P2 CálculoIIIA 2016 1 - P.Guarino

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Universidade Federal Fluminense – UFF
Instituto de Matema´tica e Estat´ıstica – IME
Departamento de Matema´tica Aplicada – GMA
Professor Pablo Guarino
2a¯ prova de Ca´lculo III A (2016-1) - 28/07/2016
Questa˜o Pontos Notas
1 2
2 2
3 3
4 3
Total 10
Nome:
Observac¸o˜es: A interpretac¸a˜o das questo˜es faz parte dos crite´rios de avaliac¸a˜o desta prova. Responda cada questa˜o
de maneira clara e organizada. Resultados apresentados sem justificativas do racioc´ınio na˜o sera˜o considerados.
Qualquer aluno pego consultando alguma fonte ou colega tera´, imediatamente, atribu´ıdo grau zero na prova. O
mesmo ocorrera´ com o aluno que facilitar a consulta do colega. Na˜o e´ permitido sair da sala durante a prova. Na˜o
e´ permitido o uso de calculadora. O celular deve estar desligado e guardado.
Observac¸a˜o: Se for necessa´rio em alguma questa˜o, lembre-se que cos2 x =
1
2
(
1 + cos(2x)
) ∀x ∈ R.
Questa˜o 1 (2 pontos)
Considere o campo de vetores X em R3 dado por X(x, y, z) = (−y3, x3,−z3). Calcule ∫
γ
X dr,
onde a curva γ e´ obtida da intersec¸a˜o das superf´ıcies x2 + y2 = 1 e x + y + z = 1, orientada no
sentido antihora´rio quando vista de cima.
Questa˜o 2 (2 pontos)
Dada uma func¸a˜o f : [a, b] → (0,+∞) de classe C1, mostre que a a´rea da superf´ıcie S em R3
obtida ao girarmos o gra´fico de y = f(x) ao redor do eixo x, e´ dada por:
A(S) = 2pi
∫ b
a
∣∣f(x)∣∣√1 + [f ′(x)]2 dx .
Questa˜o 3 (3 pontos)
Considere o campo de vetores X em R3 dado por X(x, y, z) = (3y,−xz,−yz2), e seja S a parte
da superf´ıcie 2z = x2 + y2 que fica embaixo do plano z = 2, orientada com a normal apontando
para baixo. Verifique o Teorema de Stokes, calculando as duas integrais do enunciado.
Questa˜o 4 (3 pontos)
Seja S a esfera unita´ria em R3, isto e´, o conjunto dos pontos (x, y, z) ∈ R3 que satisfazem a
equac¸a˜o x2 + y2 + z2 = 1.
(a) Calcule a a´rea da esfera que fica contida dentro do cone z ≥√x2 + y2 .
(b) Calcule
∫∫
S
〈X, η〉 dS , onde o campo de vetores X e´ dado por X(x, y, z) = (3xy2, 3x2y, z3) ,
e η e´ o campo normal unita´rio exterior a` superf´ıcie S.