Prova de Cálculo Diferencial e Integral

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10/11/2010 Professor: Gustavo Hoepfner
SED PROVA 2
Nome: Turma: G Pontos:
Justifique todas as suas afirmac¸o˜es. Boa Prova!!!
Escolha, no ma´ximo, 12 pontos.
1. (2 pontos) Descreva o me´todo do fator integrante para equac¸o˜es diferenciais lineares de
primeira ordem.
2. (2 pontos) Considere o problema de valor inicial
dy
dx
= − x
4(y − 1) , y(0) = 2.
(a) Resolva o P. V. I. e desenhe o gra´fico da soluc¸a˜o.
(b) Determine o intervalo de validade da soluc¸a˜o.
(c) Fac¸a um esboc¸o das linhas iso´clinas e do campo de direc¸o˜es.
3. (2 pontos) Use o me´todo das aproximac¸o˜es sucessivas para resolver o problema de valor
inicial dado.
y′ = −(y + 1), y(0) = 0.
4. (2 pontos) Resolva a seguinte equac¸a˜o de Bernoulli.
y′ − 3
x
y = x4y1/3.
5. (2 pontos) Encontre uma soluc¸a˜o mais geral da seguinte equac¸a˜o de Ricatti:
dy
dx
+ xy2 − 2x2y + x3 = x + 1
sabendo que y1(x) = x− 1 e´ uma soluc¸a˜o particular.
6. (1 ponto) Encontre a soluc¸a˜o geral yc e a soluc¸a˜o singular ys da equac¸a˜o de Clairaut:
y = x
dy
dx
−
(
dy
dx
)3
.
7. (2 pontos) Prove que a equac¸a˜o diferencial
(x + 2) sin y dx + x cos y dy = 0
possui um fator integrante que depende apenas da varia´vel x. Em seguida, use tal fator
integrante para resolveˆ-la.
8. (1 ponto) Encontre as trajeto´rias ortogonais a`s circunfereˆncias
(x− c)2 + y2 = c2.