Relatório 2 - cálculo

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UNESA – Universidade Estácio de Sá
Curso de Engenharia
Campus Sulacap
Trabalho da disciplina Introdução ao Cálculo Diferencial
Relatório II
Função Exponencial
Aluno: Carlos Vinícius Monteiro Batista Matr.: 201301629278
Professor: Fábio
Rio de Janeiro
Novembro, 2013
Índice
1 → Objetivo
2 - 5 → Introdução
6 → Cálculos
7 → Bibliografia 
Objetivo
Estudar aplicações práticas de Funções exponenciais, utilizando a matemática em sua explicação e 
dando exemplo em situação real.
Introdução
É chamada de Função Exponencial as funções que possuem variáveis em expoente de um número 
real. Este número real tem que ser maior que zero e diferente de um. Podemos dizer então que:
 F: R → R tal que y = ax, sendo que a > 0 e a ≠ 1
A função f:IR → IR+ definida por f(x)=ax, com a ∈ IR+ e a ≠1, é chamada função exponencial de 
base a. O domínio dessa função é o conjunto IR (reais) e o contradomínio é IR+ (reais positivos, 
maiores que zero).
Uma função pode ser representada através de um gráfico, e no caso da exponencial, temos duas 
situações: a > 0 e 0 < a < 1. Observe como os gráficos são constituídos respeitando as condições 
propostas:
Quando a > 0 → f(x) é crescente e Im=IR+ . Para quaisquer x1 e x2 do domínio:
x2>x1  y2>y1 (as desigualdades têm mesmo sentido)
Quando 0 < a < 1 → f(x) é decrescente e Im=IR+ . Para quaisquer x1 e x2 do domínio:
x2>x1  y2<y1 (as desigualdades têm sentidos diferentes)
Uma função exponencial é utilizada na representação de situações em que a taxa de variação é 
considerada grande, por exemplo, em rendimentos financeiros capitalizados por juros compostos, 
no decaimento radioativo de substâncias químicas, desenvolvimento de bactérias e micro-
organismos, crescimento populacional entre outras situações. As funções exponenciais devem ser 
resolvidas utilizando, se necessário, as regras envolvendo potenciação. 
Ex: 1) y=2x (nesse caso, a=2, logo a>1)
Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabela e o 
gráfico abaixo:
x -2 -1 0 1 2
y 1/4 1/2 1 2 4
2) y=(1/2)x (nesse caso, a=1/2, logo 0<a<1)
Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabela e 
o gráfico abaixo:
x -2 -1 0 1 2
y 4 2 1 1/2 1/4
Nos dois exemplos citados, podemos observar:
1. O gráfico nunca intercepta o eixo horizontal; não possui raízes.
2. O gráfico corta o eixo vertical no ponto (0,1)
3. Os valores de y são sempre positivos, portanto o conjunto imagem é Im=IR+
Equação Exponencial 
Equações exponenciais são aquelas em que a incógnita se encontra no expoente de pelo menos uma 
potência. A forma de resolução de uma equação exponencial permite que as funções exponenciais 
sejam também resolvidas de forma prática. Esse tipo de função apresenta características individuais 
na análise de fenômenos que crescem ou decrescem rapidamente. Elas desempenham papéis 
fundamentais na Matemática e nas ciências envolvidas com ela, como: Física, Química, Engenharia, 
Astronomia, Economia, Biologia, Psicologia entre outras.
Exemplos: 
 3x =81 (a solução é x=4)
 2x-5=16 (a solução é x=9)
Inequação Exponencial
Chamamos de inequações exponenciais toda inequação na qual a incógnita aparece em expoente. 
Para conseguir resolver as inequações exponenciais, é preciso realizar dois passos importantes:
1. redução dos dois membros da inequação a potências de mesma base;
2. aplicação da propriedade: 
 
 
a>1 0<a<1
am > an ⇒ m>n
(as desigualdades têm mesmo 
sentido)
am > an ⇒ m<n
(as desigualdades têm sentidos 
diferentes)
Exemplo:
negativos) (reais IRS Portanto
0 44
:obtemos 1, quemaior é (4) base a Como
.44 14 Porém,
14 daí, e 114.11 114).1641(
:sejaou , 114.164.44
: temos4por lados os ambos ndoMultiplica
.
4
114.44
4
4 escritaser pode inequaçãoA 
:Resolução
4
11444 )1
-
0
0
11
=
<⇒<
<⇒<
<−>⇒−>−+
−>−+
−
>−+
−
>−+ +−
x
-
x
xx
xxx
xxx
xx
x
xxx
Números de Euler
Este número é representado por e em homenagem ao matemático suíço Leonhard Euler (1707-
1783), um dos primeiros a estudar as propriedades desse número.
O valor deste número expresso com 40 dígitos decimais é:
e = 2,718281828459045235360287471352662497757
Cálculos 
1) Determine o conjunto solução da seguinte equação exponencial: 
 
 
 2) Qual o valor de x na equação exponencial
 
3 ) Gráficos das funções f1(x)=3x, f2(x)=5x, f3(x)=7x, f4(x)=1 e f5(x)=0, estão traçados na figura 
abaixo. 
 Quais dos gráficos não são funções exponenciais? 
R: As funções f4(x)=1 e f5(x)=0 são constantes e não são funções exponenciais. 
4) Dado o gráfico da função exponencial f(x)=9x. Pede-se os valores de f(1/2), f(2), f(3), f(4), e 
o que ocorre com os valores de y=f(x) quando x aumenta? 
 
A - f(1/2)=3, f(2)=81, f(3)=729, f(4)=6561.
B - Os valores de y também aumentam, pois esta é uma função crescente. Geometricamente, uma 
função f é crescente se para valores crescentes de x, f também cresce.
Bibliografia
www.pessoal.sercomtel.com.br
www.brasilescola.com
www.educacao.uol.com.br
www.somatematica.com.br