Lista Exercícios Homomorfismos

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Álgebra I
Lista de exercícios - 4
(i) Prove os seguintes fatos:
(a) Não existe nenhum homomorfismo de aneis Zn → Z, para n > 1.
(b) A aplicação φ : Z3 → Z12
[k] 7→ [4k] é um homomorfismo de aneis. Calcule o núcleo
desse homomorfismo.
(c) A aplicação φ : C→ C\{0}
z 7→ exp(2piiz) não é um homomorfismo de aneis.
(d) A conjugação complexa é um isomorfismo do anel C nele mesmo.
(e) Se A um anel e a ∈ A, então φa : A→ A
b 7→ a · b é um homomorfismo de aneis.
Calcule o seu núcleo. Quando φ é um isomorfismo?
(f) A conjugação C : H→ H definida por (a+ bI + cJ + dK) 7→ (a− bI− cJ − dK)
sobre o anel dos quaterniões é um homomorfismo de aneis. C é um isomorfismo?
(ii) (Teorema do resto chines) Sejam Ii, i = {1, · · · ,m} uma família de ideais em um
anel A com unidade que são comaximais dois a dois então
(a) φa : A→ A/I1 × · · · × A/Im
a 7→ (a+ I1, · · · , a+ Im) é sobrejetor.
(b) Deduzir que A/(
⋂
i Ii) é isomorfo a A/I1 × · · · × A/Im.
(iii) Seja A um anel, S um subanel de A e I um ideal em A. Prove que S+ I = {s+ i/s ∈
S, i ∈ I} é um subanel de A que contem I, Prove que S ∩ I é um ideal em S. Prove
que φ : (S + I)/I → S(S ∩ I)
s+ I 7→ s+ (S ∩ I) é um isomorfismo.
(iv) Seja φ : A → B um homomorfismo de aneis. Seja J um ideal em B. Prove que
φ : A/φ−1(I) → B/I é injetor. Deduzir que se I é primo então φ−1(I) é também
primo.
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(v) Seja φ : A → B um homomorfismo de aneis. Seja J um ideal em B. Prove que se I
é maximal, φ−1(I) não é maximal, em geral.
(vi) Seja D um domínio, prove que existe um homomorfismo injetor i : D → Q, onde Q
é o corpo das frações de D.
(vii) Prove que K[x], para K corpo, é um domínio Euclideano com respeito a applicação
φ : K[x]→ Z
p(x) 7−→ gr(p(x)) se p(x) 6= 0 e − 1 se p(x) = 0
(viii) Prove que o anel dos inteiros de Gauss Z[i] é um domínio Euclidiano com respeito a
φ(a+ bi) = a2 + b2
(ix) Prove que, sobre um domínio E a existência da norma euclidiana é equivalente a
existência da aplicação ψ : E → N satisfazendo:
(a) Se a, b ∈ E\{0} e a|b, então ψ(a) ≤ ψ(b);
(b) Para todos a, b ∈ E, com b 6= 0, existem q, r ∈ E tais que a = bq + r e r = 0 ou
ψ(r) < ψ(b).
(x) (a) Prove que Z[
√−3] é um domínio Euclidiano.
(b) Prove que Z[
√−5], não é um domínio Euclidiano.
(xi) Considere os subsonjuntos I, J,K em Z[
√−1] dodos por
I = {a+ ib/a, b ∈ Z; a+ b ≡2 0}
J = {(x− y) + i(x+ y)/x, y ∈ Z}
K = {a+ ib/a, b ∈ Z; y ≡13 8y}
(a) Prove que I, J,K são ideais em Z[
√−1];
(b) Encontre um gerador de cada um deles.
(xii) Seja D um domínio de fatorização única e a, b, c ∈ D tais que ab = cn para um dado
n ∈ N. prove que existem x, y ∈ D tais que a = xn e b = yn.
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