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Cálculo B Lista de Exercícios 3 1° semestre de 2015 – Prof. Claudio H. Asano 0.1 Integral Indefinida por Partes 0.1 Utilize integração por partes para calcular as integrais. (a) ∫ xex dx Resp: xex − ex + C (b) ∫ xe2x dx Resp: xe 2x 2 − e2x 4 + C (c) ∫ (2x+ 1)ex dx Resp: (2x− 1)ex + C (d) ∫ x2ex dx Resp: x2ex − 2xex + 2ex + C 0.2 Determine as integrais a seguir usando integração por partes. (a) ∫ x cos x dx Resp: x senx+ cosx+ C (b) ∫ x sen x dx Resp: −x cosx+ senx+ C (c) ∫ (2x+ 1) cos(2x) dx Resp: 12 ( (2x+1) sen(2x)+cos(2x) ) + C (d) ∫ (x− 3) sen(3x) dx Resp: 13(3− x) cos(3x) + sen(3x) 9 0.3 Utilize integração por partes repetidas vezes para calcular as integrais. (a) ∫ x2e2x dx Resp: ( x2 2 − x 2 + 1 4 ) e2x + C (b) ∫ x2e3x dx Resp: ( x2 3 − 2x 9 + 2 27 ) e3x + C (c) ∫ x2 cos x dx Resp: (x2 − 2) senx+ 2x cosx+ C (d) ∫ x3 sen x dx Resp: (−x3 + 6x) cosx + (3x2 − 6) senx+ C (e) ∫ x3 cos(2x) dx Resp: ( x3 2 − 3x 4 ) sen(2x) + ( 3x2 4 − 3 8 ) cos(2x) + C (f) ∫ x2 sen(3x) dx Resp: ( − x 2 3 + 2 27 ) cos(3x) + 2x 9 sen(3x) + C 0.4 Utilize integração por partes duas vezes na integral I = ∫ ex cos x dx e constate que I aparece novamente na expressão. Em seguida isole I para encontrar a integral. Resp: ex(senx+cosx) 2 0.5 Utilize a técnica da integração por partes para calcular a integral dada. (a) ∫ ex sen x dx Resp: ex(senx−cosx) 2 (b) ∫ e2x cos(3x) dx Resp: e 2x 13 ( 3 sen(3x) + 2 cos(3x) ) + C 0.6 Calcule as integrais a seguir utilizando integração por partes duas vezes. (a) ∫ sen(5x)e3x dx Resp: ( 3 sen(5x)− 5 cos(5x) ) e3x 34 + C (b) ∫ cos(4x)e2x dx Resp: ( 2 sen(2x) + 4 cos(2x) ) e2x 20 + C 0.7 Dados a e b números reais quaisquer, calcule a integral ∫ sen(ax)ebx dx utilizando inte- gração por partes. Resp: ( b sen(ax)− a cos(ax) ) ebx a2+b2 + C 0.8 Dados a e b números reais quaisquer, calcule a integral ∫ cos(ax)ebx dx utilizando inte- gração por partes. Resp: ( a sen(ax) + b cos(ax) ) ebx a2+b2 + C 0.2 Integral Indefinida de Funções Trigonométricas 0.9 Utilize que cos(a ± b) = cos a cos b ∓ sen a sen b e sen(a ± b) = sen a cos b ± cos a sen b para deduzir que cos a cos b = cos(a−b)+cos(a+b) 2 , sen a sen b = cos(a−b)−cos(a+b) 2 e sen a cos b = sen(a−b)+sen(a+b) 2 . Em seguida, calcule as integrais a seguir. (a) ∫ cos(2x) cos(5x) dx Resp: sen(3x) 6 + sen(7x) 14 + C (b) ∫ cos(3x) sen(2x) dx Resp: cosx2 − cos(5x) 10 + C (c) ∫ sen(4x) sen(3x) dx Resp: senx2 − sen(7x) 14 + C 0.10 Sejam p e q números reais distintos. Calcule a integral ∫ cos(px) cos(qx) dx. Resp: sen[(p−q)x] 2(p−q) + sen[(p+q)x] 2(p+q) + C 0.11 Sejam p e q números reais distintos. Calcule a integral ∫ cos(px) sen(qx) dx. Resp: cos[(p−q)x] 2(p−q) − cos[(p+q)x] 2(p+q) + C 0.12 Sejam p e q números reais distintos. Calcule a integral ∫ sen(px) sen(qx) dx. Resp: sen[(p−q)x] 2(p−q) − sen[(p+q)x] 2(p+q) + C 0.13 Calcule a integral indefinida ∫ cos2(x) sen(2x) dx Resp: Utilize que sen(2x) = 2 sen(x) cos(x). A integral é − cos 4(2x) 4 + C. 0.14 Calcule a integral indefinida ∫ cos2(3x) sen(2x) dx Resp: Utilize que cos2(x) = 1+cos(2x)2 . A integral é − cos(2x) 4 + cos(4x) 16 − cos(8x) 32 + C. 0.15 Sejam a e b números reais, com 2a− b 6= 0. Calcule ∫ cos2(ax) sen(bx) dx. Resp: Utilize que cos2(x) = 1+cos(2x)2 . A integral é − cos(bx) 2b + cos[(2a−b)x] 4(2a−b) − cos[(2a+b)x] 4(2a+b) +C. 0.16 Sejam a e b números reais, com 2a− b 6= 0. Calcule ∫ cos2(ax) cos(bx) dx. Resp: Utilize que cos2(x) = 1+cos(2x)2 . A integral é sen(bx) 2b + sen[(2a−b)x] 4(2a−b) + sen[(2a+b)x] 4(2a+b) +C. 0.17 Calcule ∫ cos3(5x) dx. Resp: sen(5x) 5 − sen3(5x) 15 + C 0.18 Calcule as integrais abaixo. (a) ∫ sec2(2x) dx. Resp: tg(2x) 2 + C (b) ∫ tg2(3x) dx. Resp: tg(3x) 3 − x+ C 0.19 Determine a primitiva ∫ sec3(x) tg(x) dx utilizando substituição. Resp: sec3(x) 3 + C 0.3 Integral Indefinida por Substituição Trigonométrica 0.1 Seja a 6= 0. Calcule a integral ∫ 1 x2+a2 dx. Resp: 1 a tg−1(x a ) + C 0.2 Calcule as integrais abaixo utilizando completamento de quadrado. (a) ∫ 1 9x2 + 18x+ 13 dx. Resp: ∫ 1 (3x+3)2+4 dx = 1 6 tg −1 (3x+3 2 ) + C (b) ∫ 1 25x2 + 20x+ 20 dx. Resp: ∫ 1 (5x+2)2+16 dx = 1 20 tg −1 (5x+2 4 ) + C (c) ∫ 1 9x2 + 18x+ 25 dx. Resp: ∫ 1 (3x+3)2+16 dx = 1 12 tg −1 (3x+3 4 ) + C (d) ∫ 1 9x2 + 18x+ 13 dx. Resp: ∫ 1 (3x+3)2+4 dx = 1 6 tg −1 (3x+3 2 ) + C (e) ∫ 1 25x2 − 30x+ 25 dx. Resp: ∫ 1 (5x−3)2+16 dx = 1 20 tg −1 (5x−3 4 ) + C (f) ∫ 1 4x2 − 16x+ 41 dx. Resp: ∫ 1 (2x−4)2+25 dx = 1 10 tg −1 (2x−4 5 ) + C (g) ∫ 1 25x2 + 10x+ 5 dx. Resp: ∫ 1 (5x+1)2+4 dx = 1 10 tg −1 (5x+1 2 ) + C (h) ∫ 1 9x2 − 6x+ 17 dx. Resp: ∫ 1 (3x−1)2+16 dx = 1 12 tg −1 (3x−1 4 ) + C (i) ∫ 1 4x2 + 20x+ 50 dx. Resp: ∫ 1 (2x+5)2+25 dx = 1 10 tg −1 (2x+5 5 ) + C (j) ∫ 1 16x2 + 40x+ 29 dx. Resp: ∫ 1 (4x+5)2+4 dx = 1 8 tg −1 (4x+5 2 ) + C 0.3 Seja a > 0. Utilize a mudança de variável x a = sen(u) para calcular a integral ∫ 1 a2−x2 dx, para −a < x < a. Utilize frações parciais para calcular a mesma integral. Resp: Por substituição obtemos 1 a ln | sec(u)+tg(u)|+C = 1 a ln ∣∣∣ a+x√ a2−x2 ∣∣∣+C e por frações parciais obtemos 12a ∫ ( 1 x+a − 1 x−a ) dx = 1 a ln |x+a| 1/2 |x−a|1/2 +C que coincide com o outro cálculo. 0.4 Integral Indefinida por Frações Parciais 0.1 Utilize frações parciais para calcular as integrais a seguir. (a) ∫ −3x− 29 x2 + x− 6 dx Resp: ∫ ( −7 (x−2) + 4 (x+3) ) dx = ln |x+3| 4 |x−2|7 + C (b) ∫ 2x+ 7 x2 + 4x+ 4 dx Resp: ∫ ( 2 x+2 + 3 (x+2)2 ) dx = 2 ln |x+ 2| − 3 x+2 + C (c) ∫ 5x2 − 14x+ 3 (x− 5)(x2 + 4) dx Resp: ∫ ( 2 x−5 + 3x+1 x2+4 ) dx = 2 ln |x− 5|+ 32 ln |x 2 + 4|+ 12 tg −1(x2 ) + C Referências [1] LARSON, R.; HOSTETLER, R. P.; EDWARDS, B. H. Cálculo. 8. ed. v. 1, São Paulo: McGraw-Hill, 2006. [2] LARSON, R.; HOSTETLER, R. P.; EDWARDS, B. H. Cálculo. 8. ed. v. 2, São Paulo: McGraw-Hill, 2006. [3] STEWART, J. Cálculo. 5. ed. v. 1, São Paulo: Cengage Learning, 2005. [4] STEWART, J. Cálculo. 5. ed. v. 2, São Paulo: Cengage Learning, 2005. [5] THOMAS, G. B. Cálculo. 10. ed. v. 1, São Paulo: Pearson Education, 2003. [6] THOMAS, G. B. Cálculo. 10. ed. v. 2, São Paulo: Pearson Education, 2003. [7] FOULIS, D. J.; MUNEN, M. A. Cálculo. v. 1, São Paulo: LTC, 1982. [8] FOULIS, D. J.; MUNEN, M. A. Cálculo. v. 2, São Paulo: LTC, 1982. [9] SWOKOWSKY, E. Cálculo. v. 1, São Paulo: Makron Books, 1996. [10] SWOKOWSKY, E. Cálculo. v. 2, São Paulo: Makron Books, 1996.
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