Baixe o app para aproveitar ainda mais
Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original
Funções Funções: Expressão matemática que descreve como um valor é determinado por outro valor. Domínio: Conjunto de todos os valores que satisfazem a equação. Imagem: Conjunto de todos os valores de y tal que f(x) = y | x є Dom de f. As funções podem ser representadas por equações, gráficos e tabelas de valores. Teste da Reta Vertical: Para todo x є Dom de f há apenas um valor de y. Função linear: f(x) = mx + c Função modular: f(x) = |x| Função identidade: f(x) = x Função polinomial: f(x) = axn + bxn – 1 + cxn – 2 + ... + k Função afim: f(x) = ax + c => Função polinomial de primeiro grau. Função quadrática: f(x) = ax2 + bx1 + c => Função polinomial de segundo grau. Função racional: f(x) = g(x) ÷ h(x) Função composta: (f ° g)(x) = f(g(x)) Função par: f(x) = –f(x) Função impar: f(x) = f(–x) Função injetora: cada valor da imagem é determinado por apenas um valor do domínio. Para elas usa-se o teste da reta horizontal. Apenas as funções injetoras podem ser invertidas. Função inversa: f(x) = f -1(x) => para inverter uma função basta trocar x por y e isolar y. Função exponencial: f(x) = ax + c => Função exponencial natural: f(x) = ex + c tem coeficiente angular 1 ao cruzar o eixo x. Usa-se a constante e ≈ 2,17828 geralmente usada para expressar crescimento ou decaimento exponencial (etx => t constante). Função logarítmica: f(x) = loga x => inversa da função exponencial. Propriedades dos logaritmos: log AB = log A + log B log x = log10 x log AB = B × log A ln x = loge x AlogA x = x => logA Ax = x Ax = ex × ln A LogA x = ln x ÷ ln A Funções trigonométricas: Função Domínio Imagem Derivada Derivada Inv. sen x [-π/2, π/2] [-1,1] cos x 𝑑 𝑑𝑥 (𝑠𝑒𝑛−1 𝑢) = 1 √1− 𝑢2 𝑑𝑢𝑑𝑦 cos x [0, π] [-1,1] -sen x 𝑑 𝑑𝑥 (𝑐𝑜𝑠−1 𝑢) = 1 √1 − 𝑢2 𝑑𝑢𝑑𝑦 tg x (-π/2, π/2, π/2) (--∞, ∞) sec2 x 𝑑 𝑑𝑥 (𝑡𝑔−1 𝑢) = 11 + 𝑢2 𝑑𝑢𝑑𝑦 cotg x (0, π) (-∞, ∞) -cosec2 x 𝑑 𝑑𝑥 (𝑐𝑜𝑡𝑔−1 𝑢) = 11 + 𝑢2 𝑑𝑢𝑑𝑦 sec x [0 , π/2)U (π/2, π] (-∞,-1] U [1,∞) sec x tg x 𝑑(𝑠𝑒𝑐−1 𝑢) 𝑑𝑥 = 𝑑𝑢 𝑑𝑥�|𝑢|√𝑢2 − 1 cosec x [-π/2,0)U (0, π/2] (-∞,-1] U [1,∞) -cosec x cotg x 𝑑(𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐−1 𝑢) 𝑑𝑥 = 𝑑𝑢 𝑑𝑥�|𝑢|√𝑢2 − 1 Limites e Continuidade Limite: Seja f(x) definida em um intervalo aberto em torno de x0 talvez exceto em x0 o limite de f(x), conforme x se aproxima de x0 é: 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑥0𝑓(𝑥). Teorema I: lim A f(x) + B g(x) = A lim f(x) + B lim f(x) lim f(x) × g(x) = lim f(x) × lim g(x) lim f(x)n = [lim f(x)]n Teorema II: Limites de funções polinomiais podem ser obtidos por substituição. Teorema III: Limites de funções racionais podem ser obtidos por substituição quando denominador é diferente de zero. Teorema IV (Confronto): se f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) e limx→c f(x) = limx→c h(x) = L então:limx→c g(x) = L Teorema V: se f(x) ≤ g(x) para todo x exceto talvez em c => limx→c f(x) = limx→c g(x) Teorema VI: uma função terá limite em x→c se houver limites iguais em ambos os lados: lim 𝑥→𝑐+ 𝑓(𝑥) = lim 𝑥→𝑐− 𝑓(𝑥) = lim 𝑥→𝑐 𝑓(𝑥) = 𝐿 Teorema VII: lim𝑥→0 𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑥 = 1 Teorema VIII: lim𝑥→∞ 𝑐𝑥 = 0 => lim𝑥→∞ 𝑥𝑐 = ∞ ou -∞ => lim𝑥→0 𝑐𝑐𝑥 = ∞ ou -∞ Continuidade: uma função é continua quando não há “buracos” em seu gráfico. Teorema IX: Se f e g são continuas em dado intervalo as seguintes combinações são continuas neste dado intervalo: f + g e f × g Teorema X: Se f é continua em c e g em f(c) a composta f(g(x)) é continua em c. Teorema XI: Se f é continua em b e limx→c f(x) = b => limx→c g(f(x)) = g(b) = g(limx→c f(x)) Teorema XII (Valor Médio): Uma função continua em um intervalo [a, b] assume rodos os valores entre f(a) e f(b). Extensão Continua: (x − 2)(x + 3)(x − 2)(x + 2) = x + 3x + 2 Transladando um gráfico de função: Verticalmente => y = f(x) + k Horizontalmente => y = f(x + k) Mudando escala de um gráfico de função: para c > 1 y = f(x) × c => alonga o gráfico verticalmente por um fator c. y = f(x) ÷ c => comprime o gráfico verticalmente por um fator c. y = f(cx) => alonga o gráfico horizontalmente por um fator c. y = f(x ÷ c) => comprime o gráfico horizontalmente por um fator c. y = -f(x) => reflete o gráfico em torno do eixo x. y = f(-x) => reflete o gráfico em torno do eixo y. Derivada Derivada: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = limℎ→0 𝑓(𝑥+ℎ) − 𝑓(𝑥)ℎ Quando uma função é não derivável em um ponto: O gráfico apresenta um “bico” (derivadas laterais diferentes). Coeficiente angular de um lado tende + ∞ e do outro a -∞. Uma tangente vertical (coeficiente +∞ ou -∞). Descontinuidade. Teorema I: Se f é derivável em x = c, f é continua em x = c (a recíproca pode ser falsa). Teorema II (Darboux): Se f é derivável em [a, b] f’ assume todos os valores entre f’(a) e f’(b) Regras de Derivação: Derivada da Função constante: d dx c = 0 Derivada da Potencia: d dx un = nun−1 du dx Derivada da Soma: d dx (u + v) = du dx + dv dx Derivada do Produto: d dx (u × v) = u dv dx + v du dx Derivada do Quociente: d dx �u v � = vdudx − udvdx v2 Derivada da Exponencial natural: d dx 𝑒u = 𝑒u du dx Derivada do Logaritmo natural: d dx ln u = 1 u du dx Derivada do Logaritmo de base qualquer: d dx loga u = 1u ln a dudx Derivada de au: d dx au = au ln a du dx Teorema III (Regra da Cadeia): Se f(u) é derivável em u = g(x) e g(x) em x a composta (f°g)(x) é derivavel em x e (f° g)’(x) = f’(g(x)) × g’(x). Equações Paramétricas: se x = f(t) e y = g(t) em vez de descrever uma curva expressando sua ordenada em função de x é melhor expressa-las em função de uma terceira variável t. Formula para 𝑑𝑦 𝑑𝑥 : dy dx = dy dt�dx dt� d²y dx² = dy′ dt�dx dt� Derivação Implícita: Deriva os dois lados da equação em relação a x, reúna os termos dy/dx em um lado e ache dy/dx (pode substituir valores conhecidos). Teorema IV: Regra da derivada para funções inversas (𝑓−1)′(𝑏) = 1 𝑓′(𝑓−1(𝑏)) Teorema V: o numero e pode ser calculado como 𝑒 = lim𝑥→0(1 + 𝑥)1 𝑥� Linearização: aproximação linear padrão quando x = a 𝐿(𝑥) = 𝑓(𝑎) + 𝑓′(𝑎)(𝑥 − 𝑎) Diferencial: a diferencial dx é a variável independente. A diferencial dy é: 𝑑𝑦 = 𝑓′(𝑥) 𝑑𝑥 Aplicações das Derivadas Extremos de Funções: Seja f uma função de domínio D. Então f tem: Um valor máximo absoluto em D no ponto c tal que: f(x) ≤ f(c) Um valor mínimo absoluto em D no ponto c tal que: f(x) ≥ f(c) Teorema I (Valor Extremo): Se f é continua num intervalo [a, b], f assume tanto um valor máximo M em f como um mínimo m tal que: M ≥ f(x) ≥ m para qualquer x em [a, b]. Teorema II (Extremos Locais): f possui máximo ou mínimo local para f’(x) = 0 ou nas extremidades de f. Teorema III (Rolle): seja f(x) derivável em (a, b) e f(a) = f(b) há pelo menos um numero c tal que f(c) = 0. Ponto Crítico: Qualquer ponto de f onde f’ é 0 ou indefinida. Para se achar os máximos absolutos, calculamos f nos pontos críticos e extremidades e separamos o maior e menor valor. Teorema IV (Valor Médio): seja f(x) derivável em (a, b), há pelo menos um ponto c tal que: 𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎) 𝑏 − 𝑎 = 𝑓′(𝑐) Definições para funções num intervalo (a, b): Se f(x1) < f(x2) sempre que x1 < x2, então f é crescente em (a, b). Se f(x1) > f(x2) sempre que x1 < x2, então f é decrescente em (a, b). Se f’(x) > 0 em qualquer x є (a, b). então f é crescente em (a, b). Se f’(x) < 0 em qualquer x є (a, b). então f é decrescente em (a, b). Teste da primeira derivada (para extremos locais): Se f’ muda de positiva para negativa em c, f possui um mínimo local em c. Se f’ muda de negativa para positiva em c, f possui um mínimo local em c. Se f’ não muda de sinal em c, c não é um extremo local de f. Teste da segunda derivada (para concavidade): o gráfico de uma função derivável y = f(x) é: Côncavo para cima em um intervalo aberto I, se f’ é crescente em I. Côncavo para baixo em um intervalo aberto I, se f’ é decrescente em I. Se f’’ > 0 em I, o gráfico de f ao longo de I é côncavo para cima. Se f’’ < 0 em I, o gráfico de f ao longo de I é côncavo para baixo. Ponto de Inflexão: ponto onde o gráfico de uma função muda a concavidade. Em todo ponto de inflexão a segunda derivada é 0. Teorema V (teste da segunda derivada para extremos locais): Suponha f’’ continua em c. Se f’(c) = 0 e f’’(c) < 0, f possui um máximo local em x = c. Se f’(c) = 0 e f’’(c) > 0, f possui um mínimo local em x = c. Se f’(c) = 0 e f’’(c) < 0, f pode ter um máximo ou mínimo local ou nenhum. Teorema VI (A Regra de L’Hôpital): para achar o limite de f(x)/g(x) quando f(x) = 0 e g(x) = = 0 derivamos f e g até encontrarmos algo diferente de 0/0: lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) = lim𝑥→𝑎 𝑓′(𝑥)𝑔′(𝑥) Teorema VII (Valor médio de Cauchy): sejam f e g continuas no intervalo [a, b] e deriváveis em (a, b) existe um numero c em (a, b) no qual: 𝑓′(𝑐) 𝑔′(𝑐) = 𝑓(𝑏)− 𝑓(𝑎)𝑔(𝑏)− 𝑔(𝑎). Primitiva: uma função F é primitiva de f se F’ = f(x) em qualquer x num intervalo I. n: índice onde k termina. ak: função para k. k = 1: fator inicial de k. Integração Notação Sigma: ∑ 𝑎𝑘𝑛𝑘=1 = 𝑎1 + 𝑎2 + ⋯+ 𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛 Regras algébricas para somas finitas: Regra da Soma: ∑ (𝑎𝑘 + 𝑏𝑘) 𝑛𝑘=1 = ∑ 𝑎𝑘 𝑛𝑘=1 + ∑ 𝑏𝑘𝑛𝑘=1 Regra da Multiplicação por Constante: ∑ 𝑐 × 𝑎𝑘𝑛𝑘=1 = c × ∑ 𝑎𝑘𝑛𝑘=1 Regra do Valor Constante: ∑ 𝑐𝑛𝑘=1 = n × c Some de Riemann: soma de todas as “torres” quando ∆x→0 de um gráfico de função. Integral Indefinida: conjunto de todas as primitivas de f em relação à x: ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + 𝐶 Integral definida (limite das somas de Riemann): ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏𝑎 Teorema I: Uma função continua em um intervalo [a, b] é integrável em [a, b]. Teorema II (propriedades das integrais): Quando f e g são integráveis num intervalo [a, b]: Ordem de Integração: ∫ f(x) dxba = −∫ f(x) dxab Intervalo de largura zero: ∫ f(x) dxaa = 0 Multiplicação por constante: ∫ kf(x) dxba = k∫ f(x) dxba Regra da Soma: ∫ [f(x) + g(x)] dxba = ∫ f(x) dxba + ∫ g(x) dxba Aditividade: ∫ f(x) dxba + ∫ f(x) dxcb = ∫ f(x) dxca Desigualdade Max-min: 𝑚𝑖𝑛 f × (b − a) ≤ ∫ f(x) dxba ≤ 𝑚𝑎𝑥 f × (b− a) Dominação: se f(x) ≥ g(x) em [a, b] ∫ f(x) dxba ≥ ∫ g(x) dxba Derivada do Logaritmo de base qualquer: d dx loga u = 1u ln a dudx A área sob a curva f(x) em f(x) é => ∫ f(x) dxba Valor médio de uma função em um intervalo [a, b] M(f) = 1 a−b ∫ f(x) dxba Teorema III (Valor médio): Se f é continua em [a, b] há um c onde f(c) = 1 a−b ∫ f(x) dxba Teorema IV (Fundamental do Calculo): F é uma primitiva de f. 𝐹′(x) = ddx∫ f(t) dtxa = f(x) ∫ f(x) dxba = F(b) − F(a) Teorema V (Regra da Substituição): ∫ f(g(x))g′(x) dxba = ∫ f(u) duba Teorema VI (Substituições em integrais definidas): ∫ f(g(x)) × g′(x) dxba = ∫ f(u) dug(b)g(a) Teorema VII: Se f é continua em um intervalo simétrico [-a, a]: Se f é par, ∫ f(x) dxa−a = 2 ∫ f(x) dxa0 Se f é impar, ∫ f(x) dxa−a = 0 Regra da potenciação na forma integral: Se u é derivável ∫ 𝑢𝑛𝑑𝑢 = 𝑢𝑛+1 𝑛+1 + 𝐶 Área entre curvas: se f(x) ≥ g(x) para todo x em [a, b] a área entre as curvas de f(x) e g(x) é: 𝐴 = � [𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)] 𝑑𝑥𝑏 𝑎 Aplicações das Integrais Definidas Volume: 𝑉 = ∫ A(x) dxba A(x) é a função da área da secção transversal do sólido. Calculando o volume de um sólido: Esboce o gráfico da secção transversal típica. Encontre uma formula para A(x), a área de uma secção transversal do sólido. Encontre os limites de integração. Integre A(x) usando o teorema fundamental. O princípio de Cavalieri: Dois sólidos de mesma altura e áreas transversais têm volume igual. Método do Disco: sólidos gerados pela rotação de uma área plana em torno de um eixo: 𝑉 = ∫ A(x) dxba = ∫ π[r(x)]2 dxba Método do Anel: para sólidos com orifício no meio, têm um raio externo R e um interno r: 𝑉 = ∫ A(x) dxba = ∫ π{[R(x)]2 − [r(x)]2} dxba Método das Cascas: obtido pela rotação de uma reta vertical do sólido em torno do eixo x: 𝑉 = ∫ 2π × (raio da casca) × (altura da casca)dxba Calculando o volume de um sólido pelo método das cascas: Esboce o gráfico nomeando a altura e o raio. Determine os limites de integração para a variável espessura. Integre em relação a variável espessura. Comprimento de uma curva paramétrica: uma curva definida por x = f(t) e y = g(t), a ≤ t ≤ b, onde f’ e g’ são continuas não simultaneamente nulas em [a, b], é percorrida de t = a até t = b seu comprimento é: 𝐿 = ∫ �[f ′(t)]2 + [g(t)]2ba dt Comprimento de y = f(x): o comprimento de uma curva em [a, b] é: 𝐿 = ∫ �1 + [g′(x)]2ba dx Descontinuidade em y = f(x): se em algum ponto a derivada dy/dx seja indeterminada podemos achá-la usando dx/dy escrevendo x em função de y. Área da superfície de revolução: se f(x) ≥ 0 é derivável em [a, b], a área da superfície gerada pela rotação de y = f(x) em trono de x é: 𝑆 = ∫ 2πf(x)�1 + [f′(x)]2ba dx Para curvas parametrizadas: a área da superfície de uma curva x = f(t) e y = g(t) gerada pela rotação em torno de x percorrida de t = a até t = b é: 𝑆 = ∫ 2πf(x)�[f ′(x)]2 + [g′(x)]2ba dx Teorema I (Pappus para Volumes): Se uma região plana é girada uma vez em torno de uma reta que não atravessa o interior da região, o volume do solido gerado igual a área da região vezes a distancia percorrida pelo centróide da região durante a revolução. Se ρ é a distancia entre o eixo de revolução e o centróide, então: 𝑉 = 2𝜋𝜌𝐴 Teorema II (Pappus para áreas de superfície): se o arco de uma curva plana é girado toda vez em torno de uma reta que não atravessa o interior do arco, a área da superficie gerada pelo arco é igual ao comprimento do arco vezes a distancia percorrida pelo centróide do arco durante a revolução. Se ρ é a distancia entre o eixo de revolução e o centróide: 𝑆 = 2𝜋𝜌𝐿 Nestes casos ρ é uma diferencial. Funções Transcendentes A função logaritmo natural: ln 𝑥 = ∫ 1 t dtx1 x > 0 O numero e é aquele que satisfaz: ln 𝑒 = ∫ 1 t dt𝑒1 = 1 A derivada da ln x: d dx ln u = 1 u du dx u > 0 d dx ln |x| = 1 x x ≠ 0 Propriedades dos logaritmos: log AB = log A + log B log x = log10 x log AB = B × log A ln x = loge x AlogA x = x => logA Ax = x Ax = ex × ln A A integral de u-1: ∫ 1 𝑢 𝑑𝑢 = ln|𝑢| + 𝐶 A inversa de ln x é a função exponencial natural: ln−1𝑥 = 𝑒𝑥 𝑒ln 𝑥 = 𝑥 ln 𝑒𝑥 = 𝑥 Derivada da Exponencial natural: d dx 𝑒u = 𝑒u du dx Integral da Exponencial natural: ∫ 𝑒𝑢 𝑑𝑢 = 𝑒𝑥 + 𝐶 A função exponencial geral com a > 0 é dada por: 𝑎𝑥 = 𝑒x ln 𝑎 loga 𝑥 = ln 𝑥ln 𝑎 𝑑 𝑑𝑥 𝑎𝑢 = 𝑎𝑢 ln 𝑎 𝑑𝑢 𝑑𝑥 ∫ 𝑎𝑢 𝑑𝑢 = 𝑎𝑢 ln 𝑎 + 𝐶 Taxas de crescimento quando x → ∞: sejam f(x) e g(x) definidas para um x altamente grande f(x) cresce mais rápido que g(x) se: lim𝑥→∞ 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥)⁄ = ∞ f(x) cresce mais lentamente que g(x) se: lim𝑥→∞ 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥)⁄ = 0 f(x) e g(x) crescem a mesma taxa se: lim𝑥→∞ 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥)⁄ = 𝐿 L finito e positivo obs: 2x não cresce mais rápido que x; funções logarítmicas sempre crescem a mesma taxa. Notações “Ozão e ozinho”: uma função f é de ordem menor que g se: lim𝑥→∞ 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥)⁄ = 0 Indicamos esta situação dizendo f é “ozinho” de g f = o(g) uma função f é no máximo da ordem de g se: 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥)⁄ ≤ 𝑀 Indicamos esta situação dizendo f é “ozão” de g f = O(g) Funções hiperbólicas: formadas a partir de ex e e-x : 𝑒𝑥 = 𝑒𝑥+ 𝑒−𝑥 2 + 𝑒𝑥− 𝑒−𝑥 2 senh 𝑥 = 𝑒𝑥− 𝑒−𝑥 2 .cosh 𝑥 = 𝑒𝑥+ 𝑒−𝑥 2 .. tgh 𝑥 = 𝑒𝑥− 𝑒−𝑥 𝑒𝑥+ 𝑒−𝑥 cotgh 𝑥 = 𝑒𝑥+ 𝑒−𝑥𝑒𝑥− 𝑒−𝑥 sec 𝑥 = 2 𝑒𝑥+ 𝑒−𝑥 cosec 𝑥 = 2𝑒𝑥− 𝑒−𝑥 Técnicas de Integração Formula da integral por partes: ∫ f(g(x))g′(x) dx = f(x)g(x) − ∫ f ′(x) g(x)𝑑𝑥 ∫𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢 Integração tabular: usada quando se precisa aplicar integração por patês varias vezes: f(x) e suas integrais Exemplo:∫𝑥2𝑒𝑥𝑑𝑥 g(x) e suas integrais x2 (+) ex 2x (−) ex 2 (+) ex 0 ex Método de frações parciais (f(x)/g(x)) própria: Seja x + r um fator de g(x) e (x + r)m a maior potencia de x + r que divide g(x), associe a este fator m frações parciais: 𝐴1 𝑥−𝑟 + 𝐴2(𝑥−𝑟)2 + ⋯+ 𝐴𝑚(𝑥−𝑟)𝑚 faça isso para cada fator distinto de g(x) Seja x2 + px + q um fator de g(x) e (x2 + px + q)n a maior potencia de x2 + px + q que divide g(x), associe a este fator n frações parciais: 𝐵1𝑥+𝐶𝑛 𝑥2+𝑝𝑥+𝑞 + ⋯+ 𝐵𝑛𝑥+𝐶𝑛(𝑥2+𝑝𝑥+𝑞)𝑛 a cada fator distinto. Iguale a soma dessas frações a f(x)/g(x), resolva o sistema e integre cada fração parcial. Integrais trigonométricas: Integrais na forma ∫ sinm 𝑥 cosn 𝑥: temos três casos a avaliar: m impar: fazemos m = 2k + 1 e usamos a identidade sen2 x = 1 – cos2 x. m par e n impar: fazemos n = 2k + 1 e usamos a identidade cos2 x = 1 – sen2 x. m e n pares: substituímos cos2 𝑥 = 1+cos2𝑥 2 e sin2 𝑥 = 1−cos2𝑥 2 . Produtos de senos e cossenos: também temos três casos a avaliar: sin𝑚𝑥 sin𝑛𝑥 = cos(𝑚−𝑛)𝑥−cos(𝑚+𝑛)𝑥 2 sin𝑚𝑥 cos𝑛𝑥 = sin(𝑚−𝑛)𝑥+sin(𝑚+𝑛)𝑥 2 cos𝑚𝑥 cos𝑛𝑥 = cos(𝑚−𝑛)𝑥+cos(𝑚+𝑛)𝑥 2 Integrais na forma ∫ tgm 𝑥 secn 𝑥: usamos: tg2 x = sec2 x – 1 e sec2 x = tg2 x + 1 Substituições trigonométricas: em certos tipos de casos podemos fazer certas substituições: 𝑥 = 𝑎 tg 𝜃 → √𝑎2 + 𝑥2 = 𝑎| sec𝜃| 𝑥 = 𝑎 sen 𝜃 → √𝑎2 − 𝑥2 = 𝑎| cos𝜃| 𝑥 = 𝑎 sec 𝜃 → √𝑥2 − 𝑎2 = 𝑎| tg𝜃| Integrais impróprias: Integrais com limites infinitos de integração ou com integrando indo para infinito. Faz os testes nos limites, caso o limite é finito dizemos que a integral imprópria converge e que o limite é o valor da integral imprópria. Se o limite não existe dizemos que a integral imprópria diverge.ele é usado como valor, também deve-se “quebrar” a integral em duas (aditividade) (principalmente no ponto em que ela vai pra infinito) para evitar erros. Teorema I: sejam f e g continuas em [a, ∞), com 0 ≤ f(x) ≤ g(x), para qualquer x ≥ a: ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥∞𝑎 converge se ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥∞𝑎 converge ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥∞𝑎 diverge se ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥∞𝑎 diverge Teorema II (comparação no limite): sejam as funções positivas f e g continuas em [a, ∞), se: lim𝑥→∞ 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) = 𝐿, −> 0 < 𝐿 < ∞, −> ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥∞𝑎 e ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥∞𝑎 São ambas convergentes ou ambas divergentes. Parte ímpar Parte par Sequências e Séries Infinitas Sequência infinita: função cujo domínio é o conjunto dos naturais e n é o n-ésimo termo. 𝑎𝑛 = √𝑛 → {𝑎𝑛} = �√1,√2,√3 …√𝑛� = �√𝑛�𝑛=1∞ Convergência: a medida que a sequência avança an se aproxima de um valor fixo. Divergência: conforme a sequência avança an não vai para um valor fixo ou tende a infinito. Teorema I: sejam as sequencias {an} e {bn} com lim𝑛→∞ 𝑎𝑛 = 𝐴 e lim𝑛→∞ 𝑏𝑛 = 𝐵 temos: Regra da Soma: lim𝑛→∞(𝑎𝑛 + 𝑏𝑛) = 𝐴 + 𝐵 Regra do Produto: lim𝑛→∞(𝑎𝑛 × 𝑏𝑛) = 𝐴 × 𝐵 Teorema II (Confronto): se an ≤ bn ≤ cn e lim𝑛→∞ 𝑎𝑛 = lim𝑛→∞ 𝑐𝑛 = 𝐿 => lim𝑛→∞ 𝑏𝑛 = 𝐿 Teorema III: seja a sequencia {an} com 𝑎𝑛 → 𝐿, então 𝑓(𝑎𝑛) → 𝑓(𝐿). Teorema IV: se 𝑎𝑛 = 𝑓(𝑛) para n ≤ n0 podemos usar as regras de funções para qualquer 𝑎𝑛. Teorema V: limites que aparecem com freqüência: lim 𝑛→∞ ln 𝑛 𝑛 = 0 lim𝑛→∞ √𝑛𝑛 = 1 lim 𝑛→∞ 𝑥𝑛 = 0 (|x| < 1) lim 𝑛→∞ √𝑥 𝑛 = 1 (x > 0) lim 𝑛→∞ 𝑥𝑛 𝑛! = 0 (todo x) lim𝑛→∞ �1 + 𝑥𝑛�𝑛 = 𝑒𝑥 (todo x) Sequencia crescente: sequencia {an} com 𝑎𝑛 ≤ 𝑎𝑛+1 (sequencias constantes são crescentes). Teorema VI: uma sequencia crescente converge apenas se for limitada superiormente. Série infinita: soma de todos os termos de uma sequencia {an}: ∑ 𝑎𝑛∞𝑛=1 Séries geométricas: séries na forma 𝑎𝑟𝑛−1, ∑ 𝑎𝑟𝑛−1 = 𝑎 1−𝑟 ∞ 𝑛=1 , |𝑟| < 1 Séries telescópicas: séries na forma 1 𝑛(𝑛+1) = 1𝑛 − 1𝑛+1, ∑ 1𝑛(𝑛+1) = 1𝑛∞𝑛=1 − 1𝑘+1 Teorema VII: Se ∑ 𝑎𝑛∞𝑛=1 converge, então 𝑎𝑛 → 0, se 𝑎𝑛 ≠ 0 a série diverge. Teorema VIII: sejam ∑𝑎𝑛 = 𝐴 e ∑𝑏𝑛 = 𝐵 convergentes, então: ∑(𝑎𝑛 + 𝑏𝑛) = 𝐴 + 𝐵 Podemos somar ou tirar termos a uma serie ∑ 𝑎𝑛∞𝑛=1 = 𝑎1 + 𝑎2 + ⋯+ 𝑎𝑘 + ∑ 𝑎𝑛∞𝑛=𝑘 Podemos reindexar sem alterar a convergência: ∑ 𝑎𝑛∞𝑛=0 transformamos em ∑ 𝑎𝑛−𝑘∞𝑛=𝑘 Teorema IX (Teste da Integral): Se {an} = f(n) e f é uma função continua de x, então tanto a série ∑ 𝑎𝑛∞𝑛=1 quanto a integral imprópria ∫ 𝑓(𝑥) d𝑥∞1 convergem ou ambas divergem. Teorema X (Teste de Comparação): seja ∑𝑎𝑛 uma série com termos positivos. ∑𝑎𝑛converge se existe uma série convergente ∑𝑏𝑛 com 𝑏𝑛 ≥ 𝑎𝑛 para todo n. ∑𝑎𝑛 diverge se existe uma série convergente ∑𝑐𝑛 com 𝑐𝑛 ≤ 𝑎𝑛 para todo n. Teorema XI (Comparação no limite): suponha que an > 0 e bn > 0 para todo n: Se lim𝑛→∞ 𝑎𝑛𝑏𝑛 = 𝑐 > 0, então ambos ∑𝑎𝑛 e ∑𝑏𝑛 convergem ou divergem. Se lim𝑛→∞ 𝑎𝑛𝑏𝑛 = 0, e ∑𝑏𝑛 converge então ∑𝑎𝑛 converge. Se lim𝑛→∞ 𝑎𝑛𝑏𝑛 = ∞, e ∑𝑏𝑛 diverge então ∑𝑎𝑛 diverge. Teorema XII (Teste da Razão): seja ∑𝑎𝑛 uma série com termos positivos: Se lim𝑛→∞ 𝑎𝑛+1𝑎𝑛 < 1, então a série converge. Se lim𝑛→∞ 𝑎𝑛+1𝑎𝑛 > 1, então a série diverge. Se lim𝑛→∞ 𝑎𝑛+1𝑎𝑛 = 1, o teste é inconcludente. Teorema XIII (Teste da Raiz): seja ∑𝑎𝑛 uma série com 𝑎𝑛 ≥ 0: Se lim𝑛→∞ �𝑎𝑛𝑛 < 1, então a série converge. Se lim𝑛→∞ �𝑎𝑛𝑛 > 1, então a série diverge. Se lim𝑛→∞ �𝑎𝑛𝑛 = 1, o teste é inconcludente. Teorema XIV (Teste de Leibniz): a série alternada ∑ (−1)𝑛+1𝑎𝑛∞𝑛=1 converge se: 𝑎𝑛 ≥ 0, 𝑎𝑛 ≥ 𝑎𝑛+1, 𝑎𝑛 → 0 Teorema XV (estimativa de erro): uma série alternada convergente se aproxima do valor real com um erro menor que 𝑎𝑛+1 onde 𝑎𝑛 é o primeiro termo não usado. Teorema XVI (Convergência Absoluta): se ∑ |∞𝑛=1 𝑎𝑛| converge então ∑ 𝑎𝑛∞𝑛=1 converge. Teorema XVII (Rearranjo): se ∑ 𝑎𝑛∞𝑛=1 converge absolutamente e ∑ 𝑏𝑛∞𝑛=1 é um rearranjo da sequencia {𝑎𝑛}, então ∑ 𝑏𝑛∞𝑛=1 converge e ∑ 𝑎𝑛∞𝑛=1 = ∑ 𝑏𝑛∞𝑛=1 . Copia tabela 109
Compartilhar