Demostrar que la composición de homomorfismos de grupos es un homomorfismo.

Para demonstrar que a composição de homomorfismos de grupos é um homomorfismo, precisamos mostrar que preserva a estrutura de grupo. Sejam G, H e K grupos, e sejam f: G -> H e g: H -> K homomorfismos de grupos. Queremos mostrar que a composição g∘f: G -> K também é um homomorfismo de grupos. Para isso, devemos verificar duas propriedades: 1. Preservação da operação: Para todo par de elementos a, b em G, precisamos mostrar que (g∘f)(ab) = (g∘f)(a)(g∘f)(b). Podemos observar que (g∘f)(ab) = g(f(ab)) e (g∘f)(a)(g∘f)(b) = g(f(a))g(f(b)). Como f e g são homomorfismos de grupos, temos que f(ab) = f(a)f(b) e g(f(a)) = g(f(a)), portanto, (g∘f)(ab) = (g∘f)(a)(g∘f)(b), o que mostra a preservação da operação. 2. Preservação do elemento neutro: Precisamos mostrar que (g∘f)(eG) = eK, onde eG é o elemento neutro de G e eK é o elemento neutro de K. Podemos observar que (g∘f)(eG) = g(f(eG)). Como f e g são homomorfismos de grupos, temos que f(eG) = eH e g(eH) = eK, onde eH é o elemento neutro de H. Portanto, (g∘f)(eG) = g(f(eG)) = g(eH) = eK, o que mostra a preservação do elemento neutro. Assim, concluímos que a composição de homomorfismos de grupos é um homomorfismo de grupos.