algebra linear objetiva 29/07/2016

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03/08/2016 AVA UNIVIRTUS
http://univirtus­277877701.sa­east­1.elb.amazonaws.com/ava/web/#/ava/AvaliacaoUsuarioHistorico/83076/novo/1 1/9
Uma transformação linear de    em   é uma função 
 onde as equações que 
relacionam   e   são lineares. Uma 
transformação    é dita linear se e somente se 
 e   são válidas para quaisquer 
vetores u e v pertencentes a    e qualquer escalar c. A partir 
das transformações lineares é possível ampliar ou reduzir, 
rotacionar, refletir ou cisalhar imagens, entre outras 
transformações. Quando o objetivo é determinar a reflexão de 
um objeto em relação ao eixo x, a matriz transformação é 
dada por  .
Para realizar a transformação linear de um ponto A e, assim, 
gerar o ponto B, basta efetuar a multiplicação de A pela matriz 
transformação, ou seja, B=A.T. Sendo assim, dado o ponto A=
(3,6). Faça a respectiva reflexão do ponto A em relação ao 
eixo x.
A B=(­3,6)
B B=(3,­6)
Rn Rm
T(x1, x2, xn) = (w1, w2, wm)
w1, w2, . . . wm x1, x2, . . . xn
T = Rn− > Rm
T(u + v) = T(u) T(cv) = cT(v)
T = ( 1 0
0 −1
)
Você acertou!
ou equivalentemente,
B = ( 3 6 ) ( 1 0
0 −1
)
B = ( (3). (1) + (6). (0)
(3). (0) + (6). (−1)
)
B = ( 3 + 0
0 − 6
)
B = ( 3
−6
)
B = ( 3 −6 )
03/08/2016 AVA UNIVIRTUS
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C B=(3,­3)
D B=(6,­6)
E B=(9,­3)
Questão 2/10
O conjuto R ={(X, Y)/X   R e Y 
 R} é um espaço vetorial sob as operações (X , Y ) + (X , 
Y ) = (X +X , Y +Y ) e K(X, Y)=(KX, KY), onde K pertence 
aos reais.
                                           
                                                      PORQUE
O conjunto R ={(X, Y)/X   R e Y   R} satisfaz todos os 
axiomas de espaço vetorial sob a adição e multiplicação por 
escalar.
A As duas assertivas são verdadeiras e a
segunda afirmativa justifica e
complementa a primeira.
B As assertivas I e II são proposições
excludentes.
C A assertiva I é uma proposição falsa e a II é
verdadeira.
D A assertiva II contraria a ideia expressa na
assertiva I.
E As assertivas I e II são falsas.
Questão 3/10
Considere as matrizes   e 
2 ϵ ϵ
1 1 2
2 1 2 1 2
2 ϵ ϵ
Resolução:
O conjunto R ={(X, Y)/X   R e Y   R} é um
espaço vetorial, pois atende a todos os
axiomas de espaço vetorial.
2 ϵ ϵ
A =
∣
∣ 
∣
∣
6 5 −1
4 0 9
13 12 21
∣
∣ 
∣
∣
∣ ∣
03/08/2016 AVA UNIVIRTUS
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Calcule C=A.B
A
B
C
D
E
B =
∣
∣ 
∣
∣
2 −1 −4
3 3 1
0 −2 2
∣
∣ 
∣
∣
A =
∣
∣ 
∣
∣
12 −5 4
12 0 9
0 −24 42
∣
∣ 
∣
∣
A =
∣
∣ 
∣
∣
16 17 17
21 22 22
33 34 36
∣
∣ 
∣
∣
A =
∣
∣ 
∣
∣
22 13 −1
5 −3 3
6 6 7
∣
∣ 
∣
∣
A =
∣
∣ 
∣
∣
27 11 −21
8 −22 2
62 −19 2
∣
∣ 
∣
∣
C = A.B =
∣
∣ 
∣
∣
6 5 −1
4 0 9
13 12 21
∣
∣ 
∣
∣
.
∣
∣ 
∣
∣
2 −1 −4
3 3 1
0 −2 2
C =
∣
∣ ∣ ∣
∣
(6). (2) + (5). (3) + (−1). (0)
(4). (2) + (0). (3) + (9). (0)
(13). (2) + (12). (3) + (21). (0)
A =
∣
∣ 
∣
∣
27 11 −21
8 −22 2
62 −19 2
∣
∣ 
∣
∣
∣ ∣
03/08/2016 AVA UNIVIRTUS
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Questão 4/10
Considerando o conjunto P = {p(x)=a +a x+a x +...+a x } 
onde a , a , a ,..., a  são números reais.
I. P  é o conjunto dos polinômios de grau menor ou igual a n.
II. P  é um espaço vetorial.
III p(x)=0 pertenece a P .
IV P ={p(x)=a +a x+a x } com a , a , a  pertencentes aos 
reais é um subespaço de P .
São corretas apenas as afirmativas:
A I e II
B I, II e III
C III e IV
D I, II, III e IV
E I, II e IV
Questão 5/10
O método dos mínimos quadrados linear consiste em 
encontrar a reta y=ax+b que melhor se ajusta a um conjunto 
de pontos dados. Como na maioria das vezes o sistema Ax=d 
é sobredeterminado, é possivel multiplicar a equação por A , 
o que resulta em A .Ax=A .d . Uma determinada indútria 
automotiva teve nos 5 primeiros meses do ano as seguintes 
vendas de automóveis em milhares:
Mês Vendas (milhares)
A =
∣
∣ 
∣
∣
13 22 −10
4 6 4
41 −13 0
∣
∣ 
∣
∣
n 0 1 2 2 n n
0 1 2 n
n
n
n
2 0 1 2 2 0 1 2
n
Resolução:
P  o conjuto de todos os polinômios de grau menor ou igual a n é um espaço vetorial, pois satifaz
os axiomas de espaço vetorial. Sendo assim, p(x)=0 pertence a P
pois P  é um subconjunto de P  e satifaz as condições e subespaço vetorial.
n
2 n
T
T T
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1 22
2 29
3 27
4 33
5 31
Sabendo que A A =  , A d=  e que x= , 
encontre a equação da reta que melhor se ajusta aos dados.
A y=0,3x+3,33
B y=0,1x+1,1
C y=12,2x+10,3
D y=2,2x+21,8
E y=1,5x+20,5
Questão 6/10
Seja W o conjuto das matrizes quadradas de ordem 3 com 
elementos reais tais que todos os elementos da primeira linha 
são nulos.
I. Todo elemento u  W é dado por   
onde   para todo i,j=2,3.
II. Ku W para todo u W e para todo K R.
III. W não é um subespaço de M , o conjunto das matrizes 
quadradas de ordem 3 com elementos reais.
T ( 55 15
15 5
) T ( 448
142
) ( a
b
)
Para encotrarmos os valores de a e b,
basta resolvermos o sistema 
Donde
a=2,2 e b=21,8
Logo, y=2,2x+21,8
{ 55x + 15y = 448
15x + 5y = 142
ϵ u =
∣
∣ 
∣
∣
0 0 0
a21 a22 a23
a31 a32 a33
∣
∣ 
∣
∣
aijεR
ϵ ϵ ϵ
3
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São corretas apenas as afirmativas:
A I e II
B I e III
C II e III
D III
E I, II e III
Questão 7/10
Mariana e Leonardo foram a uma lanchonete no final de 
semana. Mariana comprou um sanduíche e dois sucos e 
pagou R$ 26,00. Leonardo consumio dois sanduíches e um 
suco, totalizando R$ 28,00. Ao chegarem em casa, os pais de 
Mariana perguntaram o preço do sanduíche , mas Mariana e 
Leonardo não souberam responder. No entanto, a mãe de 
Mariana, sabendo das quantidades consumidas 
individualmente e sabendo quanto cada um pagou, conseguiu 
calcular o preço do sanduíche.
Assinale a alternativa que contém o preço correto do 
sanduíche.
A R$ 7,00
B R$ 8,00
C R$ 9,00
D R$ 10,00
Você acertou!
Resolução: 
As afirmativas I e II são verdadeiras. A
afirmação III é falsa, pois W é um
subespaço de M .3
Resolução:
O sistema associado ao problema é dado
por:
03/08/2016 AVA UNIVIRTUS
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E R$ 11,00
Questão 8/10
O conjuto W={(x,y)   R /y=3x} é subespaço vetorial de R  sob 
as operações usuais de adição e multiplicação por escalar.
                                                                  PORQUE
Para u=(x , 3x ) e v=(x 3x ), u+v   W e Ku   W para todo K 
 R.
A As duas asserivas são veerdadeiras e a
segunda afirmativa justifica e complementa a
primeira.
B As assertivas I e II são proposições excludentes.
C A assertiva I é uma proposição falsa e a II é
verdadeira.
D A assertiva II contraria a ideia expressa na
assertiva I.
E As assertiva I e II são falsas.
Questão 9/10
Dois amigos foram a uma lanchonete. Um deles comprou dois 
onde x é o preço do sanduíche e y é o
preço do suco.
Resolvendo o sistema, temos que x=10 e
y=8. Logo, o sanduíche custou R$ 10,00.
x + 2y = 26
2x + y = 28
ϵ 2 2
1 1 2,  2 ϵ ϵ ϵ
Você acertou!
Resolução:
As duas afirmativas são verdadeiras, pois u+v=
(x +x , 3x +3x )=(x +x ,3(x +x )) 
W e Ku=K(x ,3x )= (Kx ,3(Kx ))  W. Logo,W é
subespaço vetorial de R .
1 2 1 2 1 2 1 2 ϵ
1 1 1 1 ϵ2
03/08/2016 AVA UNIVIRTUS
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sanduíches e dois sucos e pagou R$ 20,00. O outro comprou 
três sanduíches e um suco, totalizando R$ 22,00.
A partir dessas informações, determine o preço de cada 
saudíche e o preço de cada suco.
A O preço do sanduíche e R$ 6,00 e o preço do
suco é R$ 7,00.
B O preço do sanduíche e R$ 8,00 e o preço do
suco é R$ 6,00.
C O preço do sanduíche e R$ 6,00 e o preço
do suco é R$ 4,00.
D O preço do sanduíche é R$5,00 e o preço do
suco é R$4,00.
Denominando x o preço do sanduúche e y
o preço do suco, temos o seguinte sistema:
Logo,a matriz ampliada é:
?
Logo, x=6 e y=4.
Portanto, o preço do sanduíche é R$6,00 e
o preço do suco é R$ 4,00.
{ 2x + 2y = 20
3x + y = 22
∣
∣
∣
2 2 20
3 1 22
∣
∣
∣
L1 ← L1/2
∣
∣
∣
1 1 10
3 1 22
∣
∣
∣
L2 ← L2 − 3L1
∣
∣
∣
1 1 10
0 −2 −8
∣
∣
∣
L2 ← L2/(−2)
∣
∣
∣
1 1 10
0 1 4
∣
∣
∣
L1 ← L1 − L2
∣
∣
∣
1 0 6
0 1 4
∣
∣
∣
03/08/2016 AVA UNIVIRTUS
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E O preço do sanduíche é R$5,00 e o preço do
suco é R$6,00.
Questão 10/10
O conjuto R  sob as operaçãoes (a, b)+(c, d)=
(a+c, b+d) e k(a, b)=(ka, b) é um espaço vetorial.
                                                    PORQUE
O conjunto R  sob as operações (a, b)+(c, d)=
(a+c, b+d) e K(a, b)=(ka, b) satifaz os axiomas de espaço 
vetorial.
A As duas assertivas são verdadeiras e a segunda afirmativa
justifica e complementa a primeira.
B A assertiva I é uma proposição falsa e a II é verdadeira.
C As assertivas I e II são proposições excludentes.
D A assertiva II contraria a ideia expressa na assertiva I.
E As assertivas I e II são falsas.
2
2
Resolução:
As duas afirmativas são falsas. O conjuto
R  sob as operações (a, b)+(c, d)=(a+c, b+d) e k(a, b)=
(ka, b) não é um espaço vetorial, pois 
2
(α + β)μ ≠ αμ + βμ : (α + β)(a, b) = (αa + β
α(a, b) + β(a, b) = (αa, b) + (βa, b) = (αa + β