Lista Exercícios Relações & Função de Euler

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Álgebra I
Lista de exercícios - 2
Exercício 1 :
(i) Seja Z[x] o conjunto dos polinômios em uma variável, com coeficientes em Z. Seja
p(x) =
∑
i aix
i ∈ Z[x]; definimos o grau de p(x), denotado gr(p(x)), como sendo
n ∈ N0 tal que ai = 0 para todo i > n. Mostre que
(1) a relação dada por p(x)ρq(x) se, e somente se, gr(p(x)) ≥ gr(q(x)), é uma
relação de ordem.
(2) ρ é total?
(ii) Em N×N definimos a relação: (a, b)ρ(c, d) se e somente se a+ d = c+ b. Mostre que
ρ é uma relação de equivalência.
iii) Mesma pergunta para a relação em Z × Z\0 dada por (a, b)ρ(c, d) se e somente, se
a · d = b · c.
Exercício 2 :
No conjunto Q+ dos números racionais positivos consideramos a relação ρ definida por
aρb se, e somente se, existe n ∈ N0 tal que 2n(a− b) ∈ Z.
prove que
• ρ é uma equivalência.
• se p é um número primo impar, então as classes de equivalência {1
p
}ρ, { 1p2}ρ, · · · , { 1pr }ρ, · · ·
(com r ∈ N) são distintas.
• Se p e q são dois primos distintos, para todo r, s ∈ N as duas classes { 1
pr
}ρ e { 1qs}ρ
são distintas.
1
As classes {1
2
}ρ, { 122}ρ, · · · , { 12r }ρ, · · · são distintas?
Exercício 3 :
Sejam (S,≤) Um conjunto parcialmente ordenado e R uma relação de equivalência em
S. No conjunto quociente S/R consideramos a relação σ definida por
[x]Rσ[y]R Se, e somente se, existem y¯ ∈ [y]R tal que a ≤ y¯ para todo a ∈ [x]R.
Prove que
• σ é anti-simetrica e transitiva.
• as seguintes afirmações são equivalentes:
– σ é reflexiva;
– para todo x ∈ S a classe [x]R admite uma máximo com respeito á relação ≤;
– para todo x, y ∈ S temos que [x]Rσ[y]R se para todo a ∈ [x]R existe b ∈ [y]R
tal que a ≤ b (b depende, eventualmente, de a).
Exercício 4 :
Seja X = {x = 2r3s|r, s ∈ N}; para x1, x2 ∈ X definimos x1 ≤ x2 se, e somente se,
existe n ∈ N tal que x2 = xn1 .
• Prove que (X,≤) é um conjunto ordenado, com ordem não total.
• Mostre que (X,≤) tem elementos minimais, mas não tem um mínimo.
• (X,≤) tem elementos maximais ?
• (X,≤) é uma cadeia ?
Exercício 5 :
• para n,m ∈ N mostre que φ(m ·n) = MDC(m,n) ·φ(MMC(n,m)), onde φ é a função
de Euler.
• Para S = {1, 2, · · · , n} monstre que os conjuntos Sd = {m ∈ S|MDC(m,n) = d},
para todo d que divide n, formam uma partição de S.
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• Calcule φ(1001), φ(5040). Verifíque que
– Se n é impar então φ(2n) = φ(n).
– Se n é par então φ(2n) = 2φ(n).
– φ(3n) = 3φ(n) se, e somente se, 3|n.
– φ(3n) = 2φ(n) se, e somente se, 3 - n.
• (Generalização da propriedade multiplicativa) Monstre que para todos inteiros positívos
m,n temos
φ(m) · φ(n) = φ(m · n)φ(d)
d
onde d = MCD(n,m)
• A Conjectura de Goldbach afirma que para todo inteiro positivo par k maior ou igual
a 4 temos que k = p1 + p2 onde p1, p2 são primos ímpares. Monstre que a conjetura é
equivalente a afirmação: para todo inteiro positivo par k maior ou igual a 4 existem
inteiros n1, n2 tais que k = φ(n1) + φ(n2).
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