     g(x)dxf(x)dxdxg(x)f(x)
 
 
 
REGRA PARA INTEGRAR FUNÇÕES COMUNS 
 
1. REGRA DA CONSTANTE: 
  c Kx Kdx 
 
2. REGRA DA POTÊNCIA: 
 


-1nqualquer para c, 
1n
x
 dx x
1 n 
n
 
3. REGRA DO LOGARÍTMO: 
  0qualquer x para c, xln dx x
1
 
4. REGRA DA EXPONENCIAL: 
  0Kx para c, eK
1
 dx e KxKx
 
 
Determine os integrais: 
 
1. 
 


  dx53x-8x-x2 235
 
2. 
 






 
dx
x
72xx3 
3. 
 


  dtte3 5t-
 
4. 
 


  dxe1
2
x
 
5. 
 dxe x
3
x2
 
 
– 000 –