Funções de duas variaveis - Derivadas Parciais 02

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Funções de Várias Variáveis Funções de Várias Variáveis --
Derivadas ParciaisDerivadas Parciais
Profa. Alyne Toscano Martins
Derivadas ParciaisDerivadas Parciais
Seja f: D C R2→R uma função de duas variáveis e (x0,y0) um 
ponto do domínio de fponto do domínio de f.
Fixado y0 temos que f(x, y0) é uma função de uma variável.
E l f( ) 7 2+3 3+5Exemplo: f(x,y)= 7x2+3y3+5xy.
Fixemos y=2. Logo g(x)=f(x,2)= 7x2+24+10x
Da mesma forma, fixado x0 temos que h(y)= f(x0,y) é uma função de 
uma variável
onde
Pela definição de derivada temos
E assim, a equação 1 se torna:
DEFINIÇÃO
NOTAÇÕES PARA DERIVADAS PARCIAIS
REGRA PARA DETERMINAR AS DERIVADAS PARCIAIS DE z= f(x,y)
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DAS DERIVADAS PARCIAIS
Lembremo-nos que a equação z=f(x,y) representa uma superfície S.
S f( ) ( ) fí SSe f(a,b)=c então o ponto (a,b,c) pertence a superfície S.
• Fixando y=b, restringimos nossa atenção a curva C1, na qual o plano 
vertical y=b intercepta S.
• Da mesma forma, o plano vertical x=a intercepta S na curva C2.
•As curvas C1 e C2 passam pelo ponto P.
• Observe que a curva C1 é o gráfico da função g(x)=f(x,b), de modo que a 
inclinação da tangente T1 em P é g’(a)=fx(a,b).
• A curva C2 é o gráfico da função h(y)=f(a,y), de modo que a inclinação da 
tangente T1 em P é h’(a)=fy(a,b).
• Então as derivadas parciais fx(a,b) e fy(a,b) podem ser interpretadas 
geometricamente como as inclinações das retas tangentes em P(a,b,c) aos 
cortes C1 e C2 de S nos planos y=b e x=a.
Exemplo 8:
OBSERVAÇÃO
9
FUNÇÕES DE MAIS DE DUAS VARIÁVEIS
Derivadas Parciais de OrdemDerivadas Parciais de Ordem SuperiorSuperior
TEOREMA DE CLAIRAUT (ou TEOREMA DE SCHWARZ)
TEOREMA:
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS
Planos Tangentes e Aproximações LinearesPlanos Tangentes e Aproximações Lineares
em que A, B e C são as coordenadas do vetor normal ao plano
Plano Tangente
Exemplo 1:
APROXIMAÇÃO LINEAR
TAREFA
DIFERENCIABILIDADE
Já discutimos o incremento de uma função de uma única variável. 
L b f f f d i á l d f( )Lembremos que se f for uma função derivável de x e y=f(x)
Se f é diferenciável em a:
Isso quer dizer
OTEOREMA
TEOREMA
TEOREMA
Do Cálculo de uma variável sabemos que:
"Se uma função f:R→R é diferenciável em um ponto x0 do seu domínio 
então f é contínua no ponto x0."
No Cálculo de Várias Variáveis isso nem sempre é verdade
"S f ã f D R2→R t d i d i i ( ) ã"Se uma função f:D⊂R2→R tem derivadas parciais em (x0,y0) não 
implica que f é contínua em (x0,y0)."
OBS 1: Uma função f:D⊂R2→R é de classe C1 se as derivadas parciais fx
f i t ã tí D O j f é d l C1 tã f ée fy existem e são contínuas em D. Ou seja, se f é de classe C1 então f é 
diferenciável.
OBS 2: Observe que para uma função de uma variávável a existência da 
derivada e a diferenciabilidade são equivalentes, o que NÃO acontece q q
para funções de DUAS OU MAIS VARIÁVEIS.
Por esse motivo, não é rigorosamente correto usar o termo “diferenciar” 
no lugar de “derivar”, embora isso seja comum.
DIFERENCIAIS
(*)
[Compare com a equação do diferencial das funções de uma variável 
(slide anterior) ] Algumas vezes a notação df é usada no lugar de dz(slide anterior).] Algumas vezes a notação df é usada no lugar de dz.
(*)
dz
TAREFA:TAREFA:
FUNÇÕES DE TRÊS OU MAIS VARIÁVEIS
Regra da CadeiaRegra da Cadeia
Para as funções de várias variáveis, a Regra da Cadeia tem muitas 
versões, cada uma delas fornecendo uma regra de derivação de uma g ç
função composta.Estamos admitindo que f seja diferenciável, isto é que 
fx e fy sejam contínuas.
TEOREMA 1:
REGRA DA CADEIA (CASO I)
de diferenciabilidade temosde diferenciabilidade temos
OBS: dado acima é chamado de derivada total de z em relação
a t.
anterior obtemos:
TEOREMA 2:
REGRA DA CADEIA (CASO II)
(ou diagrama de árvore).
TEOREMA 3:
REGRA DA CADEIA (VERSÃO GERAL)
Funções Implícitas Funções Implícitas -- DerivaçãoDerivação
Suponhamos que a equação da forma F(x,y) = 0 defina y implicitamente 
como uma função diferenciável de x, ou seja, y=f(x), onde F(x,y(x))=0.
f(x)f(x)
y2 - 2yx + x2 - 1=0
4
a seguir
A f f( ) ã d fi f ã d iA funcao f(x,y) = sen x – sen y não define y como função de x nem vice-
versa.
Vamos assumir
Vamos ver como encontrar a derivada dessa função y=f(x). Vamos ver como encontrar a derivada dessa função y=f(x)
dada implicitamente.
Considere novamente a equação da forma F(x,y)=0 que define y q ç ( ,y) q y
implicitamente como uma função diferenciável de x, isto é F(x,f(x))=0. Se Fé 
diferenciável, podemos aplicar o Caso I da Regra da Cadeia para derivar 
ambos os lados da equação F(x,y)=0 com relação a x. Como x e y são ambas 
funções de x, obtemos:
MasMas
e
Portanto essa equação de torna
abaixo
acima.
P l í i 45 47 d 846 dPor exemplo, agora os exercícios 45-47 da pag. 846 podem ser 
resolvidos por essas fórmulas.
Derivada DirecionalDerivada Direcional
A Figura ao lado mostra uma mapa deA Figura ao lado mostra uma mapa de 
contorno da função temperatura para os 
estados da Califórnia e Nevada às 15hs em 
um dia de Outubroum dia de Outubro.
• A derivada parcial Tx em um local como 
Reno, é a taxa de variação da temperatura 
l à di â icom relação à distância se nos movemos 
para o leste a partir de Reno.
• Ty é a taxa de variação da temperatura y ç p
com relação à distância se nos movemos 
para o norte.
E se quisermos saber a taxa de variação da temperatura quando viajamos 
para sudoeste ou para alguma outra direção??
Veremos agora a DERIVADA DIRECIONAL que nos permite encontrar a 
taxa de variação de uma função de duas ou mais variáveis em qualquer 
direção.
O plano vertical que passa por P 
na direção de u intercepta S em 
C A i li ã d tuma curva C. A inclinação da reta 
tangente T em C é a taxa de 
variação de z na direção de u.
DEFINIÇÃO
TEOREMA
EXEMPLO 1:
VETOR GRADIENTE
O primeiro vetor no produto escalar ocorre não somente em derivadas direcionais, mas 
também em muitas outras situações e por isso ele recebe um nome especial: “o vetor ç p p
gradiente de f”.
Com a notação de gradiente podemos reescrever a expressão para derivada 
direcional dada no TEOREMA como:
EXEMPLO 3:
FUNÇÕES DE TRÊS OU MAIS VARIÁVEIS
ouou
MAXIMIZANDO A DERIVADA DIRECIONAL
TEOREMA:
Dem: Temos
O j i i ã d f di ã d t di t i t• Ou seja, a maior variação de f ocorre na direção do vetor gradiente, isto 
é, o maior crescimento de f ocorre na direção do gradiente.
• Logo a taxa máxima de variação ocorre no gradiente de f aplicado no 
ponto de partidaponto de partida.
• “ESTANDO EM UM PONTO P(x0,y0) A DIREÇÃO E O SENTIDO EM 
QUE F CRESCE MAIS RAPIDAMENTE É A DO VETOR GRADIENTE.
Este é um dos resultados mais importantes dessa teoria!!
EXEMPLO 5:
FUNÇÕES VETORIAIS E CURVAS ESPACIAIS 
(SEÇÃO 13.1 – STEWART)
Essas equações
PLANOS TANGENTES ÀS SUPERFÍCIES DE NÍVEL
(*)
(*)
(**)
(**)
(***)(***)
Assim
OBS: Note que o vetor gradiente é perpendicular à superfície de nível.
suas equações simétricas sãosuas equações simétricas são
Logo a equação do plano tangente para superfícies de funções de três 
variáveis, se torna:
que é a equação do plano tangente já vista por nós.
EXEMPLO:EXEMPLO:
IMPORTÂNCIA DO VETOR GRADIENTE
Parabolóide Hiperbólico
Valores Máximo e MínimoValores Máximo e Mínimo
Olhe os picos e os vales do gráfico 
da f mostrado na figura
máximo 
absoluto
máximo da f mostrado na figura.
• Existem dois pontos da forma (a,b) 
nos quais ftem um máximo local, 
local
q ,
ou seja, onde f(a,b) é maior que os 
valores próximos de f(x,y). O maior 
destes valores é o máximo mínimo 
localmínimo absoluto.
• Existem dois pontos da forma (a b) nos quais f tem um mínimo local
localmínimo 
absoluto
• Existem dois pontos da forma (a,b) nos quais f tem um mínimo local, 
ou seja, onde f(a,b) é menor que os valores próximos de f(x,y). O 
menor destes valores é o máximo absoluto.
DEFINIÇÃO
1))
2) Uma função de duas variáveis tem um mínimo local em (a,b) se
quando (x,y) está próximo de (a,b). O número 
f(a,b) é chamado valor mínimo local.
3) das definições dadas em 1) e 2)
OBS:OBS:
TEOREMA:
OBSERVAÇÕES:
1)1)
2)
EXEMPLO 1:
Parabolóide 
Elíptico
EXEMPLO 2:
Perto da origem o gráfico tem 
o formato de uma sela e poro formato de uma sela e por 
isso (0,0) é chamado ponto 
de sela. 
Teste da Derivada Segunda
OBS 1OBS 1:
OBS 2:OBS 2:
OBS 3:
EXEMPLO 3:
Valores Máximo e Mínimo AbsolutosValores Máximo e Mínimo Absolutos
Conjuntos Fechados Conjuntos que não são fechadosj j q
Teorema do Valor Extremo para as Funções de Duas Variáveis
Para achar os pontos extremos, cuja existência é dada pelo Teorema acima p j p
observamos que se f tem um valor extremo em (x1,y1), então (x1,y1) ou é um 
ponto crítico de f ou um ponto de fronteira de D. Portanto temos a seguinte 
extensão do Método dos Intervalos Fechados.
EXEMPLO 6:
EXEMPLO 7:
TAREFATAREFA
Multiplicadores de Multiplicadores de LagrangeLagrange
• Em um exemplo feito anteriormente maximizamos a função volume 
V=xyz sujeita à restrição 2xz+2yz+xy=12. 
• Será apresentado agora o método de Lagrange para maximizar uma 
função genérica f(x,y,z) sujeita a uma restrição (ou vínculo) da forma 
g(x,y,z).g(x,y,z). 
• Problemas dessa forma são chamados de problema com extremos com 
restrições (ou condicionados ou vinculados).ç ( )
• Um problema de encontrar os extremos de uma função que não 
apresenta restrições é chamado de problema com extremos livres.
Vamos tentar determinar os valores extremos de f(x,y) sujeita a uma
restrição da forma g(x,y)=k. Em outras palavras, queremos achar os
valores extremos de f(x,y) quando o ponto (x,y) pertence a curva de nívelvalores extremos de f(x,y) quando o ponto (x,y) pertence a curva de nível
g(x,y)=k.
Maximizar f(x,y) sujeita a g(x,y)=k é ( y) j g( y)
achar qual o valor de c tal que a curva
de nível f(x,y)=c intercepte g(x,y)=k. 
Isso acontece quando essas duas
curvas se tocam, ou seja, quando
essas curvas tem uma reta tangente
em comum, caso contrário poderíamos
aumentar o valor de c.
Isso significa que as retas normais ao ponto (x y ) onde as duas curvasIsso significa que as retas normais ao ponto (x0,y0) onde as duas curvas
se tocam devem ser as mesmas. Logo, os vetores gradientes são
paralelos, ou seja, para algum escalar
EXEMPLO 2:
EXEMPLO 3:
DUAS RESTRIÇÕES
í lvínculos
essaessa
EXEMPLO 5:
Obtenção de uma função a partir de Obtenção de uma função a partir de 
di t dif i l tdi t dif i l tseu gradiente e diferencial exataseu gradiente e diferencial exata
((LeitholdLeithold –– VolVol 2 2 –– Seção 17.6)Seção 17.6)
O primeiro objetivo desta seção é encontrar a função f se for 
conhecido seu gradiente. Isto é, temos
e queremos encontrar f(x,y).
.
Vejamos a seguir uma condição para que um vetor defina um 
vetor gradiente de uma função f.
TEOREMA 1:
DEFINIÇÃO 1:DEFINIÇÃO 1:
TEOREMA 2:
Este Teorema pode ser estendido para funções de três variáveis.p p ç
TEOREMA 3:
TEOREMA 4: