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Curso de Geometria Analítica Profª Mara Freire 97 13- CÔNICAS 13.1- LUGAR GEOMÉTRICO Def.: É um conjunto de pontos que satisfaz uma propriedade geométrica. Equação de um lugar geométrico do plano cartesiano é toda equação nas incógnitas x e y cujas soluções (x, y) são coordenadas dos pontos do lugar geométrico (l.g.). Exemplos: 1- Determinar o lugar geométrico dos pontos eqüidistantes das retas r: 3x + 4y = 0 e s: 4x – 3y = 0. 2- Dados A(0, 0) e B(0, 4), determinar o lugar geométrico dos pontos P(x, y) tais que dAP = 3dBP. 13.2- CÔNICA Def.: Considere um cone de duas folhas, uma figura que pode ser gerada pela revolução de uma reta g (geratriz) em torno de outra reta e (eixo) que a corta segundo um ângulo em um ponto V. Considere agora o conjunto de todos os planos que não passam por V. A curva que resulta da intersecção de um plano desse conjunto com o cone é dita uma seção cônica ou, simplesmente, uma cônica. Elipse Parábola Hipérbole Curso de Geometria Analítica Profª Mara Freire 98 13.3- Parábola Def.: É o lugar geométrico dos pontos de um plano que são eqüidistantes de um ponto fixo F e de uma reta dada d, F d, desse plano. O ponto F chama-se foco e a reta d chama-se reta diretriz da parábola. P parábola dPF = dPd 13.3.1- Elementos da Parábola Parâmetro da parábola: É a distância entre o foco e a diretriz, representada por 2p. Vértice da parábola: É o ponto de interseção da parábola com o seu eixo, representado pela letra V, tal que dVF = dVd = p. Eixo focal da parábola (ou eixo de simetria da curva): É a reta (VF) que passa pelo foco e é perpendicular a diretriz. Corda (da parábola): É o segmento que une dois pontos da parábola. Corda Focal: É uma corda da parábola que passa pelo Foco. 13.3.2- A Equação da Parábola A equação da parábola com reta diretriz paralela a um dos eixos coordenados é da forma y = ax2 + bx + c ou x = ay2 + by + c onde a, b e c são números reais, sendo a ≠ 0. Exemplo: 1- Obtenha equação da parábola de foco F 0, 2 1 e cuja diretriz é a reta de equação 2x + 1 = 0: Curso de Geometria Analítica Profª Mara Freire 99 A equação da parábola com reta diretriz paralela ao eixo y é dada da seguinte forma: Considere o caso da parábola de concavidade para direita, com vértice V(x0, y0), foco F(x0 + p, y0) e diretriz d de equação x = x0 – p, isto é, x – (x0 – p) = 0. Temos que P parábola dPd = dPF, então 22 0 10 )( pxx = 20 2 0 yypxx [(x – x0) + p]2 = [(x – x0) – p]2 + (y – y0)2 (x – x0)2 + 2p(x – x0) + p2 = (x – x0)2 – 2p(x – x0) + p2 + (y – y0)2 4p(x – x0) = (y – y0)2 x – x0 = p yy 4 )( 20 (1) x = 2 4 1 y p – y p y 2 0 + 0 2 0 4 x p y Fazendo p4 1 = a, – p y 2 0 = b e 0 2 0 4 x p y = c Obtemos, sendo a > 0, a equação x = ay2 + by + c Como p4 1 = a p = a4 1 – p y 2 0 = b y0 = – 2pb = –2. a4 1 .b = a b 2 0 2 0 4 x p y = c x0 = p y 4 2 0 + c = a acb 4 42 Logo, a distância entre o vértice e o foco é p = a4 1 e as coordenadas do vértice são dadas por xV = a acb 4 42 e yV = a b 2 No caso da parábola de concavidade para a esquerda obtém-se p = a4 1 (a < 0) e as coordenadas do vértice são xV e yV dadas pelas mesmas fórmulas acima. Curso de Geometria Analítica Profª Mara Freire 100 No caso das parábolas de concavidade para cima ou para baixo, a equação é da forma y = ax2 + bx + c sendo a > 0 ou a < 0, respectivamente, e temos neste caso: p = a4 1 , xV = a b 2 e yV = a acb 4 42 . Exemplos: 1- Determinar o vértice e o foco da parábola de equação x = 2y2 – 4y + 5. 2- Determinar a equação da parábola: 3- Determinar a equação da parábola que passa pelos pontos (0, 1), (1, 0) e (3, 0). Curso de Geometria Analítica Profª Mara Freire 101 13.3.3- Equação Reduzida da Parábola A equação da parábola de vértice na origem do sistema cartesiano e eixo paralelo ao eixo dos x é dada a partir da equação (1), onde: x – x0 = p yy 4 )( 20 (y – y0)2 = 4p(x – x0) Como V(0, 0), logo y 2 = 4px Analogamente, no caso do eixo da parábola ser paralelo ao eixo dos y, temos a seguinte equação: x 2 = 4py Exemplos: 1- Determinar a equação da parábola de vértice V(0, 0) e Foco(1,0). 2- Determinar a equação da parábola de vértice V(0, 0) e diretriz y = 3. 3- Determinar a equação da parábola de vértice V(0, 0) passa pelo ponto (-2, 5) e tem concavidade voltada para cima. Curso de Geometria Analítica Profª Mara Freire 102 13.3.4- Translação dos Eixos Considere no plano xOy um ponto O’(h, k) qualquer. Para obter um novo sistema x’y’ tal que os eixos O’x’ e O’y’tenham a mesma unidade de medida, a mesma direção e o mesmo sentido dos eixos Ox e Oy, basta fazer uma translação de eixos da seguinte forma: Seja um ponto P qualquer do plano tal que suas coordenadas são: x e y em relação ao sistema xOy, e x’e y’ em relação ao sistema x’O’y’, Pela figura, temos que: x = x’ + h e y = y’ + k ou x’ = x – h e y’ = y – k que são as fórmulas de translação, ou seja, as fórmulas que permitem transformar coordenadas de um sistema em outro. A principal finalidade da transformação de coordenadas é modificar a forma das equações. Exemplo: 1- Determinar a equação da parábola dada por x’2 = 4y’de centro O’(3, 2). Curso de Geometria Analítica Profª Mara Freire 103 13.3.5- Equação da Parábola de Vértice Fora da Origemdo Sistema 1° caso: O eixo da parábola é paralelo ao eixo dos y Seja a parábola de vértice V(h, k) e eixo paralelo ao eixo dos y, sendo h e k coordenadas de V em relação ao sistema xOy e seja P(x, y) um ponto qualquer desta parábola. Considerando um novo sistema x’O’y’ com a origem O’em V, temos que a equação da parábola referida ao sistema x’O’y’é x’2 = 4py’ Como, x’ = x – h e y’ = y – k, daí vem: (x – h)2 = 4p(y – k) Analogamente, no caso do eixo da parábola ser paralelo ao eixo dos x, temos a seguinte equação: (y – k)2 = 4p(x – h) Exemplo: 1- Determinar a equação da parábola de vértice V(3, -1), sabendo que y – 1 = 0 é a equação de sua diretriz. 2- Determinar a equação da parábola de foco F(1, 2), sendo x = 5 a equação da diretriz. Curso de Geometria Analítica Profª Mara Freire 104 13.3.6- Posições Relativas de uma Reta em Relação à uma Parábola Se < 0 a reta é externa a Parábola Se = 0 a reta é tangente a Parábola Se > 0 a reta é secante a parábola Exemplos: 1- Determinar os pontos de intersecção da reta 3x – 2y + 6 = 0 e da parábola y2 = 6x. 2- Determinar a posição da reta em relação à parábola: a) x – y + 2 = 0 e y2 = 8x b) 8x + 3y – 15 = 0 e x2 = –3y c) 5x – y – 15 = 0 e y2 = –5x Curso de Geometria Analítica Profª Mara Freire 105 Exercícios 1- Determinar a equação do lugar geométrico dos pontos eqüidistantes de A(-1, 2) e B(3, 0). 2- Dados A(1, 0) e B(4, 0), determinar o lugar geométrico dos pontos P(x, y) tais que dAP = 2dPB. 3- Determinar a equação da parábola sendo dados: a) F = (2, 0) e d: x + 2 = 0 b) F = (0, -1) e d: y – 1 = 0 c) V(0, 0) e d: y = -2 d) V(0, 0) e F = (0, -3) e) V(0, 0) e F = (-3, 0) f) V(-2, 3) e F = (-2, 1) g) V(2, -1) e F = (5, -1) h) V(1, 3), eixo paralelo ao eixo dos x e passando pelo ponto P(-1, -1). i) Eixo de simetria paralelo ao eixo dos y e passando pelos pontos A(0, 0), B(1, 1) e C(3, 1). j) Eixo de simetria paralelo ao eixo dos y e passando pelos pontos P(0, 1), Q(1, 0) e R(2, 0). 4- Determinar o vértice e o foco das parábolas abaixo: a) y = 4 – x2. b) x2 = -12y c) y2 = -100x d) x2 + 4x + 8y + 12 = 0 e) y2 + 4y + 16x - 44 = 0 RESPOSTAS 1- 2x – y –1 = 0. 2- É a circunferência x2 + y2 – 10x + 21 = 0. 3- a) x = y2/8; b) y = -x2/4; c) x2 = 8y; d) x2 = -12y; e) y2 = -12x; f) x2 + 4x + 8y - 20 = 0; g) y2 + 2y – 12x + 25 = 0; h) (y – 3)2 = -8(x – 1); i) y = -x2/3 + 4x/3; j) y = x2/2 - 3x/2 + 1. 4- a) V(0, 4) e F(0, 15/4); b) V(0, 0) e F(0, -3); c) V(0, 0) e F(-25, 0); d) V(-2, -1) e F(-2, -3); e) V(3, -2) e F(-1, -2).
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