ATIVIDADES DE ALGEBRA LINEAR 1 - Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares

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Universidade Tecnolo´gica Federal
Campus de Corne´lio Proco´pio
Profo. Rafael Prado da Silva
MA64D-L41 - A´lgebra Linear 1
1a APS: Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares
1. Seja A =
(
2 x2
2x− 1 0
)
. Se A = At, determine o valor de x.
2. Considere as matrizes A =
 2 −3 −5−1 4 5
1 −3 −4
, B =
 −1 3 51 −3 −5
−1 3 5
 e C =
 2 −2 −4−1 3 4
1 −2 −3
.
a) Mostre que AB = BA = 0, AC = A e CA = C.
b) Use os resultados do item anterior para mostrar que ACB = CBA, A2−B2 = (A+B)(A−B)
e (A±B)2 = A2 + B2.
3. Se A =
(
3 −2
−4 3
)
, determine uma matriz B tal que B2 = A.
4. Determine o valor de k para que o sistema

−4x + 3y = 2
5x− 4y = 0
2x− y = k
tenha soluc¸a˜o.
5. Resolva e classifique os seguintes sistemas lineares. Se o sistema for poss´ıvel, determine seu grau
de liberdade.
a)

2x + 3y − 2z = 5
x− 2y + 3z = 2
4x− y + 4z = 1
b)

x + 2y + 3z = 3
2x + 3y + 8z = 4
3x + 2y + 17z = 1
c)

2x + 3y = 3
x− 2y = 5
3x + 2y = 7
d)

x + 5y + 4z − 13t = 3
3x− y + 2z + 5t = 2
2x + 2y + 3z − 4t = 1
e)

x + 2y + 2z = 2
3x− 2y − z = 5
2x− 5y + 3z = −4
x + 4y + 6z = 0
1
6. Chamamos de sistema homogeˆneo de n equac¸o˜es e m inco´gnitas aquele sistema cujos termos inde-
pendentes, bi, sa˜o todos nulos.
a) Um sistema homogeˆneo admite pelo menos uma soluc¸a˜o. Que soluc¸a˜o e´ essa?
b) Determine os valores de k ∈ R, tais que o sistema homogeˆneno

2x− 5y + 2z = 0
x + y + z = 0
2x + kz = 0
admita
uma soluc¸a˜o distinta da soluc¸a˜o apontada no item anterior.
7. Calcule det(A), sendo:
a) A =

3 −1 5 0
0 2 0 1
2 0 −1 3
1 1 2 0

b) A =
 2 0 −13 0 2
4 −3 7

8. Dada a matriz A =
 2 1 −30 2 1
5 1 3
, calcule:
a) adj(A)
b) det(A)
c) A−1
9. Calcule a inversa das seguintes matrizes
a) A =
[
3 5
1 2
]
b) B =
 −3 4 −50 1 2
3 −5 4

c) C =
 1 0 −22 −2 −2
−3 0 2

d) D =
 2 2 23 4 7
1 2 5

e) E =

1 0 0 0
2 1 0 0
3 2 1 0
4 3 2 1

2
10. Calcule o valor de k para que a matriz A =
[
2 3
6 k
]
seja invers´ıvel.
11. Dizemos que duas matrizes quadradas A e B sa˜o semelhantes se existe uma matriz P tal que
B = P−1AP . Mostre que, se A e B sa˜o semelhantes, enta˜o det(A) = det(B).
12. Utilizando a regra de Cramer, determine a soluc¸a˜o dos sistemas lineares:{
ax− 2by = c
3ax− 5by = 2c , onde ab 6= 0 e

3y + 2x = z + 1
3x + 2z = 8− 5y
3z − 1 = x− 2y
13. Uma maneira de codificar uma mensagem e´ atrave´s de multiplicac¸a˜o por matrizes. Vamos associar
as letras do alfabeto aos nu´meros, segundo a correspondeˆncia abaixo:
Suponhamos que a nossa mensagem seja ‘PUXA VIDA’. Podemos formar uma matriz 3X3 assim: P U XA − V
I D A
, que utilizando a correspondeˆncia nume´ria fica M =
 15 20 231 0 21
9 4 1
.
Agora, seja C uma matriz qualquer 3X3 invers´ıvel, como por exemplo: C =
 1 0 1−1 3 1
0 1 1
. Mul-
tiplicamos nossa matriz de mensagem por C, obtendo
MC =
 −5 83 581 21 22
5 13 14
 .
Transmitimos essa nova matriz (na pra´tica, envia-se a cadeia de nu´meros −5 83 58 1 21 22 5 13 14).
Quem recebe a mensagem decodifica-a atrave´s da multiplicac¸a˜o pela inversa ((MC)M−1 = M) e
posterior transcric¸a˜o dos nu´meros para as letras. A matriz C e´ chamada de matriz chave para o
co´digo.
a) Voceˆ recebeu a mensagem: −12 48 23 − 2 42 26 1 42 29. Utilizando a mesma matriz chave,
decifre a mensagem.
b) Um inimigo descobriu sua chave. O seu comandante manda voceˆ substituir a matriz chave por 1 1 −11 1 0
0 0 2
. Voceˆ transmite a mensagem ‘CRETINO..’ a ele (codificada naturalmente).
Por que na˜o sera´ poss´ıvel a ele decodificar a sua mensagem?
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