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AulaAula 08/0408/04
logaritmoslogaritmos
CCáálculolculo 11
Logaritmos
Expoentes desconhecidos
Devido a importância das aplicações práticas de 
crescimentos e descrescimentos, precisamos saber 
resolver equações do tipo:
ba x ====
Onde a e b são contantes
Equações onde se desconhece os expoentes, são
resolvidas usando logaritmos. 
Conhecemos o gráfico de e vemos se é
crescente ou decrescente. 
xay ====
Logaritmos
Resp.: Sabemos que 3101000 ====
ex. Como você resolve ?100010 ====x
31010 ====x
3====⇒⇒⇒⇒ x
4====⇒⇒⇒⇒ x
433 ====⇒⇒⇒⇒ x
122 ====⇒⇒⇒⇒====⇒⇒⇒⇒ xx
22 55 ====⇒⇒⇒⇒ x
Podemos usar o mesmo método para resolver:
ou 2552 ====x813 ====x
Logaritmos
Precisamos escrever 75 como uma potência de base 
10. 
Supondo que queremos resolver 7510 ====x
O exponte é chamado logaritmo ( ou log ) e 10 é a 
base .
Uma calculadora científica nos dá valor do 
logaritmo de 75 na base 10.
1,87510 10x ≈
O valor é ,1,875
8751 ⋅⋅⋅⋅≈≈≈≈⇒⇒⇒⇒ xOBS: Isto significa que, 75 está entre 10 e 
100 (ou ), então
x está entre 1 e 2.
1 210 e 10
Observe o botão
log
Logaritmos
Um logaritmo é um exponte.
Para resolver uma equação onde o índice é
desconhecido, nós podemos utilizar logarimtos.
ex. Resolva a equação , dando a resposta
correta com 3 casas decimais.
410 ====x
x é o logaritmo de 4 na base 10
4log410 10====⇒⇒⇒⇒==== xxEscrevemos
Em geral se
bx ====10 então bx 10log====
==== logexp
0,602=
Logaritmos
2,36x⇒ =
Solução:
10log 230x =
(b) 102 log 0,5x =
2 0,301x⇒ = − 0,15x⇒ = −
Exercícios
23010 ====x
Resolva as seguintes equações dando a resposta com duas
casas decimais.
(a) (b) 210 0 , 5x =
(a) ( Note que 2 3)x< <23010 ====x
Logaritmos
230log23010 10====⇒⇒⇒⇒==== xx
Generalizando isto,
No exercício anterior, vimos que
Esta relação nos permite transformar uma expressão
na forma de logaritmo para a forma exponencial.
bx ====10 bx 10log====⇒⇒⇒⇒
Logaritmos
bx ====10 bx 10log====⇒⇒⇒⇒
Logaritmos
bxbx 10log10 ====⇔⇔⇔⇔====
No exercício usamos a base 10, mas a definição nos
permite utilizar qualquer base, assim
bxba ax log====⇔⇔⇔⇔====
assim,
Base
Logaritmos
ba x ====A equação
Mas quando não podemos calcular na base 2 em
nossas calculadoras temos que resolver utilizando
outros artifícios.
Precisamos desenvolver algumas
propriedades de logs para poder resolver
uma variedade de equações com expoentes
ou logs desconhecidos.
Quando a base, a , é 10, resolvemos a equação
facilmente.
ex. Resolver a equação 27510 ====x
Solução: ⇒⇒⇒⇒==== 27510 x 275log10====x
2,44x =⇒⇒⇒⇒
52 ====xex. Para resolver , fazemos 5log 2====x
Logaritmos
2log2 10====
2log3 10====
2 0,301= ×
30103 ⋅⋅⋅⋅××××====
4log10====
8log10====
( na calculadora )
10
log 2 0,301=ex.
1a. propriedade ka xlog
2
10 2logTambém
3
10 2loge,
0,602= ( na calculadora )
0,903= ( na calculadora )
Logaritmos
2log2 10====
2log3 10====
2 0,301= ×
30103 ⋅⋅⋅⋅××××====
4log10====
8log10====
( na calculadora )
10
log 2 0,301=ex.
1a. propriedade ka xlog
2
10 2logTambém
3
10 2loge,
0,602= ( na calculadora )
0,903= ( na calculadora )
2log2 10====
2log3 10====
3
10 2log
2
10 2log
Então:
xkx k 1010 loglog ====
Logaritmos
xkx aka loglog ====
1a. Propriedade ka xlog
Logaritmos
Resolvendo
x
a b=
2 5x =ex.1 Resolva
Solução: 52 ====x
2log
5log
10
10
====x
2,32=
5log2log 1010 ====x⇒⇒⇒⇒
Aplicando log
( Note que 2 < x < 3 pois ) 2 32 4 2 8e= =
5log2log 1010 ====
x
Usamos base 10, pois temos estes valores na
calculadora. No entanto, podemos usar qualquer
base. Você pode comprovar isto usando ln (logaritmo
neperiano).
Usando a 1a. propriedade, podemos simplificar:
Logaritmos
x)3(1001000 ====ex.2 Resolva a equação
Usando a 1a. propriedade:
x====
3log
10log
2,10x⇒ =
x3log10log ====
⇒⇒⇒⇒==== x)3(1001000 x310 ====
Divide por 100:
Aplicando log:
3log10log x====
Logaritmos
Exercícios
143 ====x
14log3log 1010 ====x
1. Resolva as seguintes equações com duas casas
decimais.
(a) (b) 15122 ====x
10
10
log 14 2,40
log 3
x⇒ = =
(a) Aplicando log:
14log3log 1010 ====⇒⇒⇒⇒ x
10
10
log 152 1,0898
log 12
x⇒ = =
(b) 15log12log 10
2
10 ====
xAplicando log:
15log12log2 1010 ====⇒⇒⇒⇒ x
0,54x⇒ =
Logaritmos
2. Resolva a equação dando a resposta
correta com duas casas decimais.
x)2(200500 ====
Solução: Divide por 200:
500 200(2) 2,5 2x x= ⇒ =
x2log52log ====⋅⋅⋅⋅Aplicando logs:
1a propriedade: log 2,5 log 2x=
log 2,5
log 2
x=
1,32x⇒ =
Logaritmos
6443 ====
ex. Escreva as expressões na forma logarítmica:
279 2
3
====(a) (b)
⇒⇒⇒⇒==== 6443 (a) 64log3 4====
27log92
3
====⇒⇒⇒⇒
ex. Escreva na forma de potência as sentenças
seguintes: 481log 3 ==== 2
1
4 2log ====(a) (b)
Solução: (a) 481log3 ==== 8134 ====⇒⇒⇒⇒
24 2
1
====⇒⇒⇒⇒
279 2
3
====(b)
2
1
4 2log ====(b)
O exponte, 3, é o log de 64 na base 4.
Solução: bxba ax log====⇔⇔⇔⇔====
Logaritmos
Alguns logs podem ser simplificados.
Simplificando logs
9log 3Ex. 1 Simplifique
239 ====
Este log pode ser simplificado, usando base 3.
Assim, 9log 3
2
3 3log====
2==== Então o log é o exponte!
ka ka ====logEm geral,
Logaritmos
Simplificando Logs
4
2 2log====
16log2ex. 2. Simplifique (a) (b) 





3
1log9










====
2
1
9
1log9
2
1
9log9
−−−−
==== 2
1
−−−−====
(b) 





3
1log9
16log2Solução: (a)
4====








====
9
1log9
Logaritmos
100log10
1. Simplifique:
(a) (b)
2
10 10log====
5log5 (((( ))))812log(c) (d)
64log4
Solução (a) 100log10
2====
(b) 64log4
)4(log 34====
3====
(c) 5log5
2
1
5log5====
2
1
====
(((( ))))812log(d) 





==== 32 2
1log
3
2 2log
−−−−
==== 3−−−−====
Exercícios
Logaritmos
Existem alguns casos especiais que partem das
definições de logs.
Fazendo x = 0,
1o. Caso especial
bxba ax log====⇔⇔⇔⇔====
⇒⇒⇒⇒==== ba 0 1====b
Assim, 1log010 aa ====⇔⇔⇔⇔====
Pelas potências:
para qualquer base.01log ====a
Logaritmos
Fazendo b = a,
x = 1
ax alog====aa x ==== ⇔⇔⇔⇔Então
2o. Caso especial
bxba ax log====⇔⇔⇔⇔====
Logaritmos
aa x ====
Fazendo b = a,
x = 1
⇔⇔⇔⇔ 1Então aalog====
Assim, 1log ====aa
2o. Caso especial
bxba ax log====⇔⇔⇔⇔====
Logaritmos
Resumindo
bxba ax log====⇔⇔⇔⇔====
1log ====aa
� Propriedades
� Definição
01log ====a
ka ka ====log
Logaritmos
1. Simplifique:
4log4
1910log10
b
a alog
(a)
(c)
(b) 1log2
(d)
(a) 1Resp: (b) 0
(c) 19 (d) b
Exercícios
Logaritmos
Propriedades da Multiplicação e 
divisão de logs
Logaritmos
2642 ××××⇒⇒⇒⇒ 1,623 1,41510 10= ×
10922642 ====××××
3,038====×××× )2642(log10⇒⇒⇒⇒
1,623 1,41510 +=
3,03810=
====42log 10 ====26log 10e 1 , 4151,623
)1092( ====
Então, )2642(log 10 ×××× ====
Logaritmos
==== 42log 10 ++++
2642 ××××⇒⇒⇒⇒ 1,623 1,41510 10= ×
10922642 ====××××
3,038====×××× )2642(log10⇒⇒⇒⇒
1,623 1,41510 +=
3,03810=
====42log 10 ====26log 10e 1 , 4151,623
)1092( ====
Então, )2642(log 10 ×××× ==== 26log 10
yxxy 101010 loglog)(log ++++====Em geral,
Logaritmos
Esta propriedade é válida para qualquer base, assim:
yxxy aaa loglog)(log++++====
De maneira similar para a divisão:
yx
y
x
aaa logloglog −−−−====





Logaritmos
Resumo
yxxy aaa logloglog ++++====
yx
y
x
aaa logloglog −−−−====
� Propriedades:
xkx aka loglog ====
• 1. Multiplicação
• 2. Divisão
• 3. Potência
� Definição:
bxba ax log====⇔⇔⇔⇔====
01log ====a4. 1log ====aa5.
ka ka ====log6.
Logaritmos
15log(a) 53log ××××==== 5log3log ++++==== ( 1 )
(b) 16log 42log==== 2log4==== (3 )
(c) 1a. forma 





3
1log 3log1log −−−−==== ( 2 )
3log0 −−−−==== ( 4 )
3log−−−−====
Solução:
ex. 1 Escreva as expressões a seguir em forma de:
5log3log,2log and
15log(a) (b) 16log (c) 





3
1log
Ou 





3
1log 13log −−−−====
3log−−−−==== (3 )
Logaritmos
ex. 2 Expresse em termos de e )log( 2ba blogalog
2loglog ba ++++
ba log2log ++++====
Solução:
====)log( 2baEntão, ( 1 )
( 3 )
Logaritmos





 ××××
====
3
25log






====
3
10log
125log4log2 102
1
10 ++++−−−−(b) 
10log25log4log 1010210 2
1
++++−−−−====










××××
====
2
1
25
104log
2
10 




 ××××
====
5
1016log10
2
32log10====
ex. 3 Expresse na forma mais simples os logs a 
seguir: 
3log2log5log −−−−++++(a) 125log4log2 102
1
10 ++++−−−−(b) 
Solução: (a) 3log2log5log −−−−++++
5
10 2log 2log5 10====
1
Logaritmos
Exercícios
1. Expresse as expressões na forma de 5log3log,2log and
25log(a) (b) (c) 
10
1log
3. Simplifique as expressões: 
5log2log3log ++++−−−−(a) 116log2log3 102
1
10 −−−−++++(b) 
R: (a) 5log2 3log2log ++++(b) 
6log
(c) 5log2log −−−−−−−−
R:
2
15log(a) (b) 
5
16log10
2. Expresse em termos de ealog blogba 2log
R: ba loglog2 ++++