Modelagem de Sistemas Mecânicos Translacionais

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Aula 3 
Modelagem de Sistemas Mecânicos Translacionais - Parte II
Vimos pela 2a Lei de Newtonque o módulo da resultante das forças atuando sobre uma dada 
massa é igual ao produto entre o valor dessa massa e a aceleração. Mas o que acontece quando não 
existe uma massa mas sim a interconexão em série diretamente de amortecedores e molas? Como 
veremos nos exemplos a seguir, o equacionamento do problema é idêntico ao feito anteriormente. A 
única diferença é que haverá equilíbrio de forças no nó em questão. Isso porque, como não existe 
massa e consequentemente variação da quantidade de movimento, o somatório das forças agindo no 
nó terá que ser nulo.
Exemplo 1
No sistema mecânico ilustrado abaixo, p(t) representa uma força externa (entrada) aplicada ao ponto 
2. Determine as equações diferenciais que relacionam os deslocamentos x1 e x2.
Solução
Nossas hipóteses são:
1) ambos os pontos 1 e 2 se deslocam para a direita (sentido positivo do deslocamento)
2) o deslocamento x2 é maior que x1.
Note que nesse exemplo não precisamos de hipótese sobre a velocidade relativa entre os pontos 1 e 
2, pois não há amortecedor entre eles.
Ponto 1
Tendo em vista a hipótese 1, podemos afirmar que o amortecedor tenta puxar o ponto 1 para a 
esquerda (negativa). Já a mola tenta puxar o ponto 1 para a direita (positiva), em virtude da hipótese 
2. Equacionando esse equilíbrio de força no ponto 1 temos:
Substituindo as expressões das forças:
ou ainda
Reunindo à esquerda os termos em x1, e à direita o termo em x2, temos finalmente
 (Eq. 1)
Ponto 2
Como o deslocamento x2 é maior que x1 (hipótese 2), a mola tenta se opor ao movimento puxando o 
ponto 2 para a esquerda (negativa). Assim, pelo equilíbrio de forças, temos
Substituindo a expressão para a força da mola,
ou ainda
.
Finalmente, chegamos à nossa 2a equação, que nesse caso é apenas algébrica:
(Eq. 2)
Nosso modelo matemático é então constituído das duas equações determinadas:
1
Exemplo 2
No sistema mecânico representado abaixo, considere como entrada o deslocamento x i(t) da 
extremidade superior do conjunto. Determine as equações de movimento para o sistema, ou seja as 
equações diferenciais para os deslocamentos xo(t) e y(t).
Solução
Nossas hipóteses com relação a xi, xo e y são:
1) os pontos A, B e C se deslocam para baixo (sentido positivo do deslocamento),
2) o deslocamento y é maior que xo, que por sua vez é maior que xi ,
3) a velocidade de deslocamento de C é maior que a de B, que é maior que A.
Ponto B
Pelo equilíbrio de forças no ponto B temos:
Substituindo as expressões das forças temos
,
e desenvolvendo,
.
Colocando no membro à esquerda os termos em xo e à direita os termos em y e xi (entrada), temos a 
primeira equação diferencial:
. (Eq. 1)
Ponto C
Equacionando o equilíbrio de forças na ponto C temos:
Substituindo as expressões das forças temos
,
e expandindo,
.
Colocando no membro à esquerda os termos em y e à direita os termos em xo, temos a segunda 
equação diferencial:
. (Eq. 2)
Resumindo, as equações de movimento para o sistema (modelo matemático) são:
2
Exemplo 3
No sistema mecânico abaixo, considere como entrada a força externa f(t) aplicada à massa 
m1. Seja xP o deslocamento vertical da massa e xQ o deslocamento vertical do ponto Q. Queremos 
determinar as equações de movimento (modelo matemático) para o sistema.
Solução
Inicialmente, precisamos fazer hipóteses com relação a xP e xQ. Suponha que:
1) a massa (ponto P) e o ponto Q se deslocam para baixo (sentido positivo do 
deslocamento),
2) o deslocamento xQ é maior que xP,
Note que novamente não precisamos de hipótese sobre a velocidade relativa entre os pontos Q e P, 
pois não há amortecedor entre eles. Lembramos ainda que o importante é a coerência entre a 
hipótese e os sinais adotados nas expressões das forças.
Aplicação da 2 a Lei de Newton para a Massa 1 (Ponto P) 
Com as hipóteses acima, a mola 1 e o amortecedor 1 se opõem ao movimento da massa, enquanto 
que a massa 2 a puxa para baixo. Assim sendo,
.
Substituindo as expressões das forças, temos
.
Desenvolvendo,
Colocando os termos em xP à esquerda e os outros à direita, temos finalmente
 (Eq. 1)
Equilíbrio de forças - Ponto Q
Em virtude da hipótese 2, a mola 2 se opõe ao movimento puxando o ponto Q para cima. Da mesma 
forma, o amortecedor 2 também empurra o ponto Q para cima por causa da hipótese 1. 
Equacionando o equilíbrio de forças no ponto Q tem-se:
Substituindo as expressões das forças
,
,
e finalmente
(Eq. 2)
Nosso modelo matemático é então constituído das duas equações diferenciais determinadas acima:
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